Determinante

Una trasformazione lineare del piano cartesiano è descritta da una matrice quadrata $2\times 2$. Il determinante della matrice fornisce delle informazioni sulla trasformazione: il valore assoluto descrive il cambiamento di area, mentre il segno descrive il cambiamento di orientazione. Nell'esempio qui riportato, la matrice ha determinante -1: quindi la trasformazione preserva le aree (un quadrato di area 1 si trasforma in un parallelogramma di area 1) ma inverte l'orientazione del piano.

In algebra lineare, il determinante è una funzione che associa ad ogni matrice quadrata $A$ uno scalare che ne sintetizza alcune proprietà algebriche.

Esso viene generalmente indicato con $\det(A)$ ed a volte con $|A|$, quest'ultima notazione è più compatta ma ambigua, in quanto utilizzata talvolta per descrivere una norma della matrice.

Il determinante è un potente strumento usato in vari settori della matematica: innanzitutto nello studio dei sistemi di equazioni lineari, quindi nel calcolo infinitesimale a più dimensioni (ad esempio nel Jacobiano), nel calcolo tensoriale, nella geometria differenziale, nella teoria combinatoria, etc.

Il volume di questo parallelepipedo è il valore assoluto del determinante della matrice $3\times 3$ formata dai vettori $r_1, r_2$ e $r_3$. Questa relazione fra volume e determinante è valida in qualsiasi dimensione.

Il significato geometrico principale del determinante si ottiene interpretando la matrice quadrata $A$ di ordine $n$ come trasformazione lineare di uno spazio vettoriale a $n$ dimensioni: con questa interpretazione, il valore assoluto di $\det(A)$ è il fattore con cui vengono modificati i volumi degli oggetti contenuti nello spazio. Se è diverso da zero, il segno del determinante indica inoltre se la trasformazione $A$ preserva o cambia l'orientazione dello spazio rispetto agli assi di riferimento.

Definizione

Definizione tramite assiomi

Sia $M(n)$ lo spazio vettoriale delle matrici quadrate $n\times n$ a valori in un campo $K$ (ad esempio, il campo dei numeri reali o complessi).

Il determinante è l'unica funzione

$\det:M(n)\to K$

avente le proprietà seguenti:

• $\det I = 1$
• Si comporta nel modo seguente rispetto all'algoritmo di Gauss-Jordan:
  • se $B$ è ottenuta scambiando due righe o due colonne di $A$, allora $\det B = -\det A$,
  • se $B$ è ottenuta moltiplicando una riga o una colonna di $A$ per $k$, allora $\det B = k\det A$,
  • se $B$ è ottenuta sommando una riga o una colonna rispettivamente di $A$ ad un'altra, allora $\det B = \det A$

dove la matrice $I$ è la matrice identità.

Le proprietà elencate hanno un significato geometrico: sono le proprietà che deve verificare una funzione il cui valore assoluto è il volume del poliedro individuato dai vettori riga della matrice B e il cui segno è positivo se e solo se tali vettori sono equiorientati alla base canonica.

Definizione costruttiva

Il determinante di una matrice $A_{n\times n}$ può essere definito in un modo più costruttivo, tramite la formula di Leibniz:

$\det(A) := \sum_{\sigma \in S_n} \sgn(\sigma) \prod_{i=1}^n a_{i, \sigma(i)}$

Nella formula, $S_n$ è l'insieme di tutte le permutazioni $\sigma$ dell'insieme numerico $\{1,2,\ldots,n\}$ e $\sgn(\sigma)$ denota il segno della permutazione ($+1$ se $\sigma$ è una permutazione pari, −1 se è dispari).

