Equazioni di Hamilton

In meccanica hamiltoniana, le equazioni di Hamilton descrivono l'evoluzione temporale di un sistema fisico a partire dalla funzione che ne descrive l'energia totale, chiamata hamiltoniana. Si tratta di un sistema di equazioni differenziali usato in particolare in meccanica classica e quantistica.

Le equazioni

L'hamiltoniana ${\mathcal {H}}(\mathbf {q} ,\mathbf {p} ,t)$ di un sistema dinamico è una funzione definita nello spazio delle fasi $\mathbb {R} ^{2n}$ composto dalle coordinate generalizzate $\mathbf {q} =(q_{1},\dots q_{n})\in \mathbb {R} ^{n}$ e dai rispettivi momenti coniugati:

$\mathbf {p} ={\frac {\partial {\mathcal {L}}}{\partial \mathbf {\dot {q}} }}$

dove ${\mathcal {L}}(\mathbf {q} ,\mathbf {\dot {q}} ,t)$ è la lagrangiana. L'hamiltoniana viene solitamente associata all'energia totale del sistema, somma dell'energia cinetica e dell'energia potenziale. In alcuni casi, per esempio quando agiscono forze non conservative, è necessario fare uso dei cosiddetti potenziali generalizzati e l'hamiltoniana perde il significato fisico di energia totale del sistema.

Le equazioni di Hamilton sono un sistema di equazioni differenziali che forniscono l'evoluzione temporale del sistema:

${\dot {p}}_{j}=-{\frac {\partial {\mathcal {H}}}{\partial q_{j}}}\qquad {\dot {q}}_{j}={\frac {\partial {\mathcal {H}}}{\partial p_{j}}}$

ovvero:

${\frac {\mathrm {d} }{\mathrm {d} t}}\mathbf {p} (t)=-{\frac {\partial }{\partial \mathbf {q} }}{\mathcal {H}}(\mathbf {q} (t),\mathbf {p} (t),t)$

${\frac {\mathrm {d} }{\mathrm {d} t}}\mathbf {q} (t)={\frac {\partial }{\partial \mathbf {p} }}{\mathcal {H}}(\mathbf {q} (t),\mathbf {p} (t),t)$

Le equazioni di Hamilton sono simmetriche rispetto a $p_{j}=p_{j}(t)$ e $q_{j}=q_{j}(t)$, e pertanto scambiare $\pm q$ con $\mp p$ e $\pm {\dot {q}}$ con $\mp {\dot {p}}$ le lascia invariate.

Derivazione

Dato un sistema che ha n gradi di libertà descritto da una lagrangiana ${\mathcal {L}}(\mathbf {q} ,\mathbf {\dot {q}} ,t)$, l'equazione di Newton per il suo moto è equivalente alle equazioni di Eulero-Lagrange:

${\frac {\mathrm {d} }{\mathrm {d} t}}{\frac {\partial {\mathcal {L}}}{\partial {\dot {q}}_{i}}}-{\frac {\partial {\mathcal {L}}}{\partial q_{i}}}=0$

Si può formulare lo stesso problema prendendo come variabili indipendenti le coordinate generalizzate $q_{1},\dots ,q_{n}$ ed i momenti generalizzati $\mathbf {p} =(p_{1},\dots ,p_{n})$, definiti da $p_{i}=\partial {\mathcal {L}}/\partial {\dot {q}}_{i}$. In tale contesto, la trasformata di Legendre della Lagrangiana produce la funzione hamiltoniana:

${\mathcal {\mathcal {H}}}=\sum _{i}{{\dot {q}}_{i}}{\frac {\partial {\mathcal {L}}}{\partial {{\dot {q}}_{i}}}}-{\mathcal {L}}=\sum _{i}{{\dot {q}}_{i}}p_{i}-{\mathcal {L}}$

In una dimensione la trasformata si ottiene scrivendo il differenziale di ${\mathcal {L}}(q,{\dot {q}},t)$:

$\mathrm {d} {\mathcal {L}}={\frac {\partial {\mathcal {L}}}{\partial q}}\mathrm {d} q+{\frac {\partial {\mathcal {L}}}{\partial {\dot {q}}}}\mathrm {d} {\dot {q}}+{\frac {\partial {\mathcal {L}}}{\partial t}}\mathrm {d} t={\dot {p}}\mathrm {d} q+p\mathrm {d} {\dot {q}}+{\frac {\partial {\mathcal {L}}}{\partial t}}\mathrm {d} t={\dot {p}}\mathrm {d} q+(\mathrm {d} ({\dot {q}}p)-{\dot {q}}\mathrm {d} p)+{\frac {\partial {\mathcal {L}}}{\partial t}}\mathrm {d} t$

da cui:

$\mathrm {d} ({\dot {q}}p-{\mathcal {L}})=-{\dot {p}}\mathrm {d} q+{\dot {q}}\mathrm {d} p-{\frac {\partial {\mathcal {L}}}{\partial t}}\mathrm {d} t$

La lagrangiana viene così trasformata in un'altra equazione dipendente esplicitamente dalla sua derivata rispetto a $\mathbf {q}$, cioè da $\mathbf {p}$.

