Utente:Facquis/Sandbox/3

Un circuito RC (dall'inglese resistor-capacitor, resistenza-condensatore) è un circuito elettrico del primo ordine basato su una resistenza e sulla presenza di un elemento dinamico, il condensatore. In regime di tensione o di corrente variabile, ad esempio in regime alternato, a seconda di come sono disposti i due componenti del circuito RC, esso è in grado di filtrare le frequenze basse, ed in tal caso prende il nome di filtro passa basso, oppure quelle alte, ed in tal caso si dice filtro passa alto, realizzando un filtro del primo ordine. Se considerato come cella elementare, esso è in grado di comporre filtri del secondo ordine e via dicendo come il filtro doppio passa basso ed il filtro doppio passa alto.

Per le sue caratteristiche questo circuito è basilare per funzioni quali la pulizia di un segnale e nei sintetizzatori. Inoltre esso costituisce anche un tipo di derivatore e di integratore elementare sotto certe condizioni. Sfruttando il principio di carica e scarica del condensatore, questa configurazione trova utilizzo anche come oscillatore. In particolare è utilizzato per la generazione di segnali di clock, e se abbinato col Trigger di Schmitt permette di creare segnali digitali. Tuttavia, vista la variabilità dei comportamenti del condensatore in funzione delle condizioni ambientali, questa configurazione è utilizzata nelle applicazioni in cui la temporizzazione non necessita grande precisione.

Sistema dinamico

Un circuito RC è costituto dalla serie di un resistore e un condensatore. Il condensatore è un elemento dinamico lineare e stazionario caratterizzato dalla seguente relazione costitutiva:

$i_{C}(t)=C{\frac {d}{dt}}v_{C}(t)$

dove $i_{C}(t)$ e $v_{C}(t)$ sono rispettivamente la corrente e la tensione sul condensatore, mentre $C$ è la capacità. Un condensatore è capace di immagazzinare energia elettrostatica accumulando carica elettrica $q(t)$ sule proprie armature. La carica elettrica è legata alla tensione sul condensatore attraverso la relazione $q(t)=Cv_{C}(t)$.

Il comportamento elettrico del resistore è invece governato dalla legge di Ohm:

$v_{R}(t)=Ri_{R}(t)$

Considerato il circuito RC come un bipolo tipo serie elettricamente accessibile a una corrente $i(t)$ e una tensione $v(t)$ allora per le leggi di Kirchhoff:

${\begin{cases}i(t)=i_{C}(t)=i_{R}(t)\\v(t)=v_{R}(t)+v_{C}(t)\end{cases}}$

Dalle equazioni ricavate precedentemente è possibile determinare la rappresentazione in spazio di stato del circuito RC. Scelti $v_{C}(t)$ come variabile di stato, $v(t)$ come ingresso e $i(t)$ come uscita allora:

${\begin{cases}{\frac {d}{dt}}v_{C}(t)=-{\frac {1}{RC}}v_{C}(t)+{\frac {1}{RC}}v(t)\\i(t)=-{\frac {1}{R}}v_{C}(t)+{\frac {1}{R}}v(t)\end{cases}}$

L'uscita del sistema è data dalla somma della riposta libera (ingresso nullo) e della risposta forzata (condizioni iniziali nulle).

Analisi nel dominio del tempo

Risposta libera

In generale in un sistema dinamico la risposta libera è l'uscita del sistema quando l'ingresso è nullo, segue quindi che il comportamento del sistema dipende soltanto dalle condizioni iniziali delle variabili di stato. Nel caso del circuito RC allora si considera l'ingresso $v(t)=0$ e all'istante $t_{0}=0$ la condizione iniziale della variabile di stato $v_{C}(t_{0})={V_{C}}_{0}$, segue quindi che la carica sul condensatore all'istante iniziale è pari a $q(t_{0})=C{V_{C}}_{0}=Q_{0}$.

Scarica del condensatore

Circuito RC in evoluzione libera

Andamento della corrente durante la scarica del condensatore

Andamento della tensione durante la scarica del condensatore

Dal punto di vista circuitale la risposta libera del sistema coincide con il processo di scarica di un condensatore carico. All'istante iniziale il circuito equivalente è costituito da un interruttore aperto, essendo $i(t)=0$ e $v(t)=0$, mentre il condensatore è carico (eventualmente caricato da un generatore) quindi possiede una carica $Q_{0}$ e ai suoi terminali si rileva una differenza di potenziale ${V_{C}}_{0}$.