Per esteso:

$\det(A) := \sum_{k=0, \sigma \in S_n}^{n!} \left( \prod_{1\le i<j}^n\frac{\sigma(j)-\sigma(i)}{j-i} \cdot \prod_{i=1}^n a_{i, \sigma(i)} \right) \$

In particolare:

• Se $n=1$, il determinante di $A$ è semplicemente

  $\det(A) := a_{1,1} \$

• Se $n=2$, si ottiene la formula già vista

  $\det(A) := a_{1,1}a_{2,2} - a_{2,1}a_{1,2} \$

• Se $n=3$, si ottiene

  $\det(A) := a_{1,1}a_{2,2}a_{3,3} + a_{1,3}a_{2,1}a_{3,2} + a_{1,2}a_{2,3}a_{3,1} - a_{1,3}a_{2,2}a_{3,1} - a_{1,1}a_{2,3}a_{3,2} - a_{1,2}a_{2,1}a_{3,3} \$

  Quest'ultima formula può essere memorizzata tramite la regola di Sarrus (che non è però estendibile ai casi $n>3$).

La complessità della definizione costruttiva (comprese la generazione delle permutazioni) è elevata:

$n! \cdot ( 2n + 1 ) = O(N \cdot N!)$

Definizione algebrica astratta

Se $V$ è uno spazio vettoriale di dimensione finita $n$ sul campo $\mathbb{K}$ allora è possibile definire il determinante di un endomorfismo $f : V \to V$ senza fare ricorso ad una base di $V$. Sia $\Lambda^n(V)$ lo spazio vettoriale degli $n-$vettori di $V$. Consideriamo l'endomorfismo $T_f$ di $\Lambda^n(V)$ definito di modo che

$T_f(x_1 \wedge x_2 \wedge \cdots \wedge x_n) = f(x_1) \wedge f(x_2) \wedge \cdots \wedge f(x_n)$

per ogni $x_1, x_2, \ldots, x_n \in V$, ed esteso per linearità a tutto $\Lambda^n(V)$. Poiché $\Lambda^n(V)$ ha dimensione uguale a 1 risulta che $T_f$ altro non è che la moltiplicazione per uno scalare. Quindi possiamo definire il determinante di $f$ attraverso l'equazione

$f(x_1) \wedge f(x_2) \wedge \cdots \wedge f(x_n) = \det(f) (x_1 \wedge x_2 \wedge \cdots \wedge x_n)$

per ogni $x_1, x_2, \ldots, x_n \in V$. A questo punto seguono tutte le proprietà del determinante, in particolare è immediato che $\det(\operatorname{id}) = 1$ dove $\operatorname{id}$ è l'endomorfismo identità di $V$. Se $g$ è un altro endomorfismo di $V$ allora

$\det(g \circ f) (x_1 \wedge x_2 \wedge \cdots \wedge x_n) = (g \circ f)(x_1) \wedge (g \circ f)(x_2) \wedge \cdots \wedge (g \circ f)(x_n)$

$= \det(g) (f(x_1) \wedge f(x_2) \wedge \cdots \wedge f(x_n)) = \det(f)\det(g) (x_1 \wedge x_2 \wedge \cdots \wedge x_n)$

da cui $\det(g \circ f) = \det(g) \det(f)$. Se $f$ non è un isomorfismo allora l'immagine di $f$ ha dimensione strettamente minore di $n$ e quindi $f(x_1), f(x_2), \ldots, f(x_n)$ sono sicuramente linearmente dipendenti, essendo che $\wedge$ è una forma multilineare alternante segue che $f(x_1) \wedge f(x_2) \wedge \cdots \wedge f(x_n) = 0$ e quindi $\det(f) = 0$. Si verifica che fissata una base su $V$ il determinante della matrice associata a $f$ rispetto a tale base coincide con il determinante di $f$.

Metodi di calcolo

La definizione costruttiva del determinante è spesso complicata da usare per un calcolo concreto, perché si basa su una somma di ben $n!$ addendi. Esistono altri algoritmi che consentono di calcolare il determinante più facilmente. Ciascun metodo ha una efficienza variabile, dipendente dalla grandezza della matrice e dalla presenza di zeri.

Sviluppo di Laplace

Per approfondire, vedi sviluppo di Laplace.

