Fasore

Un fasore può essere visto come un vettore che ruota

Per i circuiti elettrici variabili (ad esempio in corrente alternata) il fasore è un numero complesso, rappresentabile quindi come vettore nel piano complesso, che rappresenta la trasformata di Steinmetz di una funzione sinusoidale di pulsazione ben definita. I fasori sono utilizzati dal metodo simbolico quale comoda rappresentazione in campo complesso di grandezze fisiche reali oscillanti come, in particolare, le grandezze elettriche, tensione o corrente.

Definizione

La formula di Eulero consente di rappresentare matematicamente una funzione sinusoidale sia come somma di due funzioni complesse:

$A\cdot \cos(\omega t + \theta) = A/2\cdot e^{i(\omega t + \theta)} + A/2\cdot e^{-i(\omega t + \theta)},$

sia come parte reale di una delle funzioni:

$\begin{align} A\cdot \cos(\omega t + \theta) &= \operatorname{Re} \left\{ A\cdot e^{i(\omega t + \theta)}\right\} \\ &= \operatorname{Re} \left\{ A e^{i\theta} \cdot e^{i\omega t}\right\}. \end{align}$

dove i è l'unità immaginaria, spesso indicata con j, e il numero di Nepero e la frequenza è data da $\omega/2\pi$.
Il fasore indica sia $A e^{i\theta} e^{i\omega t}$ sia la costante complessa $A e^{i\theta}$. Nel secondo caso si usa anche la notazione semplificata $A \angle \theta.$ In generale, la seconda forma è utilizzata, ad esempio, in uno spazio di fasori che hanno tutti la stessa pulsazione, che, in genere, è associata al fasore come oggetto.

Fasori e funzioni sinusoidali

Ogni famiglia di funzioni sinusoidali isofrequenziali, cioè alla stessa frequenza e quindi con pulsazione $\omega$ fissata, che rappresenti una generica grandezza $x(t)\;$:

$x(t) = X \cos(\omega t + \phi_x)\;$

dove $X$ rappresenta l'ampiezza della grandezza e $\phi_x$ la fase, può quindi essere rappresentata da un numero complesso con modulo $X$ e anomalia (o angolo) $\phi_x \;$. Si può quindi scrivere, per il nostro caso:

$x(t) \Rightarrow^{\mathfrak{F}} X e^{j \phi_x} \equiv \mathbf{X}$

dove $\mathfrak{F}$ indica la trasformazione da funzione del tempo a fasore, mentre $\mathbf X$ rappresenta in maniera compatta il fasore. Nella rappresentazione simbolica bisogna tenere conto e specificare sia l'ampiezza del fasore $X$ sia la fase $\phi_x$ essendo un numero complesso.

Essendo la pulsazione $\omega$ sottintesa, i fasori possono essere impiegati solo in circuiti elettrici nei quali tutte le grandezze elettriche siano sinusoidali e siano tutte alla stessa frequenza. Si può dimostrare che ciò è rigorosamente possibile solo nei circuiti lineari.

I fasori possono essere espressi sia in forma polare, indicando quindi, come sopra, modulo e fase, sia in forma cartesiana. In questo caso si ha:

$\Re (\mathbf{X}) = X \cos( \phi_x)$

$\Im (\mathbf{X}) = X \operatorname{\,sen}( \phi_x)$

Lo scopo dei fasori è quello di rendere più semplice e immediata l'analisi a regime dei circuiti lineari dotati di ingressi sinusoidali puri o riconducibili a una somma di sinusoidi. In questo caso la linearità del circuito garantisce la possibilità di applicare il principio di sovrapposizione degli effetti e di analizzare il circuito per ogni singola componente della somma di sinusoidi.

Proprietà dei fasori

I fasori permettono di descrivere le grandezze sinusoidali con un numero complesso costante, poiché nell'ambito dei circuiti isofrequenziali, il fattore $e^{j \omega t}$ viene omesso. Per ritrasformare un fasore nella grandezza fisica corrispondente è necessario moltiplicarlo per tale esponenziale ed estrarre la parte reale del fasore:

$\mathbf X \equiv X e^{j \phi_x} = X(\cos \phi_x + j \operatorname{\,sen \,} \phi_x)$

quindi estraendo la parte reale:

$\mathbf X \Rightarrow \Re[\mathbf X e^{j \omega t}] = \Re[X e^{j \omega t} e^{j \phi_x}] = \Re[X e^{j (\omega t + \phi_x)}] \Rightarrow X \cos (\omega t + \phi_x)$

Le operazioni con i fasori sono così definite:

• Somma di fasori

$X_1 \cos (\omega t + \phi_1) + X_2 \cos (\omega t + \phi_2) = \Re [\mathbf{X}_1 e^{j \omega t}] + \Re [\mathbf{X}_2 e^{j \omega t}] = \Re[(\mathbf{X}_1 + \mathbf{X}_2) e^{j \omega t}]$

quindi:

$\mathbf{X} = \mathbf{X}_1 + \mathbf{X}_2$

• Prodotto di un fasore per una costante reale

$k \cdot [X \cos (\omega t + \phi_1)] = k \cdot \Re [\mathbf{X} e^{j \omega t}]$

quindi:

$\mathbf Y = k \mathbf X$

• Derivazione nel tempo

Poiché per una grandezza $x(t) = A \cos (\omega t + \phi)$ e la sua derivata è:

$x'(t) = \frac{d}{dt} A \cos (\omega t + \phi) = - A \omega \operatorname{\,sen}(\omega t + \phi) = A \omega \cos (\omega t + \phi + \pi /2)$

allora in termini di fasori:

$\mathbf Y = j \omega \mathbf X$

Leggi costitutive dei bipoli nel dominio dei fasori

Per approfondire, vedi Metodo simbolico.

Dato un circuito in regime sinusoidale isofrequenziale, le leggi costitutive dei bipoli R, L e C si trasformano. Il resistore, per il quale vale la legge

$v(t) = R i(t) \$

è descritto dal metodo simbolico come:

$\mathbf{V} = R \mathbf{I}$

Le ampiezze $|\mathbf V| = R \cdot |\mathbf I|$ e inoltre la tensione e la corrente che attraversano il resistore sono in fase: $\phi_v \equiv \phi_i$.
Per il Condensatore si ha

$i(t) = C \frac{dv(t)}{dt}$

e usando la regola di derivazione si ottiene:

$\mathbf{I} = j \omega C \mathbf{V}$.

Le ampiezze $|\mathbf{I}| = \omega C |\mathbf V|$ e la corrente è in anticipo sulla tensione perché sfasata $\phi_i = \phi_v + \pi/2$.
Per l'Induttore si ha

$v(t) = L \frac{di(t)}{dt}$

e quindi

$\mathbf{V} = j \omega L \mathbf{I}$

Le ampiezze $|\mathbf{V}| = \omega L |\mathbf I|$ e la corrente è in ritardo sulla tensione perché $\phi_v = \phi_i + \pi/2$.

Voci correlate

• Trasformata di Steinmetz
• Metodo simbolico
• Regime sinusoidale
• Corrente alternata
• Circuito RLC
• Potenza (elettrotecnica)

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