Doppio pendolo

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Il doppio pendolo è costituito da due pendoli attaccati uno all'estremità dell'altro.

Il doppio pendolo è un sistema fisico costituito da due pendoli attaccati uno all'estremità dell'altro. Il suo comportamento dinamico è fortemente sensibile a piccole variazioni delle condizioni iniziali e, per alcuni valori dell'energia, il suo moto è caotico.

Analisi[modifica | modifica wikitesto]

Si possono considerare diverse varianti del doppio pendolo; i due bracci possono avere lunghezze e masse uguali o diverse, possono essere pendoli semplici o composti (detti anche pendoli complessi) e il moto può avvenire in tre dimensioni o limitato al solo piano verticale. Nella seguente analisi, i bracci sono considerati due pendoli composti identici di lunghezza \ell e le masse m, e il moto è limitato ad un piano.

Doppio pendolo composto, formato da due bracci identici di lunghezza \ell e massa m.

In un pendolo composto, la massa è distribuita su tutta la lunghezza. Se la massa è distribuita uniformemente, allora il centro di massa di ogni braccio si trova alla sua metà, ed il momento di inerzia rispetto a tale punto è \textstyle I=\frac{1}{12} m \ell^2. Il momento di inerzia di una sbarra che ruota intorno ad uno dei suoi estremi è dato da \textstyle I=\frac{1}{3} m \ell^2.

È utile usare l'angolo tra ciascuno dei bracci e l'asse verticale come coordinata generalizzata per definire lo spazio delle configurazioni; questi angoli sono indicati con θ1 e θ2. La posizione del centro di massa di ogni braccio può essere scritta in funzione di queste due coordinate; se si prende come origine di un sistema di riferimento cartesiano il punto di sospensione del primo pendolo, allora le coordinate del centro di massa di questo pendolo sono


x_1 = \frac{\ell}{2} \sin \theta_1,

y_1 = -\frac{\ell}{2} \cos \theta_1,

mentre per il secondo pendolo si ha


x_2 = \ell \left (  \sin \theta_1 + \frac{1}{2} \sin \theta_2 \right ),

y_2 = -\ell \left (  \cos \theta_1 + \frac{1}{2} \cos \theta_2 \right ).

Con queste informazioni si può scrivere la lagrangiana del sistema.

Lagrangiana[modifica | modifica wikitesto]

La lagrangiana è


\begin{align}L & = \mathrm{Energia~cinetica} - \mathrm{Energia~potenziale} \\
               & = \frac{1}{2} m \left ( v_1^2 + v_2^2 \right ) + \frac{1}{2} I \left ( {\dot \theta_1}^2 + {\dot \theta_2}^2 \right ) - m g \left ( y_1 + y_2 \right ) \\
               & = \frac{1}{2} m \left ( {\dot x_1}^2 + {\dot y_1}^2 + {\dot x_2}^2 + {\dot y_2}^2 \right ) + \frac{1}{2} I \left ( {\dot \theta_1}^2 + {\dot \theta_2}^2 \right ) - m g \left ( y_1 + y_2 \right ) \end{align}

Il primo termine è l'energia cinetica di traslazione del centro di massa dei due bracci e il secondo è l'energia cinetica rotazionale intorno al centro di massa di ciascun braccio. Il terzo termine è l'energia potenziale gravitazionale assumendo una accelerazione costante g. La notazione {\dot x} indica la derivata rispetto al tempo (notazione di Newton).

Sostituendo le coordinate definite sopra e riordinando le equazioni si trova


L = \frac{1}{6} m \ell^2 \left [ {\dot \theta_2}^2 + 4 {\dot \theta_1}^2 + 3 {\dot \theta_1} {\dot \theta_2} \cos (\theta_1-\theta_2) \right ] + \frac{1}{2} m g \ell \left ( 3 \cos \theta_1 + \cos \theta_2 \right ).
Moto di un doppio pendolo composto (calcolato con integrazione numerica delle equazioni del moto).
Una luce all'estremità del doppio pendolo lascia una traccia del proprio movimento in questa foto a lunga esposizione. L'evoluzione caotica del sistema crea una figura complessa e apparentemente disordinata.

