Teorema di Buckingham

Il teorema di Buckingham (conosciuto anche come teorema pi greco), dovuto al fisico statunitense Edgar Buckingham, afferma che dato un problema descritto da un certo numero di equazioni in cui siano presenti n variabili fisiche (le grandezze secondarie o derivate) (come la velocità, l'energia di attivazione, il calore specifico, ecc.), se le dimensioni fondamentali (le grandezze primarie) di queste n variabili sono x (equivalendo in pratica a unità di misura come il chilogrammo, il metro, il secondo, ecc.); allora il problema può essere completamente descritto, in genere, da n-x variabili adimensionali. Cioè è possibile studiare il medesimo problema usando un numero inferiore di variabili purché le grandezze secondarie siano state adimensionalizzate o meglio siano state ridotte alle essenziali grandezze numeriche (i parametri fisici).

Adimensionalizzare un'equazione significa trasformare le grandezze secondarie considerate fino a pervenire alle sole (essenziali) grandezze numeriche (come detto i "veri" parametri fisici).

Quando si adimensionalizza un sistema di equazioni il sistema diviene funzione di una serie di variabili adimensionali (le grandezze numeriche) in numero pari, in genere, a quello previsto con il teorema di Buckingham.

Se, per esempio, il problema in esame dipende da cinque grandezze le quali, a loro volta, hanno come unità di misura una certa combinazione delle tre grandezze fondamentali del sistema internazionale ( M - L - T ), allora questo può essere descritto da una funzione f di due gruppi adimensionali P1 e P2.

E inoltre vale la seguente importante conclusione: $P1=f'(P2)$.

In questo modo è possibile studiare un fenomeno, come per esempio la sedimentazione di particelle di un soluto all'interno di un corpo recettore, con un solo grafico avente come ascissa ed ordinata due grandezze numeriche (rispettivamente i così detti numero di Reynolds e il coefficiente di drag).

Senza questa accortezza si sarebbero dovuti realizzare praticamente infiniti grafici uno per ogni diametro delle particelle, per il peso delle stesse, per ogni viscosità del fluido etc.

Un sistema governato da $n$ equazioni e da $m$ variabili possiede $n-m$ gradi di libertà. In questo senso, il Teorema di Buckingam è simile a quanto opera la Regola delle fasi di Gibbs nella definizione del numero massimo di variabili indipendenti per un sistema eterogeneo.

Applicazioni

Nelle applicazioni sono dunque nati numerosi gruppi adimensionali cioè le grandezze numeriche che semplificano la descrizione di base dei fenomeni naturali o artificiali (gli eventi fisico - matematici).

Di seguito sono riportate alcune applicazioni particolarmente comuni.

Nella fluidodinamica è di notevole importanza il numero di Reynolds per stabilire il tipo di deflusso del fluido (laminare o turbolento) solamente comparandolo con i valori limite specifici del corpo investito dal flusso fluido o del condotto che trasporta il fluido.

In termocinetica è possibile determinare il coefficiente di scambio termico laminare attraverso il numero di Nusselt che è funzione dei numeri di Prandtl e Reynolds per quanto riguarda la convezione forzata; è funzione dei numeri di Prandtl e Grashof per quanto riguarda la convezione naturale. Mediante il numero di Biot è invece possibile determinare se è trascurabile l'errore di considerare un corpo come puntiforme (modello a parametri concentrati) nello studio della trasmissione di calore per un corpo immerso in un fluido.

Voci correlate

• Analisi dimensionale
• Similitudine (ingegneria)