Bereziniano: differenze tra le versioni
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In matematica e fisica teorica, il Bereziniano o il superdeterminante è una generalizzazione del determinante al caso di una supermatrice. Il nome deriva dal matematico Felix Berezin [1]. Il bereziniano svolge un ruolo analogo a quello del determinante nel valutare i cambiamenti di coordinate per le integrazioni su una supervarietà [2].
Definizione
Il 'berezino è definito univocamente dalla definizione delle seguenti duue proprietà [3]:
dove con str(X) indichiamo la supertraccia di X. A differenza del determinante classico, il Bereziniano è definito solo per supermatrice invertibile.
Il caso più semplice da considerare è la bereziniano di una supermatrice con valori in un campo K. Le supermatrici di questo tipo rappresentano trasformazioni lineari di un superspazio vettoriale su K. Una particolare forma di supermatrice è una matrice a blocchi del tipo:
:
Tale matrice è invertibile se e solo se A e D sono matrici invertibili su K. In questo caso particolare il bereziniano di X è dato da:
- .
Numero di Grassmann
In Fisica matematica, un numero di Grassmann (chiamato numero anticommutante) è una quantità che anticommuta con gli altri numeri di Grassmann , ma commuta con i numeri ordinari ,
In particolare, il quadrato di un numero di Grassmann è nullo:
L'algebra generata da un insieme di numeri di Grassmann è nota come algebra di Grassmann (o algebra esterna). L' algebra di Grassmann generata da n numeri di Grassmann linearmente indipendenti ha dimensione 2n. Questi enti prendono il nome da Hermann Grassmann. Ad esempio se n=3, abbiamo gli elementi linearmente indipendenti:
che insieme all'unità 1, formano uno spazio 23=8-dimensionale.
L'algebra di Grassman è l'esempio prototipo di algebre supercommutative. Queste sono algebre con una decomposizione in variabili pari e dispari che soddisfa una versione gradata della commutatività (in particolare, elementi dispari anticommutano).
Rappresentazione matriciale
I numeri di Grassmann possono sempre venire rappresentati da matrici. Consideriamo, ad esempio, l' algebra di Grassmann generata da due numeri di Grassmann e . Questi numeri possono essere rappresentati da matrici 4×4 :
In generale, una algebra di Grassmann con n generatori può venire rappresentata da 2n × 2n matrici quadrate. Fisicamente queste matrici possono venir pensate come operatori di creazione agenti su uno spazio di Hilbert di n fermioni nella base del numero di occupazione. Dal momento che il numero di occupazione per ciascun fermione è o 0 o 1, ci sono 2n stati possibili. Matematicamente, queste matrici possono essere interpretate come operatori lineari corrispondenti alla moltiplicazione sinistra dell' algebra esterna sull'algebra di Grassmann stessa.
Applicazioni
I numeri di Grassman sono anche importanti nella definizione di supervarietà (o superspazio), dove vengono utilizzate come "coordinate anticommutanti", oltre a definire gli integrali sulle variabili di Grassman, noti come integrali di Berezin.
Note
- ^ A. Berezin, The Method of Second Quantization, Academic Press, (1966)
- ^ D.J. Candlin, On Sums over Trajactories for Systems With Fermi Statistics, in Nuovo Cimento, vol. 4, 1956, p. 224, DOI:10.1007/BF02745446.
- ^ A. Berezin, The Method of Second Quantization, New York, Academic Press, (1966)
Bibliografia
- Theodore Voronov: Geometric integration theory on Supermanifolds, Harwood Academic Publisher, ISBN 3-7186-5199-8
- D.J. Candlin, On Sums over Trajactories for Systems With Fermi Statistics, in Nuovo Cimento, vol. 4, 1956, p. 224, DOI:10.1007/BF02745446.
- A. Berezin, The Method of Second Quantization, Academic Press, (1966)
Collegamenti esterni
- (EN) D.J. Candlin, On Sums over Trajactories for Systems With Fermi Statistics, in Nuovo Cimento, vol. 4, 1956, p. 224, DOI:10.1007/BF02745446.
- (EN) Introducing supersymmetry, M. F. Sohnius, 1985.