Determinante

Da Wikipedia, l'enciclopedia libera.
Una trasformazione lineare del piano cartesiano è descritta da una matrice quadrata 2\times 2. Il determinante della matrice fornisce delle informazioni sulla trasformazione: il valore assoluto descrive il cambiamento di area, mentre il segno descrive il cambiamento di orientazione. Nell'esempio qui riportato, la matrice ha determinante -1: quindi la trasformazione preserva le aree (un quadrato di area 1 si trasforma in un parallelogramma di area 1) ma inverte l'orientazione del piano.

In algebra lineare, il determinante di una matrice quadrata  A è un numero che descrive alcune proprietà algebriche e geometriche della matrice.

Esso viene generalmente indicato con \det(A) ed a volte con |A|, quest'ultima notazione è più compatta ma anche più ambigua, in quanto utilizzata talvolta per descrivere una norma della matrice.[1]

Il determinante è un potente strumento usato in vari settori della matematica: innanzitutto nello studio dei sistemi di equazioni lineari, quindi nel calcolo infinitesimale a più dimensioni (ad esempio nel Jacobiano), nel calcolo tensoriale, nella geometria differenziale, nella teoria combinatoria, etc.

Il volume di questo parallelepipedo è il valore assoluto del determinante della matrice 3\times 3 formata dai vettori r_1, r_2 e r_3. Questa relazione fra volume e determinante è valida in qualsiasi dimensione.

Il significato geometrico principale del determinante si ottiene interpretando la matrice quadrata  A di ordine  n come trasformazione lineare di uno spazio vettoriale a  n dimensioni: con questa interpretazione, il valore assoluto di \det(A) è il fattore con cui vengono modificati i volumi degli oggetti contenuti nello spazio. Se è diverso da zero, il segno del determinante indica inoltre se la trasformazione A preserva o cambia l'orientazione dello spazio rispetto agli assi di riferimento.

Definizione[modifica | modifica sorgente]

Il determinante di una matrice 2 × 2 è pari a:

\det \begin{pmatrix}a&b\\c&d\end{pmatrix}:= ad-bc.

Per definire il determinante di una generica matrice quadrata  n \times n si possono seguire due approcci: quello assiomatico, che definisce il determinante come l'unica quantità che soddisfa alcuni assiomi, e quello costruttivo tramite una formula esplicita. Esistono poi vari metodi di calcolo che risultano più agevoli a seconda del contesto.

Definizione tramite assiomi[modifica | modifica sorgente]

Sia  M_n(K) lo spazio vettoriale delle matrici quadrate  n\times n a valori nel campo  K (ad esempio, il campo dei numeri reali o complessi).

Il determinante è l'unica funzione  \det:M_n(K)\to K avente le proprietà seguenti:

  • \det I = 1 dove la matrice  I è la matrice identità.
  • Si comporta nel modo seguente rispetto all'algoritmo di Gauss-Jordan:
    • se  B è ottenuta scambiando due righe o due colonne di  A , allora  \det B = -\det A ,
    • se  B è ottenuta moltiplicando una riga o una colonna di  A per k , allora  \det B = k\det A ,
    • se  B è ottenuta sommando una riga o una colonna rispettivamente di  A ad un'altra, allora  \det B = \det A

Le proprietà elencate hanno un significato geometrico: sono le proprietà che deve verificare una funzione il cui valore assoluto è il volume del poliedro individuato dai vettori riga della matrice  B e il cui segno è positivo se e solo se tali vettori sono equiorientati alla base canonica.

Definizione costruttiva[modifica | modifica sorgente]

Il determinante di una matrice A_{n\times n} può essere definito in un modo più costruttivo, tramite la formula di Leibniz:

\det(A) := \sum_{\sigma \in S_n} \sgn(\sigma) \prod_{i=1}^n a_{i, \sigma(i)}

Nella formula,  S_n è l'insieme di tutte le permutazioni \sigma dell'insieme numerico  \{1,2,\ldots,n\} e \sgn(\sigma) denota il segno della permutazione (+1 se \sigma è una permutazione pari, −1 se è dispari).