Alla chiusura dell'interruttore allora nel circuito circola una corrente dovuta all'energia immagazzinata nel condensatore e precedentemente fornita da una sorgente esterna. La corrente circolante si dissipa sulla resistenza finché il condensatore si scarica e la tensione su di esso si annulla. Il sistema dinamico corrispondente, poste queste condizioni allora è:

${\begin{cases}{\frac {d}{dt}}v_{C}(t)=-{\frac {1}{RC}}v_{C}(t)\\i(t)=-{\frac {1}{R}}v_{C}(t)\end{cases}}$

l'equazione del circuito allora è un'equazione differenziale omogenea del primo ordine, risolvendola si ottiene:

$v_{C}(t)={V_{C}}_{0}e^{-t/RC}$

La carica sul condensatore allora è

$q(t)=Q_{0}e^{-t/RC}$

La corrente sul condensatore, cioè l'uscita del sistema invece è:

$i(t)=-{\frac {{V_{C}}_{0}}{R}}e^{-t/RC}$

La decrescita esponenziale delle grandezze elettriche del circuito è definita dalla costante di tempo $\tau =RC$, per la quale il condensatore può considerarsi scarico al 99% dopo un tempo pari a circa $5\tau$.

Risposta in regime stazionario

In generale in un sistema dinamico la risposta forzata è l'uscita del sistema quando le condizioni iniziali delle variabili di stato sono nulle, segue quindi che il comportamento del sistema dipende soltanto dall'ingresso del sistema. Nel caso del circuito RC allora si considera un generico ingresso $v(t)$ e all'istante $t_{0}$ la condizione iniziale della variabile di stato $v_{C}(t_{0})=0$, segue quindi che la carica sul condensatore all'istante iniziale è nulla $q(t_{0})=0$.

Carica del condensatore

Circuito RC con generatore di tensione costante

Andamenti del potenziale e della corrente in funzione del tempo di carica del condensatore

Dal punto di vista circuitale la risposta forzata a un ingresso costante del sistema coincide con il processo di carica di un condensatore scarico. All'istante iniziale il circuito equivalente è costituito da un interruttore aperto, essendo $i(t)=0$ e $v(t)=0$, mentre il condensatore è scarico, $Q_{0}=0$ e ai suoi terminali non si rileva alcuna differenza di potenziale ${V_{C}}_{0}=0$.

Alla chiusura dell'interruttore il circuito RC viene collegato a un generatore di tensione costante $E$, quindi la tensione ai morsetti del bipolo diventa $v(t)=E$. La tensione applicata fa circolare una corrente che consente alle cariche di accumularsi sulle armature del condensatore. La corrente circolante carica il condensatore e continua a circolare finché assume una carica $Q$ si stabilisce su di esso una differenza di potenziale $V_{C}$. Il sistema dinamico corrispondente, poste queste condizioni allora è:

${\begin{cases}{\frac {d}{dt}}v_{C}(t)=-{\frac {1}{RC}}v_{C}(t)+{\frac {1}{RC}}E\\i(t)=-{\frac {1}{R}}v_{C}(t)+{\frac {1}{R}}E\end{cases}}$

l'equazione del circuito allora è un'equazione differenziale non omogenea del primo ordine, risolvendola si ottiene:

$v_{C}(t)=E{\big (}1-e^{-t/RC}{\big )}$

La carica sul condensatore allora è

$q(t)=Q{\big (}1-e^{-t/RC}{\big )}$

La corrente sul condensatore, cioè l'uscita del sistema invece è:

$i(t)={\frac {E}{R}}e^{-t/RC}$

Fisicamente la presenza della tensione costante del generatore induce che la tensione ai capi di C $v_{C}(t)$ cresca esponenzialmente partendo da $v_{C}(t=0)=v_{C}(0)$ fino a tendere al valore della tensione costante del generatore. Dunque per $t\to \infty$ si ha che $v_{C}(t)\to V_{0}$. Viceversa la corrente indotta nel circuito è esponenzialmente decrescente da un valore iniziale ${\frac {V_{0}-v_{C}(0)}{R}}$ fino a tendere al valore i = 0 .

Quando al tendere di $t\to \infty$ la tensione $v_{C}(t)\to V_{0}=cost$, il condensatore si comporta come un circuito aperto. A regime di tensione costante un qualsiasi circuito composto da un numero arbitrario di resistenze e di generatori di tensione costante e da un condensatore può essere quantitativamente studiato utilizzando questa proprietà, cioè supponendo che il circuito in corrispondenza del condensatore sia aperto.

