Mappa esponenziale

Da Wikipedia, l'enciclopedia libera.
La mappa esponenziale associa ad ogni vettore v dello spazio tangente l'unica geodetica \gamma(t) passante per il punto e tangente a v.

In geometria differenziale, la mappa esponenziale è una funzione che mappa lo spazio tangente in un punto di una varietà riemanniana o pseudo-riemanniana sulla varietà stessa. La mappa esponenziale è utile a rappresentare un intorno di un punto tramite coordinate geodetiche.

Definizione[modifica | modifica wikitesto]

Sia p un punto in una varietà riemanniana o pseudo-riemanniana M. La mappa esponenziale è una mappa

{\rm exp}: U\to M

definita su un insieme aperto U dello spazio tangente T_p in p contenente l'origine, nel modo seguente.

Per ogni vettore v non nullo dello spazio tangente, esiste un'unica geodetica

\gamma: (-a,b) \to M

con \gamma(0) = p e \gamma'(0) = v . La geodetica è qui descritta nel suo dominio massimale: i numeri a e b sono positivi o +\infty. Se b>1, si definisce {\rm exp}(v) = \gamma(1).

Si estende infine la mappa esponenziale all'origine, ponendo  {\rm exp}(0) = p. I vettori su cui {\rm exp} è definita formano un aperto U contenente l'origine.

Proprietà[modifica | modifica wikitesto]

Geodetiche[modifica | modifica wikitesto]

La mappa esponenziale mappa ogni retta passante per l'origine sulla geodetica avente come tangente quella retta. Se la geodetica può essere estesa fino ad avere lunghezza infinita in ambo i sensi, la mappa è definita su tutta la retta; altrimenti, la mappa è definita solo sul segmento aperto massimale su cui la geodetica può essere estesa.

Completezza[modifica | modifica wikitesto]

Il teorema di Hopf-Rinow fornisce varie nozioni equivalenti di completezza per una varietà riemanniana. Tra queste, c'è la possibilità di prolungare indefinitivamente ogni geodetica. Segue quindi che se M è completa la mappa esponenziale è definita su tutto lo spazio tangente

{\rm exp}:T_x\to M\,\!

per ogni punto x di M.

Invertibilità locale[modifica | modifica wikitesto]

La mappa esponenziale è continua e differenziabile, con differenziale invertibile nell'origine. Per il teorema di invertibilità locale, esiste un intorno V dell'origine in T_x tale che

f|_V:V\to f(V)\,\!

è un diffeomorfismo. La mappa esponenziale è cioè un diffeomorfismo locale nell'origine, ed è quindi utile a modellare la varietà M localmente vicino a x.

Raggio di iniettività[modifica | modifica wikitesto]

Benché lo sia in un intorno dell'origine, la mappa esponenziale non è però necessariamente globalmente iniettiva: il raggio di iniettività di una varietà riemanniana M in x è il massimo numero R tale che la mappa

f|_{B_R}:B_R\to M

ristretta alla palla di raggio r centrata in zero è iniettiva. La palla è

B_R = \big\{x\in T_x\ \big|\ |x|<R\big\}

ove la norma |x| di x è data dal prodotto scalare definito dal tensore metrico.

Esempi[modifica | modifica wikitesto]

Varietà non completa[modifica | modifica wikitesto]

Se

M=\R^n\setminus\{0\}

è lo spazio euclideo privato dell'origine, e x è un qualsiasi punto di M, la mappa esponenziale non è mai definita su tutto il piano tangente T_x. Infatti non risulta definita sul vettore -x, poiché la geodetica uscente da x in direzione -x è definita soltanto fino a che questa non incontra l'origine. L'aperto U è quindi tutto lo spazio privato di una semiretta.

Coordinate geodetiche[modifica | modifica wikitesto]

Le coordinate geodetiche in un intorno di un punto p sono definite tramite la mappa esponenziale.

Definizione[modifica | modifica wikitesto]

Sia p un punto di una varietà (pseudo-)riemanniana M. Lo spazio tangente T_pM è dotato di un prodotto scalare definito positivo, dato dal tensore metrico. Lo spazio è quindi identificabile con lo spazio euclideo \R^n: per ottenere questa identificazione è sufficiente scegliere una base ortonormale.

Sia U un intorno dell'origine nello spazio tangente T_pM su cui la mappa esponenziale è un diffeomorfismo. Questo aperto è identificato con un aperto di \R^n. Conseguentemente, l'immagine \operatorname{exp}(U) è identificata con questo aperto. L'identificazione fornisce un sistema di coordinate, detto geodetico o normale.

Proprietà[modifica | modifica wikitesto]

Le coordinate geodetiche identificano un intorno aperto di p con un intorno aperto dello spazio euclideo \R^n. Valgono le proprietà seguenti.

Geodetiche[modifica | modifica wikitesto]

Il punto p è identificato con l'origine. Le geodetiche uscenti da p sono identificate con le rette uscenti dall'origine.

Tensore metrico[modifica | modifica wikitesto]

Il tensore metrico g in p è rappresentato dalla matrice identità. Questo avviene però generalmente solo in p: se avviene in tutto l'intorno, la metrica in questo intorno è piatta, cioè senza curvatura.

Più precisamente, il tensore metrico è approssimato dalla metrica Euclidea al primo ordine:

g_{ij}  = \delta_{ij}+ O (|x|^2).

In particolare, si annullano le derivate prime del tensore metrico:

\frac {\partial g_{ij}}{\partial x^k}(p) = 0.

Simboli di Christoffel e derivata covariante[modifica | modifica wikitesto]

I simboli di Christoffel si annullano in p:

 \Gamma^i_{jk}(p) = 0.

La derivata covariante nel punto p quindi coincide con la derivata parziale.

Bibliografia[modifica | modifica wikitesto]

  • (EN) Manfredo Perdigao do Carmo, Riemannian Geometry, 1994.
  • (EN) Shoshichi Kobayashi, Katsumi Nomizu, Foundations of Differential Geometry, Vol. 1, Wiley-Interscience, 1996 (Nuova edizione), ISBN 0-471-15733-3.

Voci correlate[modifica | modifica wikitesto]

matematica Portale Matematica: accedi alle voci di Wikipedia che trattano di matematica