Assiomi di Kolmogorov

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Gli assiomi di Kolmogorov sono una parte fondamentale della teoria della probabilità di Andrey Kolmogorov . In essi, la probabilità P di qualche evento E, indicata come , è definita in modo da soddisfare questi assiomi. Gli assiomi sono descritti di seguito.

Questi assiomi possono essere riassunti come segue: Sia (Ω, FP) uno spazio mensurale con P(Ω) = 1. Allora (Ω, FP) è lo spazio delle probabilità, con spazio campionario Ω, spazio degli eventi F e misura della probabilità P.

Un approccio alternativo alla formalizzazione della probabilità, proposto da alcuni bayesiani, è dato dal teorema di Cox .

Assiomi[modifica | modifica wikitesto]

Primo assioma[modifica | modifica wikitesto]

La probabilità di un evento è un numero reale non negativo:

dove è lo spazio degli eventi. Segue che è sempre finito, in contrasto con la più generale teoria della misura. Teoria che assegna probabilità negativa in relazione al primo assioma.

Secondo assioma[modifica | modifica wikitesto]

La probabilità dell'intero spazio campione è 1 (Ipotesi della misura unitaria)

Terzo assioma[modifica | modifica wikitesto]

Qualsiasi sequenza numerabile di insiemi disgiunti (sinonimo di eventi reciprocamente esclusivi) soddisfa

Alcuni autori considerano unicamente spazi di probabilità puramente additivi, in tal caso è necessaria solo un'algebra di insiemi, piuttosto che una σ-algebra .

Conseguenze[modifica | modifica wikitesto]

Dagli assiomi di Kolmogorov si possono dedurre altre regole utili per il calcolo delle probabilità.

La probabilità dell'insieme vuoto[modifica | modifica wikitesto]

In alcuni casi, non è l'unico evento con probabilità 0.

Monotonicità[modifica | modifica wikitesto]

Se A è un sottoinsieme di B, o uguale a B, allora la probabilità di A è inferiore o uguale alla probabilità di B.

L'intervallo di definizione[modifica | modifica wikitesto]

Segue immediatamente dalla proprietà di monotonicità che

Ulteriori conseguenze[modifica | modifica wikitesto]

Un'altra proprietà importante è:

Questa è chiamata la legge addizionale della probabilità, o la regola della somma. Cioè, la probabilità che accada o A o B, è la somma delle probabilità che A accada e che B accada, meno la probabilità che accadranno sia A che B. La dimostrazione di ciò è:

In primo luogo,

(per il terzo Assioma)

Quindi,

(perché ).

E,

sottraendo da entrambe le equazioni otteniamo il risultato voluto.

Un'estensione della legge addizionale a qualsiasi numero di insiemi è il principio di inclusione-esclusione .

Chiamando B come complemento A c di A nella legge addizionale si ottiene

Cioè, la probabilità che un evento non accada (o il complemento dell'evento) è 1 meno la probabilità che accada.

Esempio semplice: lancio della moneta[modifica | modifica wikitesto]

Prendiano in considerazione il lancio di una singola moneta e presumiamo che esca o testa (T) o croce (C) (ma non entrambe). Non ipotizza che la moneta sia bilanciata.

Possiamo definire:

Gli assiomi di Kolmogorov implicano che:

La probabilità di non avere testa o croce è 0.

La probabilità di una testa o croce, è 1.

La somma della probabilità delle teste e delle croci è 1.

Voci correlate[modifica | modifica wikitesto]

Ulteriori letture[modifica | modifica wikitesto]

Collegamenti esterni[modifica | modifica wikitesto]