In particolare la risposta del circuito RC ad una tensione costante è composta di due parti: la prima è

$\left(v_{C}(0)-V_{0}\right)e^{-t/\tau }$

e si chiama risposta transitoria o transiente del circuito, la seconda è $V_{0}$, e viene detta risposta permanente o a regime del circuito.

Come si vede dalla figura sui grafici del potenziale e della corrente, gli andamenti sono esponenziali crescenti per la carica (identico a quello del potenziale) e il potenziale. Ciò sta a significare che il condensatore non si carica istantaneamente e completamente, ma si carica in un tempo teoricamente infinito, anche se in effetti l'andamento ci fa vedere come la carica si sviluppi in pochi costanti di tempo $\simeq 3,5\tau$ e per il resto diventa trascurabile. Dall'equazione della corrente all'inverso si vede come decresce esponenzialmente a zero e cioè all'inizio il condensatore si comporta come un corto circuito e al tempo infinito come un circuito aperto. Questa caratteristica si può evidenziare anche a partire dall'impedenza stessa del condensatore applicando il teorema del valor iniziale e del valor finale.

Se, una volta caricato il condensatore e passivizzato il generatore (sostituendolo con un corto circuito), chiudiamo l'interruttore si assiste invece al processo inverso di scarica del condensatore.

Risposta al gradino

Risposta del circuito RC al gradino

Prendiamo un segnale a gradino del tipo:

$u(t)={\begin{cases}0&{\mbox{per }}t<0\\1&{\mbox{per }}t>0\end{cases}}$

come in figura. Il calcolo della tensione ai capi di C è data per $t>0$:

$v_{C}(t)=E(1-e^{-t/\tau })$

Ovviamente invece che a $t=0$ si può scegliere qualsiasi istante $t_{0}$ con le modifiche conseguenti:

$u(t-t_{0})={\begin{cases}0&{\mbox{per }}t<t_{0}\\1&{\mbox{per }}t>t_{0}\end{cases}}$

Il calcolo della tensione ai capi di C è data per $t>t_{0}$:

$v_{C}(t)=E(1-e^{-(t-t_{0})/\tau })\cdot u(t-t_{0})$

Si vede dalla seconda figura che la tensione ai capi di C per $t<t_{0}$ è nulla, per $t>t_{0}$ cresce esponenzialmente esattamente come se vi fosse un generatore costante:

$E=u(t>t_{0})=1\cdot E$

Nella figura si mostra il valore $u(t-t_{0})$ poiché è immediato che si può applicare il gradino a qualsiasi $E$.

Risposta all'onda quadra

Risposta del circuito RC all'onda quadra

Circuito RC con generatore costante a tratti

Applicando un segnale periodico a gradino si ha un'onda quadra:

$\mathrm {rect} (t)=V_{0}[u(t_{i})-u(t_{j})]\$

dove $t_{i},t_{j}$ sono gli istanti successivi equidistanti nel tempo. La risposta del circuito RC è:

$v_{C}(t)=V_{0}\left(1-e^{-{\frac {t}{\tau }}}\right)$

ma bisogna distinguere i casi in cui $t<t_{0}$ e $t>t_{0}$, cioè bisogna distinguere tra quando la durata dell'impulso $(t-t_{0})$ è abbastanza lunga da permettere al condensatore di caricarsi quasi totalmente e quando invece questo non avviene. In pratica, poiché la costante di tempo determina tutte le caratteristiche del circuito, bisogna verificare se $\tau <<t_{0}$ oppure $\tau >>t_{0}$, come nella figura a lato.

Risposta in regime sinusoidale

Circuito RC con generatore di onda sinusoidale

Z,R,Xc

V,Vr,Vc

Vediamo come si comporta il circuito RC applicando un generatore di onda sinusoidale. In questo caso possiamo applicare la legge di Kirchhoff delle tensioni per il circuito:

$V_{0}\cos(\omega t)=R\cdot i(t)+v_{C}(t)$

con gli stessi ragionamenti fatti all'inizio possiamo riscrivere l'equazione come:

$V_{0}\cos(\omega t)=RC{\frac {dv_{C}(t)}{dt}}+v_{C}(t)$

e quindi risolvere l'equazione differenziale a coefficienti costanti con termine noto:

${\frac {dv_{C}(t)}{dt}}+{\frac {1}{\tau }}v_{C}(t)={\frac {V_{0}\cos(\omega t)}{\tau }}$

nella quale $\tau =RC$ è ancora la costante di tempo del circuito. La soluzione generale è data dalla somma della soluzione dell'omogenea associata:

