Teorema del viriale

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In meccanica classica, il teorema del viriale è una proposizione che lega la media temporale dell'energia cinetica e dell'energia potenziale di un sistema stabile di N particelle, e che ha importanti risvolti in diverse branche della fisica.

La prima formulazione del teorema è dovuta a Rudolf Clausius, nel 1870. Il nome viriale deriva dal latino vis che significa forza o energia.

Il teorema[modifica | modifica sorgente]

Il teorema del viriale afferma che in un sistema di N particelle che si muovono in una regione limitata di spazio, la cui energia cinetica totale sia T, vale la relazione

2 \left\langle T \right\rangle = -\sum_{k=1}^N \left\langle \mathbf {F}_k \cdot \mathbf{r}_k \right\rangle

dove le parentesi indicano la media temporale ed \mathbf F_k rappresenta la forza che agisce sulla k-esima particella, situata nella posizione \mathbf r_k.

Se l'energia potenziale del sistema è una funzione omogenea di grado n delle coordinate, ovvero della forma

U(r) = \alpha r^n \

cioè proporzionale ad una potenza n della distanza media r tra le particelle, allora il teorema assume la forma

2 \langle T \rangle = n \langle U \rangle.

dove l'energia potenziale totale media \left\langle U \right\rangle è la somma dell'energia potenziale tra ogni coppia di particelle.

Nel caso particolare di un potenziale gravitazionale, proporzionale al reciproco della distanza, si ha che

2 \langle T \rangle = - \langle U \rangle

dove U è l'energia potenziale gravitazionale.

Dimostrazione[modifica | modifica sorgente]

Per dimostrare il teorema si consideri un sistema di masse m_i ognuna indicata da un raggio vettore \mathbf{r}_i riferito ad una certa origine. Sia \mathbf{F}_i la forza agente sulla massa i-esima. Indicando con \mathbf{p}_i la quantità di moto della massa i-esima, allora

\sum_i \mathbf{p}_i\cdot \mathbf{r}_i=\sum_i m_i\mathbf{v}_i\cdot \mathbf{r}_i=\frac{1}{2}\frac{d}{dt}\sum_i m_i\mathbf{r}^2_i

L'ultima somma, che si denota con I, è pari a metà della traccia del tensore d'inerzia, che corrisponde al momento d'inerzia per un problema bidimensionale, rispetto all'origine del sistema di masse. Derivando questa espressione si ottiene:

\frac{1}{2}\frac{d^2I}{dt^2}=\sum_i \dot{\mathbf{p}}_i\cdot \mathbf{r}_i+\sum_i \mathbf{p}_i\cdot \dot{\mathbf{r}}_i=\sum_i \mathbf{F}_i\cdot \mathbf{r}_i + \sum_i m_i\mathbf{v}_i\cdot \mathbf{v}_i=\sum_i\mathbf{F}_i\cdot \mathbf{r}_i+2K

Dove si è usata la relazione classica \mathbf{\dot{p}}_i=\mathbf{F}_i. Indicata con \mathbf{F}_{ij} la forza esercitata dalla massa j-esima sulla massa i-esima e tenuto conto della natura gravitazionale delle forze

\sum_i\mathbf{F}_i\cdot\mathbf{r}_i=\sum_i\mathbf{r}_i\cdot\sum_{j\neq i} \mathbf{F}_{ij}=\sum_i\mathbf{r}_i\cdot\sum_{j\neq i} Gm_im_j\frac{\mathbf{r}_j-\mathbf{r}_i}{r^3_{ij}}=\sum_{j>i}\frac{Gm_im_j}{r^3_{ij}}
[\mathbf{r}_i\cdot(\mathbf{r}_j-\mathbf{r}_i)+\mathbf{r}_j\cdot(\mathbf{r}_i-\mathbf{r}_j)]=
=\sum_{j>i}\frac{Gm_im_j}{r^3_{ij}}(\mathbf{r}_j-\mathbf{r}_i)(\mathbf{r}_i-\mathbf{r}_j)=
-\sum_{j>i}\frac{Gm_im_j}{r_{ij}}

L'ultima espressione è quindi semplicemente U, l'energia potenziale gravitazionale totale del sistema di masse.

Siamo quindi giunti alla seguente espressione:

\frac{1}{2}\frac{d^2I}{dt^2}=2K+U

ed il teorema si ottiene quindi mediando entrambi i membri. Vista l'ipotesi di limitatezza dei moti, la media del primo membro è nulla, infatti il valor medio di una qualunque funzione del tempo f(t) è definito come

\bar f = \lim \limits_{T \to  + \infty } {1 \over T}\int_0^T {f\left( t \right)} dt

Se f(t) è una derivata rispetto al tempo f\left( t \right) = {{dF\left( t \right)} \over {dt}} di una funzione limitata F(t) risulta

\bar f = \lim \limits_{T \to  + \infty } {1 \over T}\int_0^T {{{dF\left( t \right)} \over {dt}}} dt = \lim \limits_{T \to  + \infty } {{F\left( T \right) - F\left( 0 \right)} \over T} = 0

