Circuito RLC

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In elettronica, un circuito RLC è un circuito elettronico contenente solo resistori, induttori e condensatori. Per estensione, viene spesso definito RLC un circuito che contenga solamente elementi passivi. Il nome del circuito deriva dai simboli delle grandezze fisiche che caratterizzano gli elementi passivi, rispettivamente resistenza elettrica, induttanza e capacità elettrica.

I circuiti RLC sono sistemi dinamici lineari. Un circuito RLC costituisce un oscillatore armonico per la corrente elettrica ed entra in risonanza seguendo le medesime leggi fisiche del circuito LC. La differenza rispetto a quest'ultimo è la presenza del resistore, che smorza le oscillazioni indotte nel circuito qualora non siano sostenute da una sorgente.

dove sono due costanti che devono essere risolte imponendo le condizioni iniziali. La soluzione è una combinazione di due esponenziali reali con costanti di tempo e . Dal grafico della soluzione si vede che la risposta non oscilla poiché predomina il termine esponenziale e quindi la risposta si annulla velocemente. Al crescere di la risposta è dominata dal primo esponenziale. Imponendo le condizioni iniziali:

le costanti si ottengono risolvendo questo sistema:

Smorzamento critico[modifica | modifica wikitesto]

In tal caso, il circuito si dice con smorzamento critico, essendo la costante di smorzamento uguale alla pulsazione di risonanza, e le due radici sono reali e coincidenti , la soluzione prende la forma:

dove devono determinarsi imponendo le condizioni iniziali. La soluzione ha un esponenziale reale e il grafico della risposta presenta un massimo per dopo il quale tende a zero. Imponendo le condizioni iniziali:

le costanti si ottengono risolvendo questo sistema:

Smorzamento debole[modifica | modifica wikitesto]

In tal caso, il circuito si dice sottosmorzato (smorzato debolmente), essendo la costante di smorzamento minore della pulsazione di risonanza, e le radici sono complesse e coniugate:

con unità immaginaria . Definendo:

la soluzione prende la forma:

dove devono essere determinate imponendo le condizioni iniziali. Scegliendo:

la soluzione può essere posta nella forma:

La soluzione è una combinazione di due esponenziali reali uguali e l'oscillazione della risposta è modulata dal valore di questi esponenziali con costanti di tempo uguali . Imponendo le condizioni iniziali:

le costanti si ottengono risolvendo questo sistema:

Smorzamento nullo[modifica | modifica wikitesto]

In tal caso il circuito è senza smorzamento essendo la costante di smorzamento nulla, le radici sono immaginari puri: e la soluzione prende la forma:

dove oppure devono essere determinati imponendo le condizioni iniziali. Nel circuito in serie significa e in quello parallelo , in entrambi i casi la soluzione è una sinusoide che non si smorza mai. Anche in questo caso le costanti sono:

Considerazioni[modifica | modifica wikitesto]

Circuito RLC in serie con generatore costante

Per quanto riguarda le soluzioni del circuito RLC in serie la soluzione permette di trovare a seconda dei casi il valore di . Una volta trovato tale valore, possiamo ricavare le altre grandezze:

con costante. Da notare che in questo caso per risulta , e cioè l'induttore si comporta come un corto circuito e il condensatore come un circuito aperto .

Circuito RLC in parallelo con generatore costante

Nel caso del circuito RLC in parallelo le soluzione permette di ricavare a seconda dei casi la . Una volta trovato tale valore, possiamo ricavare le altre grandezze:

RLC in regime sinusoidale[modifica | modifica wikitesto]

Magnifying glass icon mgx2.svg Lo stesso argomento in dettaglio: Circuito risonante.

Il circuito RLC in serie e in parallelo risulta semplificato se si studia in regime sinusoidale, per il quale si utilizza il metodo simbolico.

RLC serie in regime sinusoidale[modifica | modifica wikitesto]

Prendiamo come riferimento la figura dell'RLC in serie e, come vuole il metodo simbolico, sostituiamo agli elementi le loro rispettive relazioni fasoriali:

con sempre unità immaginaria. Possiamo dunque calcolare l'impedenza del circuito:

in questa forma abbiamo una resistenza ed una reattanza . Vediamo allora che la reattanza si annulla per:

per la pulsazione detta pulsazione di risonanza. L'ammettenza per questa pulsazione

ha modulo che presenta un picco e ha quindi modulo massimo: si ha perciò il fenomeno della risonanza.

RLC parallelo in regime sinusoidale[modifica | modifica wikitesto]

Prendiamo come riferimento la figura dell'RLC in parallelo e, come vuole il metodo simbolico, sostituiamo agli elementi le loro rispettive relazioni, tenendo conto del generatore :

È conveniente in questo caso calcolare l'ammettenza:

in questa forma abbiamo una conduttanza ed una suscettanza . Vediamo allora che la suscettanza si annulla per:

per la frequenza detta frequenza di risonanza. L'impedenza per questa frequenza

ha modulo che presenta un picco e ha quindi modulo massimo: si ha perciò il fenomeno della risonanza.

Esempio di analisi di un circuito RLC come sistema dinamico lineare stazionario tramite la trasformata di Laplace[modifica | modifica wikitesto]

RLC esempio2.png

Nel caso del circuito RLC mostrato in figura il vettore di stato è costituito dalla corrente che passa attraverso l'induttore di induttanza e dalla tensione ai capi del condensatore di capacità , dove l'ingresso è la tensione del generatore mentre il vettore delle uscite è dato, ad esempio, dalle correnti che passano attraverso il resistore di resistenza e resistore di resistenza . Applicando le equazioni costitutive dei bipoli nonché le equazioni topologiche o leggi di Kirchhoff si ha:

Pertanto, sostituendo l'ultima relazione nelle precedenti e ponendo:

Definendo , , e come matrici di dimensioni opportune che premoltiplicano lo stato e gli ingressi , avremo:

Nel nostro caso, si ha che:




Si supponga per esempio di voler determinare l'andamento della seconda variabile di stato a partire da un dato istante , ipotizzando che il valore iniziale della stessa fosse nullo e l'andamento dell'ingresso coincida con un impulso di Dirac centrato in . Nel dominio di Laplace l'ingresso ha dunque valore identicamente unitario, quindi avremo:




Pertanto:


Antitrasformando per passare al dominio del tempo:


Dove:

Oscillatore ideale[modifica | modifica wikitesto]

Magnifying glass icon mgx2.svg Lo stesso argomento in dettaglio: Sistema dinamico.

Supponiamo : questo significa trascurare le perdite energetiche nel circuito, cioè immaginare che la quantità di energia fornita inizialmente al circuito non si disperda col passare del tempo. Questo ci porta a scrivere, passando al dominio di Laplace:

.

Si nota facilmente che la funzione di trasferimento ha una coppia di poli complessi coniugati (il polo di una funzione complessa è il punto in cui il suo denominatore si annulla), che valgono

, .

Tale punto rappresenta la pulsazione di risonanza dell'oscillatore. Ciò significa che a quella pulsazione e alla relativa frequenza il circuito è in grado di auto-alimentarsi: se il generatore viene spento, l'energia accumulata nel condensatore e nell'induttore continua a circolare nel circuito, generando un'oscillazione quasi perfettamente sinusoidale caratterizzata dalla frequenza .

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