In particolare:

  • Se  n=1 , il determinante di  A è semplicemente:
\det(A) := a_{1,1}
  • Se  n=2 , si ottiene la formula già vista:
\det(A) := a_{1,1}a_{2,2} - a_{2,1}a_{1,2}
  • Se  n=3 , si ottiene:

\det(A) := a_{1,1}a_{2,2}a_{3,3} + a_{1,3}a_{2,1}a_{3,2} + a_{1,2}a_{2,3}a_{3,1} -
          a_{1,3}a_{2,2}a_{3,1} - a_{1,1}a_{2,3}a_{3,2} - a_{1,2}a_{2,1}a_{3,3} \

Quest'ultima formula può essere memorizzata tramite la regola di Sarrus (che non è però estendibile ai casi  n>3 ).

La complessità della definizione costruttiva (comprese la generazione delle permutazioni) è elevata:

n! \cdot ( 2n + 1 ) = O(N \cdot N!)

Metodi di calcolo[modifica | modifica sorgente]

La definizione costruttiva del determinante è spesso complicata da usare per un calcolo concreto, perché si basa su una somma di ben n! addendi. Esistono altri algoritmi che consentono di calcolare il determinante più facilmente. Ciascun metodo ha una efficienza variabile, dipendente dalla grandezza della matrice e dalla presenza di zeri.

Matrici quadrate di ordine 2[modifica | modifica sorgente]

L'area del parallelogramma è il determinante della matrice

Il determinante di una matrice 2 × 2 è pari a:

\det \begin{pmatrix}a&b\\c&d\end{pmatrix}:= ad-bc

Il valore assoluto di questa espressione è pari all'area del parallelogramma con vertici in  (0,0), (a,c), (b,d) e  (a + b, c + d) . Il segno del determinante (se questo è diverso da zero) dipende invece dall'ordine ciclico con cui compaiono i vertici del parallelogramma (il segno è negativo se il parallelogramma è stato "ribaltato", e positivo altrimenti).

Come spiegato più sotto, questa proprietà geometrica si estende anche in dimensioni maggiori di 2: il determinante di una matrice  3 \times 3 è ad esempio il volume del poliedro i cui vertici si ricavano dalle colonne della matrice con lo stesso procedimento visto.

Matrici quadrate di ordine 3[modifica | modifica sorgente]

Calcolo del determinante di una matrice 3\times 3 tramite un metodo equivalente alla regola di Sarrus. Questo metodo non si estende a matrici più grandi.

Il determinante di una matrice 3 × 3 è pari a:


\det
\begin{pmatrix}
  a & b & c \\
  d & e & f \\
  g & h & i
\end{pmatrix}
 = aei + bfg + cdh - gec - hfa - idb

Un metodo mnemonico per ricordare questa formula, espresso dalla regola di Sarrus (questo metodo non si estende a matrici più grandi), prevede di calcolare i prodotti dei termini sulle diagonali "continue". Ripetendo a destra della matrice le sue prime due colonne:


\begin{pmatrix}
  a & b & c \\
  d & e & f \\
  g & h & i 
\end{pmatrix}
\begin{matrix}
 a & b \\
 d & e \\
 g & h
\end{matrix}

i prodotti delle componenti sulle 3 "diagonali" che partono dall'alto a sinistra (diagonali principali) sono aei, bfg e cdh, mentre sulle 3 "diagonali" che partono dal basso a sinistra (diagonali secondarie) si trovano gec, hfa, idb. Il determinante della matrice è esattamente la differenza tra la somma dei primi tre termini (aei + bfg + cdh) e la somma degli ultimi tre (gec + hfa + idb).

