Legge delle aspettative iterate

Nella teoria della probabilità, la legge delle aspettative iterate, o legge dell'aspettativa totale, o legge delle aspettazioni iterate (anche conosciuta sotto una varietà di ulteriori denominazioni), afferma che se $X$ è una variabile casuale integrabile — ossia, tale che ${\textrm {E}}|X|<\infty$ — e $Y$ è un'ulteriore variabile casuale, non necessariamente integrabile, definita sul medesimo spazio di probabilità, allora:

$\ {\textrm {E}}[{\textrm {E}}[X|Y]]={\textrm {E}}[X]$

ossia, il valore atteso del valore atteso di $\ X$ condizionato rispetto a $\ Y$ è uguale al valore atteso di $\ X$ stesso.

Si osservi che:

• Il valore atteso condizionato ${\textrm {E}}[X|Y]$ è una variabile casuale;
• Il valore atteso di $X$ condizionato all'evento $\left\{Y=y\right\}$, $\ {\textrm {E}}[X|Y=y]$, è a sua volta funzione di $y$.

Voci correlate

• Teorema della probabilità totale
• Legge della varianza totale