Lo sviluppo di Laplace è un metodo di calcolo del determinante, che risulta efficiente solo per matrici molto piccole o contenenti un gran numero di zeri. Si procede scegliendo una riga, la $i$-esima, tramite la formula:

$\det(A) = \sum_{j=1}^n\ a_{i,j}C_{i,j}$

dove $C_{i,j}$ è il complemento algebrico della coppia $(i,j)$, cioè $C_{i,j}$ è data da $(-1)^{i+j}$ per il determinante del minore di ordine $n-1$ ottenuto dalla matrice $A$ eliminando la riga $i$-esima e la colonna $j$-esima.

Esiste uno sviluppo analogo anche lungo la $j$-esima colonna.

Matrici quadrate di ordine 2

L'area del parallelogramma è il determinante della matrice

Il determinante di una matrice 2 × 2 è pari a

$\det \begin{pmatrix}a&b\\c&d\end{pmatrix} := ad-bc.$

Il valore assoluto di questa espressione è pari all'area del parallelogramma con vertici in $(0,0), (a,c), (b,d)$ e $(a + b, c + d)$. Il segno del determinante (se questo è diverso da zero) dipende invece dall'ordine ciclico con cui compaiono i vertici del parallelogramma (il segno è negativo se il parallelogramma è stato "ribaltato", e positivo altrimenti).

Come spiegato più sotto, questa proprietà geometrica si estende anche in dimensioni maggiori di 2: il determinante di una matrice $3 \times 3$ è ad esempio il volume del poliedro i cui vertici si ricavano dalle colonne della matrice con lo stesso procedimento visto.

Matrici quadrate di ordine 3

Calcolo del determinante di una matrice $3\times 3$ tramite un metodo equivalente alla regola di Sarrus. Questo metodo non si estende a matrici più grandi.

Il determinante di una matrice 3 × 3 è pari a

$\det \begin{pmatrix} a & b & c \\ d & e & f \\ g & h & i \end{pmatrix} = aei + bfg + cdh - gec - hfa - idb.$

Un metodo mnemonico per ricordare questa formula, espresso dalla regola di Sarrus (questo metodo non si estende a matrici più grandi), prevede di calcolare i prodotti dei termini sulle diagonali "continue": ripetendo a destra della matrice le sue prime due colonne

$\begin{pmatrix} a & b & c \\ d & e & f \\ g & h & i \end{pmatrix} \begin{matrix} a & b \\ d & e \\ g & h \end{matrix}$

i prodotti delle componenti sulle 3 "diagonali" che partono dall'alto a sinistra (diagonali principali) sono aei, bfg e cdh, mentre sulle 3 "diagonali" che partono dal basso a sinistra (diagonali secondarie) si trovano gec, hfa, idb. Il determinante della matrice è esattamente la differenza tra la somma dei primi tre termini (aei + bfg + cdh) e la somma degli ultimi tre (gec + hfa + idb).

Algoritmo di Gauss

Per approfondire, vedi Metodo di eliminazione di Gauss.

La definizione assiomatica fornisce un altro utile strumento di calcolo del determinante, che si basa su questi due principi:

• Il determinante di una matrice triangolare è semplicemente il prodotto degli elementi sulla diagonale, cioè

  $\det (A)= \prod_{i=1}^n a_{ii}$.

• Usando l'algoritmo di Gauss, è possibile trasformare ogni matrice in una matrice triangolare tramite mosse di Gauss, il cui effetto sul determinante è determinato dagli assiomi.

Esempio

Supponiamo di voler calcolare il determinante di

$A = \begin{pmatrix}-2&2&-3\\ -1& 1& 3\\ 2 &0 &-1\end{pmatrix}$.

