Fasore

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Un fasore può essere visto come un vettore che ruota

Per i circuiti elettrici variabili (ad esempio in corrente alternata) il fasore è un numero complesso, rappresentabile quindi come vettore nel piano complesso, che rappresenta la trasformata di Steinmetz di una funzione sinusoidale di pulsazione ben definita. I fasori sono utilizzati dal metodo simbolico quale comoda rappresentazione in campo complesso di grandezze fisiche reali oscillanti come, in particolare, le grandezze elettriche, tensione o corrente.

Definizione

La formula di Eulero consente di rappresentare matematicamente una funzione sinusoidale sia come somma di due funzioni complesse:

$A\cdot \cos(\omega t+\theta )=A/2\cdot e^{i(\omega t+\theta )}+A/2\cdot e^{-i(\omega t+\theta )},$$A\cdot \cos(\omega t+\theta )=A/2\cdot e^{i(\omega t+\theta )}+A/2\cdot e^{-i(\omega t+\theta )},$

sia come parte reale di una delle funzioni:

${\begin{aligned}A\cdot \cos(\omega t+\theta )&=\operatorname {Re} \left\{A\cdot e^{i(\omega t+\theta )}\right\}&=\operatorname {Re} \left\{Ae^{i\theta }\cdot e^{i\omega t}\right\}.\end{aligned}}$${\begin{aligned}A\cdot \cos(\omega t+\theta )&=\operatorname {Re} \left\{A\cdot e^{i(\omega t+\theta )}\right\}&=\operatorname {Re} \left\{Ae^{i\theta }\cdot e^{i\omega t}\right\}.\end{aligned}}$

dove i è l'unità immaginaria, spesso indicata con j, e il numero di Nepero e la frequenza è data da $\omega /2\pi$$\omega /2\pi$.
Il fasore indica sia $Ae^{i\theta }e^{i\omega t}$$Ae^{i\theta }e^{i\omega t}$ sia la costante complessa $Ae^{i\theta }$$Ae^{i\theta }$. Nel secondo caso si usa anche la notazione semplificata $A\angle \theta .$$A\angle \theta .$ In generale, la seconda forma è utilizzata, ad esempio, in uno spazio di fasori che hanno tutti la stessa pulsazione, che, in genere, è associata al fasore come oggetto.

Fasori e funzioni sinusoidali

Ogni famiglia di funzioni sinusoidali isofrequenziali, cioè alla stessa frequenza e quindi con pulsazione $\omega$$\omega$ fissata, che rappresenti una generica grandezza $x(t)\;$$x(t)\;$:

$x(t)=X\cos(\omega t+\phi _{x})\;$$x(t)=X\cos(\omega t+\phi _{x})\;$

dove $X$$X$ rappresenta l'ampiezza della grandezza e $\phi _{x}$$\phi _{x}$ la fase, può quindi essere rappresentata da un numero complesso con modulo $X$$X$ e anomalia (o angolo) $\phi _{x}\;$$\phi _{x}\;$. Si può quindi scrivere, per il nostro caso:

$x(t)\Rightarrow ^{\mathfrak {F}}Xe^{j\phi _{x}}\equiv \mathbf {X}$$x(t)\Rightarrow ^{\mathfrak {F}}Xe^{j\phi _{x}}\equiv \mathbf {X}$

dove ${\mathfrak {F}}$${\mathfrak {F}}$ indica la trasformazione da funzione del tempo a fasore, mentre $\mathbf {X}$$\mathbf X$ rappresenta in maniera compatta il fasore. Nella rappresentazione simbolica bisogna tenere conto e specificare sia l'ampiezza del fasore $X$$X$ sia la fase $\phi _{x}$$\phi _{x}$ essendo un numero complesso.

Essendo la pulsazione $\omega$$\omega$ sottintesa, i fasori possono essere impiegati solo in circuiti elettrici nei quali tutte le grandezze elettriche siano sinusoidali e siano tutte alla stessa frequenza. Si può dimostrare che ciò è rigorosamente possibile solo nei circuiti lineari.

I fasori possono essere espressi sia in forma polare, indicando quindi, come sopra, modulo e fase , sia in forma cartesiana. In questo caso si ha:

$\Re (\mathbf {X} )=X\cos(\phi _{x})$$\Re (\mathbf {X} )=X\cos(\phi _{x})$

$\Im (\mathbf {X} )=X\operatorname {\,sen} (\phi _{x})$$\Im (\mathbf {X} )=X\operatorname {\,sen} (\phi _{x})$

Lo scopo dei fasori è quello di rendere più semplice e immediata l'analisi a regime dei circuiti lineari dotati di ingressi sinusoidali puri o riconducibili a una somma di sinusoidi. In questo caso la linearità del circuito garantisce la possibilità di applicare il principio di sovrapposizione degli effetti e di analizzare il circuito per ogni singola componente della somma di sinusoidi.

