Teorema della probabilità totale

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Il teorema della probabilità totale consente di calcolare la probabilità che si verifichi almeno uno di due o più eventi, ovvero la probabilità dell'unione di essi. Il teorema ha due diverse formulazioni, a seconda che si considerino solo eventi a due a due incompatibili o eventi qualsiasi.

Eventi incompatibili[modifica | modifica wikitesto]

Dato un insieme finito o numerabile di eventi a due a due incompatibili, la probabilità dell'unione di tutti gli eventi è uguale alla somma delle probabilità degli eventi.

Questa è una prima formulazione del teorema, che si dimostra come segue.

Nel caso di due eventi A e B incompatibili, se cioè AB = ∅, si applica il quarto assioma della probabilità:

Si dimostra per induzione che ciò vale anche per un insieme finito di eventi An a due a due incompatibili, ovvero che:

Essendo la probabilità una funzione di insieme continua, essendo quindi:

il risultato può essere esteso ad unioni numerabili di eventi:

Infatti:

;
  • dalla continuità delle funzioni di probabilità segue:

Esempio[modifica | modifica wikitesto]

Se si lancia un dado, e si indicano con A1...A6 gli eventi "ottengo 1", ..., "ottengo 6", gli eventi sono a due a due incompatibili ed hanno ciascuno probabilità pari a 1/6. La probabilità dell'evento "ottengo un numero maggiore di 4" è:

Eventi qualsiasi[modifica | modifica wikitesto]

Dato un insieme finito di eventi, la probabilità dell'unione di tutti gli eventi è uguale a:

dove ciascuna somma è calcolata per tutti gli possibili sottoinsiemi di elementi dell'insieme .

È questa la formulazione più generale del teorema, che vale anche per eventi non incompatibili e si dimostra come segue.

Se gli eventi considerati non sono a due a due incompatibili, si deve tenere conto delle loro intersezioni. In particolare, la probabilità di due eventi A e B, in generale, è pari alla somma delle singole probabilità P(A) e P(B) diminuita della probabilità della loro intersezione:

Infatti, scomponendo sia AB che B in unioni di insiemi disgiunti ed applicando ad esse il quarto assioma, si ha:

Sottraendo membro a membro le due equazioni si ha:

da cui segue la formula data sopra.

Con più di due eventi, alla somma delle probabilità di ciascuno si deve sottrarre la somma delle loro intersezioni due a due, poi aggiungere la somma delle loro intersezioni tre a tre e così via. Nel caso di tre eventi A, B e C, si ha:

Prob totale.png

La formula per il caso di n eventi si dimostra per induzione (v. anche il principio di inclusione-esclusione).

Il teorema nella sua forma generale non può essere esteso a unioni numerabili di eventi. In tali casi risulta applicabile solo la disuguaglianza di Boole.

Esempi[modifica | modifica wikitesto]

Se si lanciano due dadi e si indicano con A1 l'evento "il primo dado dà 6", con A2 l'evento "il secondo dado dà 6", l'evento "almeno un dado dà 6" è unione di due eventi non incompatibili, in quanto può verificarsi anche la loro intersezione ("entrambi i dadi danno 6"). La probabilità di ottenere almeno un 6 (anche più di uno quindi) è dunque:

In un ristorante vi sono 3 sale ed entrano 10 persone, ciascuna delle quali sceglie a caso una sala. Qual è la probabilità che almeno una delle sale resti vuota? Le persone possono scegliere le sale in 310 modi diversi (numero delle disposizioni con ripetizione di 3 elementi di classe 10); vi sono 210 modi di lasciar vuota una sala (le 10 persone si dispongono solo in due sale). Indicando con Ai l'evento "rimane vuota la i-esima sala", le probabilità sono:

La probabilità dell'evento "rimane vuota una sala" è:

in quanto potrebbero restarne vuote due (un solo caso possibile: tutti nell'altra).

Voci correlate[modifica | modifica wikitesto]

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