Si può procedere direttamente tramite la definizione costruttiva:

$\det(A)=(-2)\cdot 1 \cdot (-1) + (-3)\cdot 0 \cdot (-1) + 2\cdot 3\cdot 2 - (-3)\cdot 1 \cdot 2 - (-2)\cdot 3 \cdot 0 - 2\cdot (-1) \cdot (-1)$

$= 2+0+12-(-6)-0-2 = 18.$

Alternativamente si può utilizzare lo sviluppo di Laplace secondo una riga o una colonna. Conviene scegliere una riga o una colonna con molti zeri, in modo da ridurre gli addendi dello sviluppo; nel nostro caso sviluppiamo secondo la seconda colonna:

$\det(A)=(-1)^{1+2}\cdot 2 \cdot \det \begin{pmatrix}-1&3\\ 2 &-1\end{pmatrix} + (+1)^{2+2}\cdot 1 \cdot \det \begin{pmatrix}-2&-3\\ 2&-1\end{pmatrix}$

$=(-2)\cdot((-1)\cdot(-1)-2\cdot3)+1\cdot((-2)\cdot(-1)-2\cdot(-3)) = (-2)(-5)+8 = 18.$

Lo sviluppo di Laplace può essere combinato con alcune mosse di Gauss. Ad esempio qui risulta particolarmente vantaggioso sommare la seconda colonna alla prima:

$\begin{pmatrix}0&2&-3\\ 0 &1 &3\\ 2 &0 &-1\end{pmatrix}$

Questa mossa non cambia il determinante. Sviluppando lungo la prima colonna si ottiene quindi ancora:

$\det(A)=(-1)^{3+1}\cdot 2\cdot \det \begin{pmatrix}2&-3\\ 1&3\end{pmatrix}$

$=2\cdot(2\cdot3-1\cdot(-3)) = 2\cdot 9 = 18.$

Applicazioni

Sistemi lineari

Il determinante è utile a calcolare il rango di una matrice e quindi a determinare se un sistema di equazioni lineari ha soluzione, tramite il teorema di Rouché-Capelli. Quando il sistema ha una sola soluzione, questa può essere esplicitata usando il determinante, mediante la regola di Cramer.

Matrici e trasformazioni invertibili

Una matrice è detta singolare se ha determinante nullo. Una matrice singolare non è mai invertibile, e se è definita su un campo vale anche l'inverso: una matrice non singolare è sempre invertibile.

Una trasformazione lineare del piano, dello spazio, o più in generale di uno spazio euclideo o vettoriale (di dimensione finita)

$f:V\to V\,\!$

è rappresentata (dopo aver scelto una base) da una matrice quadrata $A$. Il determinante è una quantità che non dipende dalla base scelta, e quindi solo dalla funzione $f$: si può quindi parlare di determinante di $f$, che si indica con $\det (f)$.

Molte affermazioni su $f$ sono equivalenti:

$f$ è una corrispondenza biunivoca $\Leftrightarrow$ $f$ è un isomorfismo $\Leftrightarrow$ $f$ è iniettiva $\Leftrightarrow$ $f$ è suriettiva $\Leftrightarrow$ $\det (A) = \det (f) \neq 0$

Quindi ciascuna di queste affermazioni equivalenti è vera se e solo se il determinante non è zero.

Autovalori e autovettori

Per approfondire, vedi Polinomio caratteristico.

Il determinante consente di trovare gli autovalori di una matrice $A$ mediante il suo polinomio caratteristico

$p(x) = \det(A - xI),$

dove $I$ è la matrice identità avente stesso numero di righe di $A$.

Basi, sistemi di riferimento

Dati $n$ vettori nello spazio euclideo $\R^n$, sia $A$ la matrice avente come colonne questi vettori. Le seguenti affermazioni sono equivalenti:

i vettori sono indipendenti $\Leftrightarrow$ i vettori generano $\R^n$ $\Leftrightarrow$ i vettori formano una base $\Leftrightarrow$ $\det (A) \neq 0$

Se gli $n$ vettori formano una base, allora il segno di $\det (A)$ determina l'orientazione della base: se positivo, la base forma un sistema di riferimento destrorso, mentre se è negativo si parla di sistema di riferimento sinistrorso (in analogia con la regola della mano destra).