Dimostrazione per energia dipendente dal grado delle coordinate[modifica | modifica sorgente]

Poiché l'energia cinetica K è una funzione quadratica delle velocità, si ha, per il Teorema di Eulero sulle funzioni omogenee

\sum\limits_i {\frac{{\partial K}}{{\partial \mathbf{v}_i }}}\cdot \mathbf{v}_i  = 2K

se ora introduciamo gli impulsi

\frac{{\partial K}}

{{\partial \mathbf{v}_i }} = \mathbf{p}_i

e le rispettive derivate rispetto al tempo conformemente alle equazioni di Newton

\mathbf{\dot p}_i  =  - \frac{{\partial U}}{{\partial \mathbf{r}_i }}

si ottiene

 2K = \sum\limits_i {\mathbf{p}_i  \cdot } \mathbf{v}_i  = \frac{d}
{{dt}}\left( {\sum\limits_i {\mathbf{p}_i  \cdot \mathbf{r}_i } } \right) - \sum\limits_i {\mathbf{r}_i }  \cdot \mathbf{\dot p}_i  = \frac{d}
{{dt}}\left( {\sum\limits_i {\mathbf{p}_i  \cdot \mathbf{r}_i } } \right) + \sum\limits_i {\mathbf{r}_i }  \cdot \frac{{\partial U}}
{{\partial \mathbf{r}_i }}

in virtù del Teorema di Eulero sulle funzioni omogenee risulta

nU = \sum\limits_i {\mathbf{r}_i }  \cdot \frac{{\partial U}}{{\partial \mathbf{r}_i }}

mentre per l'ipotesi di limitatezza dei moti il valor medio rispetto al tempo del termine

\frac{d}{{dt}}\left( {\sum\limits_i {\mathbf{p}_i  \cdot \mathbf{r}_i } } \right)

è nullo. Da ciò segue l'asserto

2 \langle T \rangle = n \langle U \rangle

che nel caso gravitazionale, in cui n = -1, si riduce all'enunciato particolare.

Teorema del viriale in Meccanica Quantistica[modifica | modifica sorgente]

Anche in Meccanica Quantistica si ha una variante del teorema del viriale classico.

Denominando con |E \rangle un autostato relativo all'autovalore E dell'hamiltoniana

H = K(\mathbf p)+U(\mathbf q)

dove l'energia cinetica K(\mathbf p) è sempre una funzione dei quadrati degli impulsi e l'energia potenziale U(\mathbf q) è ancora una funzione omogenea di grado n delle coordinate \mathbf q, si ha:

2\langle E |K |E \rangle = n \langle E |U |E \rangle

Dimostrazione[modifica | modifica sorgente]

In questa dimostrazione, per comodità di scrittura, utilizzeremo la convenzione secondo la quale, quando ci sono due indici ripetuti, si sottintende una sommatoria sugli indici stessi, ad esempio:

q_i p_i  \equiv \sum\limits_i {q_i p_i }

Per la dimostrazione è utile dimostrare preliminarmente la seguente uguaglianza:

\langle E |[{q}_i{p}_i,H] |E \rangle = 0.

Infatti, ricordando che \langle E |H = E \langle E |, vale:

\langle E |[{q}_i{p}_i,H] |E \rangle = \langle E |({q}_i{p}_iH - H{q}_i{p}_i) |E \rangle = E \langle E |{q}_i{p}_i |E \rangle - E \langle E |{q}_i{p}_i |E \rangle = 0

Possiamo ora dimostrare la versione quantistica del teorema del viriale:

0=\langle E |[{q}_i{p}_i,H] |E \rangle = \langle E |{q}_i[{p}_i,H] |E \rangle + \langle E |[{q}_i,H]{p}_i |E \rangle = \langle E |{q}_i[{p}_i,U] |E \rangle + \langle E |[{q}_i,K]{p}_i |E \rangle

dove l'ultima uguaglianza segue dal fatto che

\left[ {q_i ,U\left( {\mathbf{q}} \right)} \right] = \left[ {p_i ,K\left( {\mathbf{p}} \right)} \right] = 0

Dalle proprietà del commutatore posizione-momento segue che

\left[ {q_i ,K\left( {\mathbf{p}} \right)} \right] = i\hbar \frac{{\partial K}}{{\partial p_i }}
\left[ {p_i ,U\left( {\mathbf{q}} \right)} \right] =  - i\hbar \frac{{\partial U}}{{\partial q_i }}

e di nuovo dal teorema di Eulero sulle funzioni omogenee segue

\frac{{\partial K}}{{\partial p_i }}p_i  = 2K
\frac{{\partial U}}{{\partial q_i }}q_i  = nU

Mettendo tutto insieme si ottiene

-i\hbar\langle E |nU |E \rangle + i\hbar\langle E |2K |E \rangle = 0

da cui l'enunciato

2\langle E |K|E \rangle = n\langle E |U|E \rangle
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