Circuito RLC

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In elettronica, un circuito RLC è un circuito elettronico contenente solo resistori, induttori e condensatori. Per estensione, viene spesso definito RLC un circuito che contenga solamente elementi passivi. Il nome del circuito deriva dai simboli delle grandezze fisiche che caratterizzano gli elementi passivi, rispettivamente resistenza elettrica, induttanza e capacità elettrica.

I circuiti RLC sono sistemi dinamici lineari. Un circuito RLC costituisce un oscillatore armonico per la corrente elettrica ed entra in risonanza seguendo le medesime leggi fisiche del circuito LC. La differenza rispetto a quest'ultimo è la presenza del resistore, che smorza le oscillazioni indotte nel circuito qualora non siano sostenute da una sorgente.

dove A_1,\, A_2 sono due costanti che devono essere risolte imponendo le condizioni iniziali. La soluzione è una combinazione di due esponenziali reali con costanti di tempo  \tau_1 = -1/s_1 e \tau_2 = -1 /s_2. Dal grafico della soluzione si vede che la risposta \emph x(t) non oscilla poiché predomina il termine esponenziale e quindi la risposta si annulla velocemente. Al crescere di  \alpha la risposta è dominata dal primo esponenziale. Imponendo le condizioni iniziali:

\emph x(0) = A_1 + A_2
\frac{dx(0)}{dt} = A_1 s_1 + A_2 s_2

le costanti A_1,\, A_2 si ottengono risolvendo questo sistema:

A_1 = \frac{A_1 s_1 + A_2 s_2 - (A_1 + A_2) s_2}{s_1 - s_2} \, \, \, \, A_2 = \frac{A_1 s_1 + A_2 s_2 - (A_1 + A_2) s_1}{s_2 - s_1}

\alpha = \omega_{0} Smorzamento critico[modifica | modifica wikitesto]

In tal caso, il circuito si dice con smorzamento critico, essendo la costante di smorzamento uguale alla pulsazione di risonanza, e le due radici sono reali e coincidenti \emph s_1 = s_2 = - \alpha = - \omega_0, la soluzione prende la forma:

x(t) =(A_1 \cdot t + A_2) \cdot e^{-\alpha t}

dove A_1,\, A_2 devono determinarsi imponendo le condizioni iniziali. La soluzione ha un esponenziale reale e il grafico della risposta presenta un massimo per \emph t = 1/ \alpha - A_2/A_1 dopo il quale tende a zero. Imponendo le condizioni iniziali:

\emph x(0) = A_2
\frac{dx(0)}{dt} = A_1 - \alpha A_2

le costanti A_1,\, A_2 si ottengono risolvendo questo sistema:

A_1 = A_1 -\alpha A_2 + \alpha A_2 \, \, \, \, A_2 = x(0)

\alpha < \omega_{0} Smorzamento debole[modifica | modifica wikitesto]

In tal caso, il circuito si dice sottosmorzato (smorzato debolmente), essendo la costante di smorzamento minore della pulsazione di risonanza, e le radici sono complesse e coniugate:

s_1 = - \alpha + i \sqrt{\omega_{0}^{2} - \alpha^2} \, \, \, s_2 = - \alpha - i \sqrt{\omega_{0}^{2} - \alpha^2}

con \emph i unità immaginaria \emph (i^2=-1). Definendo:

\beta = \sqrt{\omega_{0}^{2} - \alpha^2}

la soluzione prende la forma:

x(t) = \left[A_1 \cos \beta t + A_2 \sin \beta t \right] e^{-\alpha t}

dove A_1,\, A_2 devono essere determinate imponendo le condizioni iniziali. Scegliendo:

A = \sqrt{A_{1}^{2} + A_{2}^{2}} \, \, \, \phi = - \arctan \frac{A_2}{A_1}
A_1 = A \cos \phi \, \, \, \, A_2 = -A \sin \phi

la soluzione può essere posta nella forma:

\emph x(t) = A e^{-\alpha t} \cos \ (\beta t + \phi)

La soluzione è una combinazione di due esponenziali reali uguali e l'oscillazione della risposta è modulata dal valore di questi esponenziali  \pm A e^{-\alpha t} con costanti di tempo uguali  \tau = 1/\alpha. Imponendo le condizioni iniziali:

\emph x(0) = A_1
\frac{dx(0)}{dt} = - \alpha A_1 + A_2 \beta

le costanti A_1,\, A_2 si ottengono risolvendo questo sistema:

A_1 = x(0) \, \, \, \, A_2 = \frac{- \alpha A_1 + A_2 \beta + \alpha A_1}{\beta}

\alpha =0 Smorzamento nullo[modifica | modifica wikitesto]

In tal caso il circuito è senza smorzamento essendo la costante di smorzamento nulla, le radici sono immaginari puri: \emph s_1 = s_2 = \pm i \omega_{0} e la soluzione prende la forma:

\emph x(t) = A_1 \cos \omega_0 t + A_2 \sin \omega_0 t = A \cos (\omega_0 t + \phi)

dove A_1,\, A_2 oppure A devono essere determinati imponendo le condizioni iniziali. Nel circuito in serie  \alpha = 0 significa \emph R = 0 e in quello parallelo \emph R = \infty, in entrambi i casi la soluzione è una sinusoide che non si smorza mai. Anche in questo caso le costanti sono:

A_1 = x(0) \, \, \, \, A_2 = \frac{dx(0)}{dt}

Considerazioni[modifica | modifica wikitesto]

Per quanto riguarda le soluzioni del circuito RLC in serie la soluzione permette di trovare a seconda dei casi il valore di i(t). Una volta trovato tale valore, possiamo ricavare le altre grandezze:

v_R(t) = R \cdot i(t)
v_L(t) = L \cdot \frac{di(t)}{dt}
\emph v_C (t) = e - v_R(t) - v_L (t)

Da notare che in questo caso per \emph t \to \infty risulta \emph v_R (t) \to 0, \emph v_L (t) \to 0 e \emph v_C (t) = e cioè l'induttore si comporta come un corto circuito e il condensatore come un circuito aperto \emph v_C = e.