Notare che il valore del determinante equivale in questo caso al prodotto misto tra i vettori:


\begin{pmatrix}
 a\\
 d\\
 g
\end{pmatrix} \quad ; \quad 
\begin{pmatrix}
b\\
e\\
h
\end{pmatrix} \quad ; \quad 
\begin{pmatrix}
c\\
f\\
i
\end{pmatrix}

e il suo valore assoluto equivale al volume del parallelepipedo che ha i tre vettori come spigoli.

Sviluppo di Laplace[modifica | modifica sorgente]

Exquisite-kfind.png Per approfondire, vedi Teorema di Laplace.

Lo sviluppo di Laplace è un metodo di calcolo del determinante, che risulta efficiente solo per matrici molto piccole o contenenti un gran numero di zeri[2]. Si procede scegliendo una riga, la i-esima, tramite la formula:

\det(A) = \sum_{j=1}^n\ a_{i,j}C_{i,j}

dove C_{i,j} è il complemento algebrico della coppia  (i,j) , cioè C_{i,j} è data da (-1)^{i+j} per il determinante (minore) di ordine  n-1 ottenuto dalla matrice A eliminando la riga i-esima e la colonna j-esima.

Esiste uno sviluppo analogo anche lungo la j-esima colonna.

Algoritmo di Gauss[modifica | modifica sorgente]

Exquisite-kfind.png Per approfondire, vedi Metodo di eliminazione di Gauss.

La definizione assiomatica fornisce un altro utile strumento di calcolo del determinante, che si basa su questi due principi:

  • Il determinante di una matrice triangolare è semplicemente il prodotto degli elementi sulla diagonale, cioè:
\det (A)= \prod_{i=1}^n a_{ii}

Esempio[modifica | modifica sorgente]

Supponiamo di voler calcolare il determinante di:

A = \begin{pmatrix}-2&2&-3\\
-1& 1& 3\\
2 &0 &-1\end{pmatrix}

Si può procedere direttamente tramite la definizione costruttiva:

\det(A)=(-2)\cdot 1 \cdot (-1) + (-3)\cdot 0 \cdot (-1) + 2\cdot 3\cdot 2 - (-3)\cdot 1 \cdot 2 - (-2)\cdot 3 \cdot 0 - 2\cdot (-1) \cdot (-1)
 = 2+0+12-(-6)-0-2 = 18

Alternativamente si può utilizzare lo sviluppo di Laplace secondo una riga o una colonna. Conviene scegliere una riga o una colonna con molti zeri, in modo da ridurre gli addendi dello sviluppo; nel nostro caso sviluppiamo secondo la seconda colonna:

\det(A)=(-1)^{1+2}\cdot 2 \cdot \det \begin{pmatrix}-1&3\\
2 &-1\end{pmatrix} + (-1)^{2+2}\cdot 1 \cdot \det \begin{pmatrix}-2&-3\\
2&-1\end{pmatrix}
=(-2)\cdot((-1)\cdot(-1)-2\cdot3)+1\cdot((-2)\cdot(-1)-2\cdot(-3)) = (-2)(-5)+8 = 18

Lo sviluppo di Laplace può essere combinato con alcune mosse di Gauss. Ad esempio qui risulta particolarmente vantaggioso sommare la seconda colonna alla prima:

\begin{pmatrix}0&2&-3\\
0 &1 &3\\
2 &0 &-1\end{pmatrix}

Questa mossa non cambia il determinante. Sviluppando lungo la prima colonna si ottiene quindi ancora:

\det(A)=(-1)^{3+1}\cdot 2\cdot \det \begin{pmatrix}2&-3\\
1&3\end{pmatrix}
=2\cdot(2\cdot3-1\cdot(-3)) = 2\cdot 9 = 18

Proprietà[modifica | modifica sorgente]

Proprietà elementari[modifica | modifica sorgente]

Dalle proprietà elencate nella definizione assiomatica, è facile dedurre che:

