Teorema del viriale

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In meccanica classica, il teorema del viriale è una proposizione che lega la media temporale dell'energia cinetica e dell'energia potenziale di un sistema stabile di N particelle, e che ha importanti risvolti in diverse branche della fisica.

La prima formulazione del teorema è dovuta a Rudolf Clausius, nel 1870. Il nome viriale deriva dal latino vis che significa forza o energia.

Il teorema[modifica | modifica wikitesto]

Il teorema del viriale afferma che in un sistema di N particelle che si muovono in una regione limitata di spazio, la cui energia cinetica totale sia , vale la relazione

dove le parentesi indicano la media temporale ed rappresenta la forza che agisce sulla k-esima particella, situata nella posizione .

Se l'energia potenziale del sistema è una funzione omogenea di grado n delle coordinate, ovvero della forma

cioè proporzionale ad una potenza n della distanza media r tra le particelle, allora il teorema assume la forma

dove l'energia potenziale totale media è la somma dell'energia potenziale tra ogni coppia di particelle.

Nel caso particolare di un potenziale gravitazionale, proporzionale al reciproco della distanza, si ha che

dove U è l'energia potenziale gravitazionale.

Dimostrazione[modifica | modifica wikitesto]

Per dimostrare il teorema si consideri un sistema di masse ognuna indicata da un raggio vettore riferito ad una certa origine. Sia la forza agente sulla massa i-esima. Indicando con la quantità di moto della massa i-esima, allora

L'ultima somma, che si denota con , è pari a metà della traccia del tensore d'inerzia, che corrisponde al momento d'inerzia per un problema bidimensionale, rispetto all'origine del sistema di masse. Derivando questa espressione si ottiene:

Dove si è usata la relazione classica . Indicata con la forza esercitata dalla massa i-esima sulla massa j-esima e tenuto conto della natura gravitazionale delle forze

L'ultima espressione è quindi semplicemente U, l'energia potenziale gravitazionale totale del sistema di masse.

Siamo quindi giunti alla seguente espressione:

ed il teorema si ottiene quindi mediando entrambi i membri. Vista l'ipotesi di limitatezza dei moti, la media del primo membro è nulla, infatti il valor medio di una qualunque funzione del tempo è definito come

Se è una derivata rispetto al tempo di una funzione limitata risulta

Dimostrazione per energia dipendente dal grado delle coordinate[modifica | modifica wikitesto]

Poiché l'energia cinetica è una funzione quadratica delle velocità, si ha, per il Teorema di Eulero sulle funzioni omogenee

se ora introduciamo gli impulsi

e le rispettive derivate rispetto al tempo conformemente alle equazioni di Newton

si ottiene

in virtù del Teorema di Eulero sulle funzioni omogenee risulta

mentre per l'ipotesi di limitatezza dei moti il valor medio rispetto al tempo del termine

è nullo. Da ciò segue l'asserto

che nel caso gravitazionale, in cui , si riduce all'enunciato particolare.

Teorema del viriale in Meccanica Quantistica[modifica | modifica wikitesto]

Anche in Meccanica Quantistica si ha una variante del teorema del viriale classico.

Denominando con un autostato relativo all'autovalore dell'hamiltoniana

dove l'energia cinetica è sempre una funzione dei quadrati degli impulsi e l'energia potenziale è ancora una funzione omogenea di grado delle coordinate , si ha:

Dimostrazione[modifica | modifica wikitesto]

In questa dimostrazione, per comodità di scrittura, utilizzeremo la convenzione secondo la quale, quando ci sono due indici ripetuti, si sottintende una sommatoria sugli indici stessi, ad esempio:

Per la dimostrazione è utile dimostrare preliminarmente la seguente uguaglianza:

.

Infatti, ricordando che , vale:

Possiamo ora dimostrare la versione quantistica del teorema del viriale:

dove l'ultima uguaglianza segue dal fatto che

Dalle proprietà del commutatore posizione-momento segue che

e di nuovo dal teorema di Eulero sulle funzioni omogenee segue

Mettendo tutto insieme si ottiene

da cui l'enunciato

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