Raggio di iniettività

In matematica, e più precisamente in geometria differenziale, il raggio di iniettività è un numero reale positivo che misura il "grado di collassamento" di una varietà riemanniana in un punto o globalmente.

Definizione

Sia $M$ una varietà riemanniana. Per ogni punto $x$ di $M$ è definita la mappa esponenziale

${\rm {exp}}_{x}:U\to M\,\!$

su un insieme aperto $U$ dello spazio tangente $T_{x}M$ in $x$, contenente l'origine.

Sullo spazio tangente $T_{x}M$ è definito un prodotto scalare, dato dal tensore metrico della varietà. Risulta quindi definita la palla di raggio $R$ centrata nell'origine

$B_{R}={\big \{}v\in T_{x}M\ {\big |}\ |v|<R{\big \}}.$

Il raggio di iniettività di $M$ in $x$ è il massimo $R$ tale che la mappa

${\rm {exp}}_{x}|_{B_{R}}:B_{R}\to M$

è iniettiva. Viene spesso indicato con

$R={\rm {inj}}_{x}$

Il raggio di iniettività di $M$ è quindi definito come l'estremo inferiore di tutti i raggi di iniettività nei punti:

${\rm {inj}}(M)=\inf _{x\in M}{\big \{}{\rm {inj}}_{x}{\big \}}.$

Proprietà

Raggio locale positivo

Il differenziale di ${\rm {exp}}_{x}$ è invertibile. Per il teorema di invertibilità locale, la funzione è quindi un diffeomorfismo locale nell'origine: il raggio di iniettività ${\rm {inj}}_{x}$ è quindi strettamente positivo in ogni punto $x$.

Geodetiche

Se la varietà è completa, il raggio di iniettività ${\rm {inj}}_{x}$ è pari a metà della minima lunghezza di una geodetica chiusa passante per $x$.

Compattezza e raggio globale

Se la varietà $M$ è compatta, il raggio di iniettività globale ${\rm {inj}}(M)$ è maggiore di zero. Qualsiasi geodetica chiusa ha quindi lunghezza maggiore di ${\rm {inj}}(M)$.

Bibliografia

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• (FR) Gaston Darboux Cours de Géometrie (Parigi: Gauthier-Villars, 1894-1917)
• (FR) Gaston Darboux Leçons sur la théorie générale des surfaces et les applications géométriques du calcul infinitésimal (4 vols.) (Paris: Gauthier-Villars, 1887-1896)

Voci correlate

• Mappa esponenziale
• Funzione iniettiva
• Geometria differenziale
• Varietà riemanniana