Proprietà dei fasori

I fasori permettono di descrivere le grandezze sinusoidali con un numero complesso costante, poiché nell'ambito dei circuiti isofrequenziali, il fattore $e^{j\omega t}$$e^{j\omega t}$ viene omesso. Per ritrasformare un fasore nella grandezza fisica corrispondente è necessario moltiplicarlo per tale esponenziale ed estrarre la parte reale del fasore:

$\mathbf {X} \equiv Xe^{j\phi _{x}}=X(\cos \phi _{x}+j\operatorname {\,sen\,} \phi _{x})$$\mathbf {X} \equiv Xe^{j\phi _{x}}=X(\cos \phi _{x}+j\operatorname {\,sen\,} \phi _{x})$

quindi estraendo la parte reale:

$\mathbf {X} \Rightarrow \Re [\mathbf {X} e^{j\omega t}]=\Re [Xe^{j\omega t}e^{j\phi _{x}}]=\Re [Xe^{j(\omega t+\phi _{x})}]\Rightarrow X\cos(\omega t+\phi _{x})$$\mathbf {X} \Rightarrow \Re [\mathbf {X} e^{j\omega t}]=\Re [Xe^{j\omega t}e^{j\phi _{x}}]=\Re [Xe^{j(\omega t+\phi _{x})}]\Rightarrow X\cos(\omega t+\phi _{x})$

Le operazioni con i fasori sono così definite:

• Somma di fasori

$X_{1}\cos(\omega t+\phi _{1})+X_{2}\cos(\omega t+\phi _{2})=\Re [\mathbf {X} _{1}e^{j\omega t}]+\Re [\mathbf {X} _{2}e^{j\omega t}]=\Re [(\mathbf {X} _{1}+\mathbf {X} _{2})e^{j\omega t}]$$X_{1}\cos(\omega t+\phi _{1})+X_{2}\cos(\omega t+\phi _{2})=\Re [\mathbf {X} _{1}e^{j\omega t}]+\Re [\mathbf {X} _{2}e^{j\omega t}]=\Re [(\mathbf {X} _{1}+\mathbf {X} _{2})e^{j\omega t}]$

quindi:

$\mathbf {X} =\mathbf {X} _{1}+\mathbf {X} _{2}$$\mathbf {X} =\mathbf {X} _{1}+\mathbf {X} _{2}$

• Prodotto di un fasore per una costante reale

$k\cdot [X\cos(\omega t+\phi _{1})]=k\cdot \Re [\mathbf {X} e^{j\omega t}]$$k\cdot [X\cos(\omega t+\phi _{1})]=k\cdot \Re [\mathbf {X} e^{j\omega t}]$

quindi:

$\mathbf {Y} =k\mathbf {X}$$\mathbf {Y} =k\mathbf {X}$

• Derivazione nel tempo

Poiché per una grandezza $x(t)=A\cos(\omega t+\phi )$$x(t)=A\cos(\omega t+\phi )$ e la sua derivata è:

$x'(t)={\frac {d}{dt}}A\cos(\omega t+\phi )=-A\omega \operatorname {\,sen} (\omega t+\phi )=A\omega \cos(\omega t+\phi +\pi /2)$$x'(t)={\frac {d}{dt}}A\cos(\omega t+\phi )=-A\omega \operatorname {\,sen} (\omega t+\phi )=A\omega \cos(\omega t+\phi +\pi /2)$

allora in termini di fasori:

$\mathbf {Y} =j\omega \mathbf {X}$$\mathbf {Y} =j\omega \mathbf {X}$

Leggi costitutive dei bipoli nel dominio dei fasori

Dato un circuito in regime sinusoidale isofrequenziale, le leggi costitutive dei bipoli R, L e C si trasformano. Il resistore, per il quale vale la legge

$v(t)=Ri(t)\$$v(t)=Ri(t)\$

è descritto dal metodo simbolico come:

$\mathbf {V} =R\mathbf {I}$$\mathbf {V} =R\mathbf {I}$

Le ampiezze $|\mathbf {V} |=R\cdot |\mathbf {I} |$$|\mathbf {V} |=R\cdot |\mathbf {I} |$ e inoltre la tensione e la corrente che attraversano il resistore sono in fase: $\phi _{v}\equiv \phi _{i}$$\phi _{v}\equiv \phi _{i}$.
Per il Condensatore si ha

$i(t)=C{\frac {dv(t)}{dt}}$$i(t)=C{\frac {dv(t)}{dt}}$

e usando la regola di derivazione si ottiene:

$\mathbf {I} =j\omega C\mathbf {V}$$\mathbf {I} =j\omega C\mathbf {V}$.

Le ampiezze $|\mathbf {I} |=\omega C|\mathbf {V} |$$|\mathbf {I} |=\omega C|\mathbf {V} |$ e la corrente è in anticipo sulla tensione perché sfasata $\phi _{i}=\phi _{v}+\pi /2$$\phi _{i}=\phi _{v}+\pi /2$.
Per l'Induttore si ha

$v(t)=L{\frac {di(t)}{dt}}$$v(t)=L{\frac {di(t)}{dt}}$

e quindi

$\mathbf {V} =j\omega L\mathbf {I}$$\mathbf {V} =j\omega L\mathbf {I}$

Le ampiezze $|\mathbf {V} |=\omega L|\mathbf {I} |$$|\mathbf {V} |=\omega L|\mathbf {I} |$ e la corrente è in ritardo sulla tensione perché $\phi _{v}=\phi _{i}+\pi /2$$\phi _{v}=\phi _{i}+\pi /2$.

Voci correlate

• Trasformata di Steinmetz
• Metodo simbolico
• Regime sinusoidale
• Corrente alternata
• Circuito RLC
• Potenza (elettrotecnica)

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