Volumi

Cubo prima della trasformazione, di volume 1.

L'immagine del cubo dopo la trasformazione è un parallelepipedo, il cui volume è pari al determinante della trasformazione.

Il valore assoluto $|\det A|$ del determinante è uguale al volume del parallelepipedo sotteso dai vettori dati dalle colonne di $A$ (il parallelepipedo è in realtà un parallelogramma se $n=2$, ed un solido di dimensione $n$ in generale).

Più in generale, data una trasformazione lineare

$f: \R^n \rightarrow \R^n$

rappresentata da una matrice $A$, ed un qualsiasi sottoinsieme $S$ di $\Bbb{R}^n$ misurabile secondo Lebesgue, il volume dell'immagine $f(S)$ è dato da

$\left| \det(A) \right| \cdot \operatorname{volume}(S).$

Ancora più in generale, se la trasformazione lineare $f: \R^n \rightarrow \R^m$ è rappresentata da una matrice $A$ di tipo $m \times n$ e $S$ è un sottoinsieme di $\R^{n}$ misurabile secondo Lebesgue, allora il volume di $f(S)$ è dato da

$\sqrt{\det(A^T A)} \cdot \operatorname{volume}(S).$

Proprietà

Proprietà elementari

Dalle proprietà elencate nella definizione assiomatica, è facile dedurre che:

• Se tutti gli elementi di una riga (o colonna) sono nulli, allora $\det(A) = 0$.
• Se $A$ ha due righe (o colonne) eguali, o proporzionali, allora $\det(A) = 0$.
• Se una riga (o colonna) è combinazione lineare di due o più altre righe (o colonne) a essa parallele, allora $\det(A) = 0$.
• Se $A$ viene modificata tramite mosse di Gauss sulle colonne (invece che sulle righe), l'effetto è sempre quello descritto nella definizione assiomatica.
• In particolare, scambiando tra di loro due righe o due colonne il determinante cambia segno, restando uguale in valore assoluto. Ne consegue che un numero pari di scambi non varia né il segno né il modulo del determinante.
• Se una riga (o una colonna) è somma di due righe (o colonne), $\det(A)$ è la somma dei due determinanti che si ottengono sostituendo a quella riga (o colonna) rispettivamente le due righe (o colonne) di cui è somma.

Il determinante misura il volume del parallelepipedo generato dai vettori colonna della matrice. Moltiplicando un vettore per due, il volume viene moltiplicato per due (come richiesto dalla definizione assiomatica)

Moltiplicazione di matrici

Il determinante è una funzione moltiplicativa, nel senso che vale il teorema di Binet:

$\det(AB) = \det(A)\det(B).$

Una matrice quadrata $A$ con valori in un campo $K$ è invertibile se e solo se $\det(A)\neq 0$. In caso affermativo vale l'uguaglianza:

$\det(A^{-1}) = \left ( \det(A) \right )^{-1}.$

Le proprietà appena elencate mostrano che l'applicazione

$\det:\textrm{GL}_n(K)\to K^*\!\,$

dal gruppo generale lineare negli elementi non nulli di $K$ è un omomorfismo di gruppi.

Come conseguenza del teorema di Binet, se $I$ è la matrice identità di tipo $n\times n$ e $r$ uno scalare, è facile verificare che $\det(rI) = r^n$. Quindi:

$\det(rA) = \det (rI\cdot A) = r^n \det(A)$

Trasposte, matrici simili

Una matrice e la sua trasposta hanno lo stesso determinante:

$\det(A) = \det(A^T).$

Se $A$ e $B$ sono simili (cioè esiste una matrice invertibile $X$ tale che $A$ = $X^{-1} B X$) allora per il teorema di Binet $\det(A) = \det(B).$

Questo significa che il determinante è un invariante per similitudine. Da questo segue che il determinante di una trasformazione lineare $f:V\to V$ è ben definito (non dipende dalla scelta di una base per lo spazio vettoriale $V$).

D'altra parte, esistono matrici con lo stesso determinante che non sono simili.

