dove <math>j </math>è il [[numero quantico]] del momento angolare totale, che ricordiamo può essere intero o semintero, ed <math>m_j = \{-j, -j+1, \dots , j - 1, j \}</math> è il [[numero quantico]] della proiezione del momento angolare totale.
dove <math>j </math> è il [[numero quantico]] del momento angolare totale, che ricordiamo può essere intero o semintero, ed <math>m_j = \{-j, -j+1, \dots , j - 1, j \}</math> è il [[numero quantico]] della proiezione del momento angolare totale.
== Elementi di matrice ==
== Elementi di matrice ==
Versione delle 13:35, 11 lug 2018
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Motivo: Scritto in forma "da libro di testo" ("vediamo...", "come abbiamo visto..."); da riscrivere in forma enciclopedica. Inoltre, entra troppo nel dettaglio delle dimostrazioni; bisognerebbe riportare solo i risultati e al limite i passaggi più rilevanti, lasciando all'apparato bibliografico il compito di scendere nel dettaglio.
Si può dimostrare che il momento angolare totale è il generatore delle rotazioni nello spazio, ma questo argomento è proposto per il momento angolare orbitale a cui si rimanda.
Formalmente, poi, il momento angolare totale ha le stesse regole del momento angolare orbitale e dello spin, per cui con possiamo indicare sia , sia e anche una composizione di momenti oppure o ancora .
Il momento angolare totale, analogamente al momento angolare orbitale, genera le rotazioni lungo un asse: la funzione d'onda ruotata di un angolo attorno all'asse z, diventa:
Allo stesso modo ed , in generale si ha che la componente del momento angolare su un asse commuta soltanto con la coordinata di quell'asse, in forma compatta:
dove e è il tensore di Levi-Civita, che è uguale a +1 per permutazioni pari degli indici, -1 per permutazioni dispari e 0 se i=j.
Per quanto riguarda le commutazioni con gli impulsi vale esattamente la stessa cosa:
Abbiamo visto che le componenti del momento angolare non commutano tra loro, ma tutti singolarmente commutano con l'operatore momento angolare al quadrato. Possiamo scegliere una sola componente (per esempio ) che commuta con , così lo stato che è autostato di entrambi gli operatori lo chiamiamo . Dobbiamo trovare quali sono gli autovalori (a volte più propriamente indicati con , , oppure con , ) simultanei di questi operatori:
Per fare questo introduciamo due operatori, detti operatori di scala:
che sono uno il complesso coniugato dell'altro e non sono hermitiani. Questi operatori hanno le proprietà:
L'operatore può essere espresso in termini di e operatori di scala , infatti:
cioè applicando l'autovalore di cioè b aumenta di , viceversa applicando , l'autovalore di viene diminuito di , da cui il nome di operatori di scala. Invece applicando :
cioè l'applicazione degli operatori cambia l'autovalore di , ma non di .
Per ovvi motivi di proiezione, la relazione che lega e è:
ciò implica che gli autovalori di questi operatori devono soddisfare:
cioè gli autovalori della proiezione del momento angolare totale b non possono superare quelli di , a. Quindi l'autovalore di è limitato inferiormente e superiormente dai valori che può prendere . Chiamiamo il valore minimo e il valore massimo che può assumere . Applicando successivamente gli operatori di scala , si capisce che deve essere:
Ora applichiamo
cioè:
Quindi l'autovalore di è volte . Ora per quanto detto:
Data la simmetria di cui deve godere rispetto al piano , si ha che b deve essere necessariamente o intero o semintero. Vi sono pertanto valori di b, cioè .
Si ottiene quindi infine per gli autovalori di
e per gli autovalori di
dove è il numero quantico del momento angolare totale, che ricordiamo può essere intero o semintero, ed è il numero quantico della proiezione del momento angolare totale.
Elementi di matrice
Vediamo come sono fatti esplicitamente le matrici dei momenti angolari. Assumiamo che i momenti angolari siano calcolati sugli autostati già normalizzati, allora in questa base di autostati sia sia sono diagonali:
Gli elementi di matrice degli operatori a scala sono dati da:
dove è un coefficiente. Utilizzando l'espressione:
ricaviamo l'espressione di e di e calcoliamo:
e quindi per :
In definitiva:
gli elementi di matrice sono:
Per esempio per possiamo esplicitare:
che come si vede è diagonale ovviamente nella base , mentre:
non lo sono.
Per le matrici prendono la forma delle matrici di Pauli a due componenti:
Per le matrici prendono la forma:
Bibliografia
J.J Sakurai - Meccanica quantistica moderna
L.D. Landau, E.M. Lifŝits - Meccanica quantistica, teoria non relativistica