L'unica quantità conservata in questo sistema è l'energia, e non ci sono momenti generalizzati conservati. I due momenti possono essere scritti come


p_{\theta_1} = \frac{\partial L}{\partial {\dot \theta_1}} = \frac{1}{6} m \ell^2 \left [ 8 {\dot \theta_1}  + 3 {\dot \theta_2} \cos (\theta_1-\theta_2) \right ]

e


p_{\theta_2} = \frac{\partial L}{\partial {\dot \theta_2}} = \frac{1}{6} m \ell^2 \left [ 2 {\dot \theta_2} + 3 {\dot \theta_1} \cos (\theta_1-\theta_2)  \right ].

Invertendo queste espressioni si trova


{\dot \theta_1} = \frac{6}{m\ell^2} \frac{ 2 p_{\theta_1} - 3 \cos(\theta_1-\theta_2) p_{\theta_2}}{16 - 9 \cos^2(\theta_1-\theta_2)}

e


{\dot \theta_2} = \frac{6}{m\ell^2} \frac{ 8 p_{\theta_2} - 3 \cos(\theta_1-\theta_2) p_{\theta_1}}{16 - 9 \cos^2(\theta_1-\theta_2)}.

Le altre equazioni del moto sono


{\dot p_{\theta_1}} = \frac{\partial L}{\partial \theta_1} = -\frac{1}{2} m \ell^2 \left [ {\dot \theta_1} {\dot \theta_2} \sin (\theta_1-\theta_2) + 3 \frac{g}{\ell} \sin \theta_1 \right ]

e


{\dot p_{\theta_2}} = \frac{\partial L}{\partial \theta_2}
 = -\frac{1}{2} m \ell^2 \left [ -{\dot \theta_1} {\dot \theta_2} \sin (\theta_1-\theta_2) +  \frac{g}{\ell} \sin \theta_2 \right ].

Queste ultime quattro equazioni sono formule esplicite per l'evoluzione temporale del sistema dato il suo stato attuale. Non è possibile integrare queste equazioni analiticamente e ottenere formule per θ1 e θ2 in funzione del tempo[senza fonte]. Si può tuttavia usare un'integrazione numerica, ad esempio con i metodi di Runge-Kutta.

Moto caotico[modifica | modifica wikitesto]

Grafico del tempo necessario perché il pendolo si capovolga, in funzione delle condizioni iniziali

Il doppio pendolo si muove con moto caotico, cioè la sua evoluzione è molto sensibile alle condizioni iniziali. L'immagine a destra mostra il tempo trascorso prima che il pendolo si capovolga, in funzione delle condizioni iniziali; il valore iniziale di θ1 (direzione orizzontale nel grafico) va da −3 a 3, e θ2 (direzione verticale nel grafico) va da −3 a 3. Il colore indica se uno dei due pendoli si capovolge entro 10\sqrt{\ell/g } (in verde), entro 100\sqrt{\ell/g  } (rosso), 1000\sqrt{\ell/g  } (viola) o 10000\sqrt{\ell/g  } (blu). Le condizioni iniziali che non portano al capovolgimento entro 10000\sqrt{\ell/g} sono in bianco.

Il bordo della regione bianca è definito in parte dalla conservazione dell'energia secondo la curva


3 \cos \theta_1 + \cos \theta_2  = 2. \,

All'interno della regione definita da questa curva, cioè se


3 \cos \theta_1 + \cos \theta_2  > 2, \,

è energeticamente impossibile il capovolgimento per ciascun pendolo. Fuori da questa regione il pendolo può capovolgersi, ma è complicato determinare quando.

La mancanza di una frequenza di risonanza rende utile il doppio pendolo nel progetto di edifici antisismici. L'idea è di vedere l'intero edificio come un pendolo invertito, e di aggiungere una massa secondaria per completare il doppio pendolo. La massa secondaria è solitamente un grosso peso sospeso all'interno dell'edificio.

Bibliografia[modifica | modifica wikitesto]

  • Leonard Meirovitch, Elements of Vibration Analysis, 2nd edition, McGraw-Hill Science/Engineering/Math, 1986, ISBN 0-07-041342-8.

Collegamenti esterni[modifica | modifica wikitesto]


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