$v_{C}(t)=v_{C}(0)e^{-{\frac {t}{\tau }}}$

e una soluzione particolare:

$K\cos(\omega t+\theta )\$

dove K è una costante. Dunque:

$v_{C}(t)=v_{C}(0)e^{-{\frac {t}{\tau }}}+K\cos(\omega t+\theta )$

Anche in questo caso abbiamo una risposta transitoria data dall'esponenziale, la quale in un primo tempo, prevale sulla risposta permanente, data da un'altra sinusoide. Perciò per la durata del periodo di transizione la tensione ai capi di C prevale l'esponenziale e quindi essa si discosta dalla tensione sinusoidale di ingresso, dopo la fase transitoria la tensione ritorna ad essere una sinusoide con uguale pulsazione della tensione di ingresso. L'analisi di questo circuito può anche essere fatta per mezzo del metodo simbolico utilizzando i fasori e la trasformata di Fourier, sostituendo alle grandezze sinusoidali i loro corrispondenti fasori: i risultati sono identici, in quanto vige la legge di Ohm simbolica anche per regimi sinusoidali. In alternativa si può usare il metodo operatoriale più generale della trasformata di Laplace.

Analisi nel dominio della frequenza

Risposta in frequenza

Dominio dei fasori

Nel dominio dei fasori si ha che:

${\begin{cases}j\omega {\bar {V}}_{C}=-{\frac {1}{RC}}{\bar {V}}_{C}+{\frac {1}{RC}}{\bar {E}}\\{\bar {I}}=-{\frac {1}{R}}{\bar {V}}_{C}+{\frac {1}{R}}{\bar {E}}\end{cases}}$

Risolvendo il sistema si ricava la tensione di uscita ai capi del condensatore:

${\bar {V}}_{C}={\bar {E}}\,{\frac {1}{1+j\omega RC}}$

La corrente sul condensatore, cioè l'uscita del sistema invece è:

${\bar {I}}={\bar {E}}\,{\frac {j\omega C}{1+j\omega RC}}$

Sostituendo la costante di tempo $\tau =RC$ e dividendo la parte reale dall'immaginaria si ottiene:

${\bar {V}}_{C}={\frac {1-j\omega \tau }{1+\omega ^{2}\tau ^{2}}}$ e ${\bar {I}}={\frac {\omega ^{2}C\tau +j\omega C}{1+\omega ^{2}\tau ^{2}}}$

Dominio di Laplace

Utilizzando il metodo operatoriale con la trasformata di Laplace al circuito serie (generatore di tensione, resistenza, capacità) otteniamo la trasformazione di equazioni differenziali (e integrali) in equazioni algebriche. Prelevando l'uscita in parallelo al condensatore:

${R\rightarrow R}$ e ${C\rightarrow {1 \over sC}}$

Adesso il circuito si risolve come un normale partitore di tensione, per ricavare la tensione sul condensatore:

$V_{c}(s)={{1 \over sC} \over {R+{1 \over sC}}}V_{0}(s)\rightarrow V_{c}(s)={1 \over {1+sRC}}V_{0}(s)={{1 \over RC} \over {s+{1 \over RC}}}V_{0}(s)$

Si vede che il legame tra la tensione di uscita e quella di ingresso è del tipo:

${\bar {V}}_{u}={\bar {H}}(j\omega )\cdot {\bar {V}}_{i}$

in generale ${\bar {H}}$ è chiamata funzione di rete o funzione di trasferimento ed è sempre una funzione reale di variabile complessa $j\omega$. La sola funzione di rete permette di riconoscere per mezzo del modulo di ${\bar {H}}$ e della sua fase, la risposta del circuito in regime sinusoidale (o periodico in generale se si usa il metodo operatoriale). Nel circuito RC in questione l'andamento del modulo e della fase della funzione di rete è mostrato in figura. Il valore per il quale:

$|{\bar {H}}|={\frac {1}{\sqrt {2}}}={\frac {1}{\sqrt {1+\omega ^{2}\tau ^{2}}}}$

cioè:

$\omega _{t}={\frac {1}{\tau }}$

è chiamata pulsazione di taglio (a volte anche detta frequenza di taglio in maniera impropria ma intuitiva poiché $\omega =2\pi f$) del circuito: dalla quale si possono dedurre le proprietà filtranti del circuito. Infatti per $\omega =\omega _{t}$ il modulo e l'argomento di ${\bar {H}}$ sono:

