Decadimento esponenziale: differenze tra le versioni
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Data una quantità il cui valore è ''N'', il decadimento esponenziale è espresso dall'[[equazione differenziale]] |
Data una quantità il cui valore è ''N(t)'' al tempo ''t'', il decadimento esponenziale in funzione del tempo è espresso dall'[[equazione differenziale]] |
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:<math>\frac{dN}{dt} = -\lambda N.</math> |
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dove λ è un numero detto '''costante di decadimento'''.<br /> |
dove λ è un numero detto '''costante di decadimento'''.<br /> |
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La soluzione di questa equazione è |
La soluzione di questa equazione è:<ref>{{Cita libro|titolo=Fenomeni radioattivi|cognome=Bendiscioli|nome=Giorgio|editore=Springer|isbn=978-88-470-5452-3}} p. 5</ref> |
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:<math>N(t) = N_0 e^{-\lambda t}. </math> |
:<math>N(t) = N_0 e^{-\lambda t}. </math> |
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dove N('''t''') è la quantità al tempo '''t''', e <math>N_0 = N(0)</math> è la quantità iniziale, al tempo '''t'''=0. |
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* [[Circuito RC]]: la [[carica elettrica]] contenuta in un [[Condensatore (elettrotecnica)|condensatore]] ''C'' carico e posto su una [[Resistenza elettrica|resistenza]] ''R'' decade esponenzialmente. In questo caso la [[Costante di tempo di un circuito RC|costante di tempo]] τ = R•C |
* [[Circuito RC]]: la [[carica elettrica]] contenuta in un [[Condensatore (elettrotecnica)|condensatore]] ''C'' carico e posto su una [[Resistenza elettrica|resistenza]] ''R'' decade esponenzialmente. In questo caso la [[Costante di tempo di un circuito RC|costante di tempo]] τ = R•C |
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== Voci correlate == |
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Versione delle 16:23, 9 dic 2019
In fisica e matematica, il decadimento esponenziale è la diminuzione di una quantità proporzionale al valore della stessa.
Equazione del decadimento esponenziale
Data una quantità il cui valore è N(t) al tempo t, il decadimento esponenziale in funzione del tempo è espresso dall'equazione differenziale
dove λ è un numero detto costante di decadimento.
La soluzione di questa equazione è:[1]
dove N(t) è la quantità al tempo t, e è la quantità iniziale, al tempo t=0.
In alternativa si può scrivere
dove:
è detta costante di tempo ed è il tempo necessario a ridurre la quantità iniziale di circa il 63,21%.
Soluzione dell'equazione differenziale
L'equazione che descrive il decadimento esponenziale si può scrivere
integrando si ottiene
dove C è la costante di integrazione, e quindi
dove la sostituzione finale è ottenuta valutando l'equazione al tempo . Inoltre λ è l'autovalore dell'operatore differenziale con la relativa autofunzione. Il decadimento si misura in s-1.
Vita media
Dato un insieme di elementi, il cui numero decresce col tempo fino a diventare nullo, la vita media è il valore atteso del tempo che un elemento resta nell'insieme prima di esserne rimosso.
Data la quantità di elementi
si ha:
con c costante di normalizzazione:
Si nota che il decadimento esponenziale è un multiplo della distribuzione esponenziale, che ha un valore atteso ben noto. Usando l'integrazione per parti:
Decadimento in più fasi
Una quantità può decadere passando per due o più processi contemporaneamente, che in generale hanno differenti probabilità di verificarsi. Il valore di N è dato dalla somma dei possibili percorsi, e nel caso di due processi:
La soluzione è data nel paragrafo precedente, dove la somma dei è trattata come una nuova costante di decadimento totale .
Dal momento che :
Tempo di dimezzamento
Un parametro caratteristico del decadimento esponenziale è il tempo di dimezzamento, definito come il tempo occorrente per ridurre la quantità del 50%. Esso è legato alla costante di tempo dalla formula:
La formula si ricava partendo dalla legge del decadimento radioattivo:
Definendo in tempo in cui il numero si dimezza, si pone:
Esplicitando si ottiene la formula del tempo di dimezzamento.
Nel caso di due processi si ha
dove è il tempo di dimezzamento del primo processo, e del secondo.
Nel caso di tre processi, infine:
Scienze naturali
- In un campione di radionuclide che subisce un decadimento radioattivo con cui acquista un differente stato, il numero di atomi nello stato originale segue un decadimento esponenziale.
- Se un oggetto ad una temperatura è immerso in un mezzo a temperatura differente, la differenza di temperatura segue un decadimento esponenziale.
- Circuito RC: la carica elettrica contenuta in un condensatore C carico e posto su una resistenza R decade esponenzialmente. In questo caso la costante di tempo τ = R•C
Note
- ^ Giorgio Bendiscioli, Fenomeni radioattivi, Springer, ISBN 978-88-470-5452-3. p. 5
Voci correlate
Collegamenti esterni
- (EN) exponential decay, su Enciclopedia Britannica, Encyclopædia Britannica, Inc.
- (EN) Eric W. Weisstein, Decadimento esponenziale, su MathWorld, Wolfram Research.