Dato il differenziale di ${\mathcal {H}}(\mathbf {q} ,\mathbf {p} ,t)$:

$\mathrm {d} {\mathcal {H}}={\frac {\partial {\mathcal {H}}}{\partial q}}\mathrm {d} q+{\frac {\partial {\mathcal {H}}}{\partial p}}\mathrm {d} p+{\frac {\partial {\mathcal {H}}}{\partial t}}\mathrm {d} t$

confrontandolo con la precedente espressione della trasformata di Legendre:

${\mathcal {H}}(\mathbf {q} ,\mathbf {p} ,t)=\mathbf {\dot {q}} (t)\mathbf {p} (t)-{\mathcal {L}}(\mathbf {q} ,{\dot {\mathbf {q} }},t)$

si ottengono le equazioni di Hamilton:

$\mathbf {\dot {q}} ={\frac {\partial {\mathcal {H}}}{\partial \mathbf {p} }}\qquad \mathbf {\dot {p}} =-{\frac {\partial {\mathcal {H}}}{\partial \mathbf {q} }}$

Se una coordinata è una coordinata ciclica per la Lagrangiana, ovvero è una coordinata da cui la lagrangiana non dipende direttamente, allora essa è ciclica anche per l'Hamiltoniana, mentre se il sistema è isolato (l'Hamiltoniana non dipende esplicitamente dal tempo, e quindi se ${\mathcal {L}}$ non dipende esplicitamente dal tempo) allora ${\mathcal {H}}$ stessa è una costante del moto:

${\frac {d{\mathcal {H}}}{dt}}=-{\frac {\partial {\mathcal {L}}}{\partial t}}=0$

Principio variazionale

Le equazioni di Hamilton si possono ricavare da un principio variazionale. In tal caso il principio variazionale di Hamilton si scrive:

$\delta I=\delta \int _{t_{1}}^{t_{2}}\left(\sum _{i=1}^{n}{\dot {q}}_{i}\,p_{i}-{\mathcal {H}}(q,p,t)\right)\,dt=0$

ed è definito nello spazio delle fasi. Il principio ci dice che il punto rappresentativo del moto nello spazio delle fasi tra $t_{1},t_{2}$ deve soddisfare il principio di Hamilton annullando l'integrale variazionale mantenendo costante il tempo tra $t_{1}$ e $t_{2}$, il che significa che l'integrale ha un estremo in corrispondenza di tutte le traiettorie tra i due tempi.

Bibliografia

• G. Benettin, Appunti per il corso di meccanica analitica (PDF), Padova, 2014.
• (IT) G. Andreassi Meccanica Hamiltoniana classica Quaderni del Dipartimento di Matematica dell'Università di Lecce, 14/1978.
• (IT) A. Fasano, S. Marmi, Meccanica Analitica, (2002) Bollati Boringhieri, Torino ISBN 88-339-5681-4
• (EN) Ralph Abraham and Jarrold E. Marsden, Foundations of Mechanics, (1978) Benjamin-Cummings, London ISBN 0-8053-0102-X
• (EN) Edmund T. Whittaker A treatise on the analytical dynamics of particles and rigid bodies; with an introduction to the problem of three bodies (Cambridge University Press, 1917)
• (EN) William Fogg Osgood Mechanics (MacMillan, 1937)
• (EN) Arthur Gordon Webster The dynamics of particles and of rigid, elastic, and fluid bodies. Being lectures on mathematical physics (Teubner, 1904)

Voci correlate

• Azione (fisica)
• Coordinate generalizzate
• Calcolo delle variazioni
• Lagrangiana
• Meccanica hamiltoniana
• Meccanica lagrangiana
• Metodo variazionale
• Principio di Fermat
• Principio di Maupertuis
• Principio variazionale di Hamilton
• Teoria di Hamilton-Jacobi

Collegamenti esterni

• (EN) Charles Torre - The Hamiltonian Formalism
• (EN) Joel Shapiro - Lagrange's and Hamilton's Equations
• (EN) Rychlik, Marek, "Lagrangian and Hamiltonian mechanics -- A short introduction"
• (EN) Binney, James, "Classical Mechanics" (PostScript) lecture notes (PDF)
• (EN) Tong, David, Classical Dynamics (Cambridge lecture notes)
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