  • Se tutti gli elementi di una riga (o colonna) sono nulli, allora  \det(A) = 0 .
  • Se  A ha due righe (o colonne) eguali, o proporzionali, allora  \det(A) = 0 .
  • Se una riga (o colonna) è combinazione lineare di due o più altre righe (o colonne) a essa parallele, allora  \det(A) = 0 .
  • Se  A viene modificata tramite mosse di Gauss sulle colonne (invece che sulle righe), l'effetto è sempre quello descritto nella definizione assiomatica.
  • In particolare, scambiando tra di loro due righe o due colonne il determinante cambia segno, restando uguale in valore assoluto. Ne consegue che un numero pari di scambi non varia né il segno né il modulo del determinante.
  • Se una riga (o una colonna) è somma di due righe (o colonne),  \det(A) è la somma dei due determinanti che si ottengono sostituendo a quella riga (o colonna) rispettivamente le due righe (o colonne) di cui è somma.
Il determinante misura il volume del parallelepipedo generato dai vettori colonna della matrice. Moltiplicando un vettore per due, il volume viene moltiplicato per due (come richiesto dalla definizione assiomatica)

Moltiplicazione di matrici[modifica | modifica sorgente]

Il determinante è una funzione moltiplicativa, nel senso che vale il teorema di Binet:

\det(AB) = \det(A)\det(B)

Una matrice quadrata  A con valori in un campo  K è invertibile se e solo se \det(A)\neq 0 . In caso affermativo vale l'uguaglianza:

\det(A^{-1}) = \left ( \det(A) \right )^{-1}

Le proprietà appena elencate mostrano che l'applicazione:

 \det:\textrm{GL}_n(K)\to K^*

dal gruppo generale lineare negli elementi non nulli di  K è un omomorfismo di gruppi.

Come conseguenza del teorema di Binet, se  I è la matrice identità di tipo n\times n e  r uno scalare, è facile verificare che  \det(rI) = r^n. Infatti:

\det(rA) = \det (rI\cdot A) = r^n \det(A)

Trasposte, matrici simili[modifica | modifica sorgente]

Una matrice e la sua trasposta hanno lo stesso determinante:

\det(A) = \det(A^T)

Se A e B sono simili (cioè esiste una matrice invertibile X tale che A = X^{-1} B X) allora per il teorema di Binet \det(A) = \det(B)

Questo significa che il determinante è un invariante per similitudine. Da questo segue che il determinante di una trasformazione lineare  f:V\to V è ben definito (non dipende dalla scelta di una base per lo spazio vettoriale  V ).

D'altra parte, esistono matrici con lo stesso determinante che non sono simili.

Nel campo dei numeri reali, il segno del determinante è anche invariante per congruenza.

Autovalori[modifica | modifica sorgente]

Il determinante di una matrice triangolare è il prodotto degli elementi nella diagonale.

Se A è di tipo  n\times n con valori reali o complessi e ha tutti gli autovalori  \lambda_1, \ldots, \lambda_n nel campo (contati con molteplicità), allora:

\det(A) = \lambda_{1}\lambda_{2} \cdots \lambda_{n}

Questa uguaglianza segue dal fatto che A è sempre simile alla sua forma normale di Jordan, che è una matrice triangolare superiore con gli autovalori sulla diagonale principale.

Dal collegamento fra determinante e autovalori si può derivare una relazione fra la funzione traccia, la funzione esponenziale e il determinante:

\det(e^A) = e^{\operatorname{tr}(A)}

Derivata[modifica | modifica sorgente]

Il determinante può considerarsi una funzione polinomiale:

