Momento angolare orbitale

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Il momento angolare orbitale in meccanica quantistica è l'analogo del momento della quantità di moto in meccanica classica. Esso è il generatore delle rotazioni nello spazio.

Definizione[modifica | modifica wikitesto]

Il momento angolare è il momento della quantità di moto. Esso è pertanto definito come:

dove è il prodotto vettoriale. Classicamente ha componenti cartesiane:

In meccanica quantistica il momento angolare è rappresentato dall'operatore dato da:

ovvero la riscrittura delle componenti cartesiane classiche mediante l'operatore impulso:

scritto nella base delle coordinate.

Le rotazioni[modifica | modifica wikitesto]

In meccanica classica una rotazione di un angolo , intorno ad un asse (per esempio z) è descritta da una matrice ortogonale:

analogamente per gli altri assi. In generale una rotazione nello spazio è descritta dalla composizione di tre singole rotazioni sugli assi:

La matrice è una matrice reale e ortogonale speciale, cioè

.

Le rotazioni infinitesime[modifica | modifica wikitesto]

Consideriamo rotazioni infinitesime di un angolo su ognuno dei tre assi:

per angoli infinitesimi cioè abbiamo sviluppato in serie di potenze. Ora componiamo le rotazioni x,y:

e

Vediamo il commutatore di queste due quantità:

Ebbene le componenti dei momenti angolari su assi diversi non commutano.

Il momento angolare come generatore delle rotazioni nello spazio[modifica | modifica wikitesto]

Se è l'operatore di rotazione intorno all'asse z e lo applichiamo ad una funzione d'onda otteniamo:

Se invece consideriamo una rotazione infinitesima per esempio lungo l'asse z:

in definitiva:

Allora l'operatore di rotazione infinitesima è proprio il fattore tra parentesi che come si vede contiene la componente lungo l'asse z del momento angolare, per cui l'operatore è il generatore della rotazione intorno all'asse z. Poiché una rotazione finita può essere ottenuta come somma di N rotazioni infinitesime: , allora:

dove abbiamo usato la notazione tridimensionale. Facciamo il limite di questa espressione:

A conferma di ciò, il teorema di Noether per la lagrangiana afferma che per ogni simmetria della lagrangiana, in questo caso l'invarianza per rotazione rispetto ad un asse, per esempio l'asse j, vi è una quantità conservata pari a

Tale quantità conservata genera la trasformazione responsabile della simmetria. Nel caso di una rotazione, la trasformazione è

e si ha che

perciò:

Le proprietà del momento angolare[modifica | modifica wikitesto]

In base alle proprietà delle rotazioni nello spazio, l'operatore di rotazione:

deve avere la proprietà di riprodurre la stessa rotazione per rotazioni identitarie, cioè :

inoltre le rotazioni successive si devono poter comporre:

Inoltre applicando una rotazione diretta e una inversa dello stesso angolo si deve ritornare allo stato iniziale:

Proprietà di commutazione[modifica | modifica wikitesto]

Exquisite-kfind.png Lo stesso argomento in dettaglio: Commutatore (matematica).

Il commutatore tra due componenti del momento angolare è il seguente:

dove i commutatori fra le componenti di e risultano tutti nulli, eccetto nel caso con .

Per analogia si trovano gli altri, ricapitolando:

Costruiamo l'operatore , cioè l'operatore:

Vediamo come commuta con le componenti del momento angolare:

e analogamente:

cioè le componenti del momento angolare commutano con l'operatore .

Vediamo come si comportano i momenti angolari con gli operatori di posizione e impulso.

Allo stesso modo ed , in generale si ha che la componente del momento angolare su un asse commuta soltanto con la coordinata di quell'asse, in forma compatta:

dove e è il tensore di Levi-Civita, che è uguale a +1 per permutazioni pari degli indici, -1 per permutazioni dispari e 0 se i=j.

Per quanto riguarda le commutazioni con i momenti vale esattamente la stessa cosa:

Spettro del momento angolare[modifica | modifica wikitesto]

Exquisite-kfind.png Lo stesso argomento in dettaglio: Spettro (matematica).

Abbiamo visto che le componenti del momento angolare non commutano tra loro, ma tutti singolarmente commutano con l'operatore momento angolare al quadrato. Possiamo scegliere una sola componente (per semplicità ). Le equazioni agli autovalori sono:

dal momento che commuta con , essi hanno una base comune di autostati, e pertanto gli autostati e coincidono, e vengono indicati con .
Dobbiamo trovare quali sono gli autovalori a, b (a volte più propriamente indicati con , , oppure con , ) simultanei di questi operatori:

Per fare questo introduciamo due operatori, detti operatori di scala:

che sono uno il complesso coniugato dell'altro e non sono hermitiani. Questi operatori hanno le proprietà:

L'operatore può essere espresso in termini di e operatori di scala:

Per vedere quale sia il significato di , vediamo come agisce sullo stato :

cioè applicando , l'autovalore di aumenta di , viceversa applicando , l'autovalore di viene diminuito di , da cui il nome di operatori di scala. Invece:

cioè l'applicazione degli operatori cambiano gli autovalori di , ma non di .

Per ovvi motivi di proiezione, la relazione che lega ed è:

ciò implica che gli autovalori di questi operatori devono soddisfare:

cioè gli autovalori della proiezione del momento angolare non possono superare quelli di : fisicamente ciò significa che b assume il suo valore massimo quando coincide con la direzione dell'asse z, così la sua proiezione coincide con , in tal caso . Quindi l'autovalore di è limitato inferiormente e superiormente dai valori che può prendere . Chiamiamo il valore minimo e il valore massimo che può assumere . Applicando successivamente gli operatori di scala , si capisce che deve essere:

Ora applichiamo

cioè:

Quindi l'autovalore di è , dove a deve essere intero o semintero. Ora per quanto detto:

e anche qui b deve essere intero o semintero, perché tutti i valori di b sono distanti uno dall'altro (ricordiamo che le grandezze quantistiche si misurano in unità di ), dove se k è un intero, fissato a, vi sono (2k+1) valori di b, cioè per cui se a è intero lo è anche b e se a è semintero, lo è anche b. Si può dimostrare che gli autovalori a sono interi e quindi anche b sono interi: con questa scelta otteniamo infine le equazioni agli autovalori di e :

dove è il numero quantico azimutale ed è il numero quantico magnetico.

Autofunzioni del momento angolare[modifica | modifica wikitesto]

Exquisite-kfind.png Lo stesso argomento in dettaglio: Autofunzioni del momento angolare e armoniche sferiche.

Il momento angolare si introduce quando si affrontano problemi a simmetria sferica mediante l'uso delle coordinate sferiche. Non potendo diagonalizzare le tre componenti, si diagonalizzano simultaneamente (dato che commutano) il suo modulo quadro e la sua componente lungo . La sua rappresentazione spaziale è:

Mentre quella lungo è: Le autofunzioni simultanee degli operatori momento angolare totale e della sua componente lungo sono dette armoniche sferiche, le cui equazioni agli autovalori sono:

le armoniche sferiche sono pertanto

Bibliografia[modifica | modifica wikitesto]

Voci correlate[modifica | modifica wikitesto]

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