Nel caso del circuito RLC in parallelo le soluzione permette di ricavare a seconda dei casi la v(t). Una volta trovato tale valore, possiamo ricavare le altre grandezze:

\emph i_R(t) = \frac{1}{R} v(t)
\emph i_C(t) = C  \frac{dv(t)}{dt}
\emph i_L(t) = i(t) - i_R(t) - i_C (t)

RLC in regime sinusoidale[modifica | modifica wikitesto]

Exquisite-kfind.png Lo stesso argomento in dettaglio: Circuito risonante.

Il circuito RLC in serie e in parallelo risulta semplificato se si studia in regime sinusoidale, per il quale si utilizza il metodo simbolico.

RLC serie in regime sinusoidale[modifica | modifica wikitesto]

Prendiamo come riferimento la figura dell'RLC in serie e, come vuole il metodo simbolico, sostituiamo agli elementi le loro rispettive relazioni:

\mathbf{Z}_R (i \omega) = R
\mathbf{Z}_L (i \omega) = i \omega L
\mathbf{Z}_C (i \omega) = \frac{1}{i \omega C}

con \emph i sempre unità immaginaria. Possiamo dunque calcolare l'impedenza del circuito:

\mathbf{Z} (i \omega) = R + i \omega L + \frac{1}{i \omega C} =  R + i \left(\omega L - \frac{1}{\omega C} \right)

in questa forma abbiamo una resistenza \emph R ed una reattanza \emph X = \omega L - \frac{1}{\omega C}. Vediamo allora che la reattanza si annulla per:

\omega L - \frac{1}{\omega C} = 0 \, \, \Rightarrow \, \, \omega_0 = \frac{1}{\sqrt{LC}}

per la pulsazione  \omega_0 detta pulsazione di risonanza. L'ammettenza per questa pulsaione

\mathbf{Y} (i \omega_0) = \frac{1}{R}

ha modulo che presenta un picco e ha quindi modulo massimo: si ha perciò il fenomeno della risonanza.

RLC parallelo in regime sinusoidale[modifica | modifica wikitesto]

Prendiamo come riferimento la figura dell'RLC in parallelo e, come vuole il metodo simbolico, sostituiamo agli elementi le loro rispettive relazioni, tenendo conto del generatore \emph i(t) \Rightarrow \mathbf{I}_s:

\mathbf{Z}_R (i \omega) = R
\mathbf{Z}_L (i \omega) = i \omega L
\mathbf{Z}_C (i \omega) = \frac{1}{i \omega C}

È conveniente in questo caso calcolare l'ammettenza:

\mathbf{Y} (i \omega) = \frac{1}{R} + \frac{1}{i \omega L} + i \omega C =  \frac{1}{R} + i \left(\omega C - \frac{1}{\omega L} \right)

in questa forma abbiamo una conduttanza G = \frac{1}{R} ed una suscettanza B = \omega C - \frac{1}{\omega L}. Vediamo allora che la suscettanza si annulla per:

\omega C - \frac{1}{\omega L} = 0 \, \, \Rightarrow \, \, \omega_0 = \frac{1}{\sqrt{LC}}

per la frequenza  \omega_0 detta frequenza di risonanza. L'impedenza per questa frequenza

\mathbf{Z} (i \omega_0) = R

ha modulo che presenta un picco e ha quindi modulo massimo: si ha perciò il fenomeno della risonanza.

Oscillatore ideale[modifica | modifica wikitesto]

Exquisite-kfind.png Lo stesso argomento in dettaglio: Sistema dinamico.

Supponiamo \emph R=0: questo significa trascurare le perdite energetiche nel circuito, cioè immaginare che la quantità di energia fornita inizialmente al circuito non si disperda col passare del tempo. Questo ci porta a scrivere:

H(s)=\frac{sC}{s^2LC+1}.

Si nota facilmente che la funzione di trasferimento ha una coppia di poli complessi coniugati (il polo di una funzione complessa è il punto in cui il suo denominatore si annulla), che valgono

p_1=i\frac{1}{\sqrt{LC}}, p_2=-i\frac{1}{\sqrt{LC}}.

Tale punto rappresenta la pulsazione di risonanza dell'oscillatore. Ciò significa che a quella pulsazione e alla relativa frequenza \emph f=\frac{Im\{p\}}{2\pi} il circuito è in grado di auto-alimentarsi: se il generatore viene spento, l'energia accumulata nel condensatore e nell'induttore continua a circolare nel circuito, generando un'oscillazione quasi perfettamente sinusoidale caratterizzata dalla frequenza \emph f.

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