\det:\Bbb{R}^{n \times n}\to\Bbb{R}

quindi essa è differenziabile rispetto ad ogni variabile corrispondente al valore che può assumere in una casella e per qualunque suo valore. Il suo differenziale può essere espresso mediante la formula di Jacobi:

d \det(A) = \operatorname{tr}(\operatorname{cof^\top}(A) dA)

dove \operatorname{cof^\top}(A) denota la trasposta della matrice dei cofattori (detta anche dei complementi algebrici) di A, mentre \operatorname{tr}(A) ne denota la traccia. In particolare, se A è invertibile si ha:

d\det(A) = \det(A) \,\operatorname{tr}(A^{-1} dA)

o, più colloquialmente, se i valori della matrice X sono sufficientemente piccoli:

\det(A + X) - \det(A) \approx \det(A) \,\operatorname{tr}(A^{-1} X)

Il caso particolare di A coincidente con la matrice identità I comporta:

\det(I + X) \approx 1 + \operatorname{tr}(X)

Applicazioni[modifica | modifica sorgente]

Sistemi lineari[modifica | modifica sorgente]

Il determinante è utile a calcolare il rango di una matrice e quindi a determinare se un sistema di equazioni lineari ha soluzione, tramite il teorema di Rouché-Capelli. Quando il sistema ha una sola soluzione, questa può essere esplicitata usando il determinante, mediante la regola di Cramer.

Matrici e trasformazioni invertibili[modifica | modifica sorgente]

Una matrice è detta singolare se ha determinante nullo. Una matrice singolare non è mai invertibile, e se è definita su un campo vale anche l'inverso: una matrice non singolare è sempre invertibile.

Una trasformazione lineare del piano, dello spazio, o più in generale di uno spazio euclideo o vettoriale (di dimensione finita) f:V\to V è rappresentata (dopo aver scelto una base) da una matrice quadrata  A . Il determinante è una quantità che non dipende dalla base scelta, e quindi solo dalla funzione  f : si può quindi parlare di determinante di  f , che si indica con \det (f) .

Molte affermazioni su  f sono equivalenti:

 f è una corrispondenza biunivoca  \Leftrightarrow  f è un isomorfismo  \Leftrightarrow  f è iniettiva  \Leftrightarrow  f è suriettiva  \Leftrightarrow  \det (A) = \det (f) \neq 0

Quindi ciascuna di queste affermazioni equivalenti è vera se e solo se il determinante non è zero.

Autovalori e autovettori[modifica | modifica sorgente]

Exquisite-kfind.png Per approfondire, vedi Polinomio caratteristico.

Il determinante consente di trovare gli autovalori di una matrice A mediante il suo polinomio caratteristico:

p(x) = \det(A - xI)

dove  I è la matrice identità avente stesso numero di righe di  A .

Basi, sistemi di riferimento[modifica | modifica sorgente]

Dati  n vettori nello spazio euclideo \R^n , sia  A la matrice avente come colonne questi vettori. Le seguenti affermazioni sono equivalenti:

i vettori sono indipendenti  \Leftrightarrow i vettori generano \R^n  \Leftrightarrow i vettori formano una base  \Leftrightarrow  \det (A) \neq 0

Se gli  n vettori formano una base, allora il segno di \det (A) determina l'orientazione della base: se positivo, la base forma un sistema di riferimento destrorso, mentre se è negativo si parla di sistema di riferimento sinistrorso (in analogia con la regola della mano destra).

Volumi[modifica | modifica sorgente]

Cubo prima della trasformazione, di volume 1.
L'immagine del cubo dopo la trasformazione è un parallelepipedo, il cui volume è pari al determinante della trasformazione.

Il valore assoluto |\det A| del determinante è uguale al volume del parallelepipedo sotteso dai vettori dati dalle colonne di  A (il parallelepipedo è in realtà un parallelogramma se  n=2 , ed un solido di dimensione n in generale). Più in generale, data una trasformazione lineare:

f: \R^n \rightarrow \R^n

rappresentata da una matrice A, ed un qualsiasi sottoinsieme  S di \Bbb{R}^n misurabile secondo Lebesgue, il volume dell'immagine f(S) è dato da:

\left| \det(A) \right| \cdot \operatorname{volume}(S)