$|{\bar {H}}|={\frac {1}{\sqrt {2}}}{\mbox{ e }}arg{\bar {H}}=-45$

al di sotto di questa frequenza cioè per $\omega <\omega _{t}$:

$|{\bar {H}}|\approx 1{\mbox{ e }}arg{\bar {H}}\approx 0$

ciò indica che la risposta è quasi perfettamente identica all'ingresso senza sfasamento e variazione di ampiezza. Mentre per $\omega \to \infty$, cioè per tutte le altre frequenze al di sopra della frequenza di taglio:

$|{\bar {H}}|\approx 0{\mbox{ e }}arg{\bar {H}}\approx -90$

quindi il segnale di uscita viene praticamente azzerato con sfasamento massimo. Il circuito RC è un filtro passa-basso, per questo motivo.

Per ricavare la funzione di trasferimento $H(s)=V_{uscita}/V_{ingresso}$ basta dividere l'equazione per la $V_{0}(s)$:

$H(s)={V_{c}(s) \over V_{0}(s)}={{1 \over RC} \over {s+{1 \over RC}}}={1 \over sRC+1}$

analoga al metodo ottenuto con i fasori.

Bilancio energetico

Bilancio energetico

L'energia potenziale accumulata dal condensatore è:

$U_{C}(t)={\frac {Q(t)^{2}}{2C}}={\frac {{\mathcal {E}}^{2}C}{2}}\left(1-e^{-t/RC}\right)^{2}$

per ${\textstyle t\to \infty }$ si ha:

$U_{C}(\infty )={\frac {{\mathcal {E}}^{2}C}{2}}$

mentre l'energia dissipata per effetto Joule è:

$U_{\text{diss}}(t)=\int _{0}^{t}RI(t)^{2}\mathop {} \!\mathrm {d} t=R\int _{0}^{t}{\frac {{\mathcal {E}}^{2}}{R^{2}}}e^{-{2t}/{RC}}\mathop {} \!\mathrm {d} t={\frac {{\mathcal {E}}^{2}C}{2}}\left(1-e^{-{2t}/{RC}}\right)$

e per $t\to \infty$ si ha inoltre:

$U_{\text{diss}}(\infty )={\frac {{\mathcal {E}}^{2}C}{2}}$

Questo significa che l'energia fornita dal generatore in ogni istante è:

$U_{G}(t)=\int _{0}^{t}{\mathcal {E}}\mathop {} \!\mathrm {d} Q=\int _{0}^{t}{\mathcal {E}}I(t)\mathop {} \!\mathrm {d} t={\mathcal {E}}^{2}C\left(1-e^{-t/RC}\right)$

per ${\textstyle t\to \infty }$, l'energia totale fornita dal generatore è la somma delle energie accumulata dal condensatore e dissipata per l'effetto Joule:

$U_{G}(t=\infty )=U_{C}(\infty )+U_{\text{diss}}(\infty )={\mathcal {E}}^{2}C$

Bilancio energetico

La variazione di energia potenziale del condensatore è:

$\Delta U={\frac {Q_{0}^{2}}{2C}}-{\frac {0^{2}}{2C}}$

mentre il calore dissipato per effetto Joule è:

$\int _{0}^{\infty }Ri(t)^{2}\,dt=R\int _{0}^{\infty }{\frac {{V_{C}}_{0}^{2}}{R^{2}}}e^{-{\frac {2t}{RC}}}dt={\frac {{V_{C}}_{0}^{2}}{R}}\int _{0}^{\infty }e^{-{\frac {2t}{RC}}}dt={\frac {{V_{C}}_{0}^{2}C}{2}}={\frac {Q_{0}^{2}}{2C}}$

cioè l'energia potenziale del condensatore si trasforma tutta in calore nel processo di scarica:

$\Delta U=\int _{0}^{\infty }Ri(t)^{2}\,dt$

Bibliografia

• Paolo Mazzoldi, Massimo Nigro, Cesare Voci, Fisica (Volume II), EdiSES Editore, 2001, ISBN 88-7959-152-5.
• Libro di Paul Horowitz e Winfield Hill, The art of electronics, 1980, ISBN 0-521-37095-7.

Voci correlate

• Filtro passa basso
• Filtro passa alto
• Circuito RL
• Circuito RLC
• Snubber
• Filtro attivo

Altro

Unire Carica di un condensatore, Scarica di un condensatore, Costante di tempo (circuito RC)