Autovalori

Il determinante di una matrice triangolare è il prodotto degli elementi nella diagonale.

Se $A$ è di tipo $n\times n$ con valori reali o complessi e ha tutti gli autovalori $\lambda_1, \ldots, \lambda_n$ nel campo (contati con molteplicità), allora

$\det(A) = \lambda_{1}\lambda_{2} \cdots \lambda_{n}.$

Questa uguaglianza segue dal fatto che $A$ è sempre simile alla sua forma normale di Jordan, che è una matrice triangolare superiore con gli autovalori sulla diagonale principale.

Dal collegamento fra determinante e autovalori si può derivare una relazione fra la funzione traccia, la funzione esponenziale e il determinante:

$\det(\exp(A)) = \exp(\operatorname{tr}(A)).$

Derivata

Il determinante può considerarsi una funzione polinomiale

$\det:\Bbb{R}^{n \times n}\to\Bbb{R};$

quindi essa è differenziabile rispetto ad ogni variabile corrispondente al valore che può assumere in una casella e per qualunque suo valore. Il suo differenziale può essere espresso mediante la formula di Jacobi:

$d \det(A) = \operatorname{tr}(\operatorname{cof^\top}(A) dA)$

dove cof^T(A) denota la trasposta della matrice dei cofattori (detta anche dei complementi algebrici) di A, mentre tr(A) ne denota la traccia. In particolare, se A è invertibile abbiamo

$d\det(A) = \det(A) \,\operatorname{tr}(A^{-1} dA)$

o, più colloquialmente, se i valori della matrice $X$ sono sufficientemente piccoli

$\det(A + X) - \det(A) \approx \det(A) \,\operatorname{tr}(A^{-1} X).$

Il caso particolare di $A$ coincidente con la matrice identità $I$ comporta

$\det(I + X) \approx 1 + \operatorname{tr}(X).$

Generalizzazioni

Pfaffiano

Lo pfaffiano è un analogo del determinante per matrici antisimmetriche di tipo $2n\times 2n$ . Si tratta di un polinomio di grado $n$ il cui quadrato è uguale al determinante della matrice.

Infinite dimensioni

Per gli spazi ad infinite dimensioni non si trova alcuna generalizzazione dei determinanti e della nozione di volume. Sono possibili svariati approcci, inclusa la utilizzazione dell'estensione della traccia di una matrice.

Bibliografia

In italiano

• Ernesto Pascal I determinanti: teoria ed applicazioni. Con tutte le più recenti ricerche (Milano: U. Hoepli, 1897)
• Francesco Calderara Trattato dei determinanti (Palermo: Virzì, 1913)

In lingua straniera

• (FR) Francesco Brioschi Théorie des déterminants et leurs principales applications; traduit de l'italien par M. Édouard Combescure (Parigi : Mallet-Bachelier, 1856)
• (FR) R. Baltzer Théorie et applications des déterminants, avec l'indication des sources originales; traduit de l'allemand par J. Hoüel, (Parigi : Mallet-Bachelier, 1861)
• (EN) Lewis Carroll An elementary treatise on determinants, with their application to simultaneous linear equations and algebraical geometry (Oxford: University Press, 1867)
• (EN) R. F. Scott e G. B. Matthews The theory of determinants and their applications (Cambridge: University Press, 1904)
• (EN) T. Muir The theory of determinants in the historical order of development (4 vol.) (London: Macmillan and Co., Limited, 1906)
• (EN) T. Muir Contributions To The History Of Determinants 1900 1920 (Blackie And Son Limited, 1930)

Voci correlate

• Storia del determinante
• Sviluppo di Laplace
• Algoritmo di Gauss
• Regola di Sarrus
• Determinante jacobiano
• Matrice unimodulare

Altri progetti

• Questa voce è inclusa nel libro di Wikipedia Algebra lineare.

Collegamenti esterni

• (EN) Storia dell'uso delle matrici e dei determinanti su MacTutor

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