Ancora più in generale, se la trasformazione lineare f: \R^n \rightarrow \R^m è rappresentata da una matrice A di tipo m \times n e S è un sottoinsieme di \R^{n} misurabile secondo Lebesgue, allora il volume di f(S) è dato da:

\sqrt{\det(A^T A)} \cdot \operatorname{volume}(S)

Generalizzazioni[modifica | modifica sorgente]

Pfaffiano[modifica | modifica sorgente]

Lo pfaffiano è un analogo del determinante per matrici antisimmetriche di tipo 2n\times 2n . Si tratta di un polinomio di grado n il cui quadrato è uguale al determinante della matrice.

Infinite dimensioni[modifica | modifica sorgente]

Per gli spazi ad infinite dimensioni non si trova alcuna generalizzazione dei determinanti e della nozione di volume. Sono possibili svariati approcci, inclusa la utilizzazione dell'estensione della traccia di una matrice.

Determinante di un endomorfismo[modifica | modifica sorgente]

Se V è uno spazio vettoriale di dimensione finita n sul campo \mathbb{K} allora è possibile definire il determinante di un endomorfismo f : V \to V direttamente, senza fare ricorso ad una base di V. Sia \Lambda^n(V) lo spazio vettoriale degli n-vettori di V. Consideriamo l'endomorfismo T_f di \Lambda^n(V) definito di modo che:

T_f(x_1 \wedge x_2 \wedge \cdots \wedge x_n) = f(x_1) \wedge f(x_2) \wedge \cdots \wedge f(x_n)

per ogni x_1, x_2, \ldots, x_n \in V, ed esteso per linearità a tutto \Lambda^n(V). Poiché \Lambda^n(V) ha dimensione uguale a 1 risulta che T_f altro non è che la moltiplicazione per uno scalare. Quindi possiamo definire il determinante di f attraverso l'equazione:

f(x_1) \wedge f(x_2) \wedge \cdots \wedge f(x_n) = \det(f) (x_1 \wedge x_2 \wedge \cdots \wedge x_n)

per ogni x_1, x_2, \ldots, x_n \in V. A questo punto seguono tutte le proprietà del determinante, in particolare è immediato che \det(\operatorname{id}) = 1 dove \operatorname{id} è l'endomorfismo identità di V. Se g è un altro endomorfismo di V allora:

\det(g \circ f) (x_1 \wedge x_2 \wedge \cdots \wedge x_n) = (g \circ f)(x_1) \wedge (g \circ f)(x_2) \wedge \cdots \wedge (g \circ f)(x_n)
= \det(g) (f(x_1) \wedge f(x_2) \wedge \cdots \wedge f(x_n)) = \det(f)\det(g) (x_1 \wedge x_2 \wedge \cdots \wedge x_n)

da cui \det(g \circ f) = \det(g) \det(f). Se f non è un isomorfismo allora l'immagine di f ha dimensione strettamente minore di n e quindi f(x_1), f(x_2), \ldots, f(x_n) sono sicuramente linearmente dipendenti, essendo che \wedge è una forma multilineare alternante segue che f(x_1) \wedge f(x_2) \wedge \cdots \wedge f(x_n) = 0 e quindi \det(f) = 0. Si verifica che fissata una base su V il determinante della matrice associata a f rispetto a tale base coincide con il determinante di f.

Note[modifica | modifica sorgente]

  1. ^ La notazione |\cdot| fu introdotta per la prima volta nel 1841 dal matematico inglese Arthur Cayley (MacTutor).
  2. ^ Per una matrice nxn 'piena', ossia senza elementi nulli, si dovrebbero eseguire n! moltiplicazioni.

Bibliografia[modifica | modifica sorgente]

Voci correlate[modifica | modifica sorgente]

Altri progetti[modifica | modifica sorgente]

Collegamenti esterni[modifica | modifica sorgente]

Matematica Portale Matematica: accedi alle voci di Wikipedia che trattano di Matematica