Covarianza (probabilità): differenze tra le versioni
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La covarianza di due variabili aleatorie ''x'' e ''y'' è il [[valore atteso]] dei prodotti delle loro distanze dalla media: |
La covarianza di due variabili aleatorie ''x'' e ''y'' è il [[valore atteso]] dei prodotti delle loro distanze dalla media: |
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:<math>\sigma(x,y)=E\Big[\big(x-E[x]\big)(y-E[y]\big)\Big]</math>. |
:<math>\sigma(x,y)=\mathbb{E}\Big[\big(x-\mathbb{E}[x]\big)(y-\mathbb{E}[y]\big)\Big]</math>. |
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La covarianza di ''x'' e ''y'' può anche essere espressa come la differenza tra il [[valore atteso]] del loro prodotto e il prodotto dei loro valori attesi: |
La covarianza di ''x'' e ''y'' può anche essere espressa come la differenza tra il [[valore atteso]] del loro prodotto e il prodotto dei loro valori attesi: |
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:<math>\sigma(x,y)=E[xy]-E[x]E[y]\ </math>. |
:<math>\sigma(x,y)=\mathbb{E}[xy]-\mathbb{E}[x]\mathbb{E}[y]\ </math>. |
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Infatti per la [[trasformazione lineare|linearità]] del valore atteso risulta |
Infatti per la [[trasformazione lineare|linearità]] del valore atteso risulta |
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:<math>\mathbb{E}\Big[xy-x\mathbb{E}[y]-\mathbb{E}[x]y+\mathbb{E}[x]\mathbb{E}[y]\Big]=\mathbb{E}[xy]-\mathbb{E}[x]\mathbb{E}[y]-\mathbb{E}[x]\mathbb{E}[y]+\mathbb{E}[x]\mathbb{E}[y]=\mathbb{E}[xy]-\mathbb{E}[x]\mathbb{E}[y]\ </math>. |
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== Proprietà == |
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Due variabili aleatorie [[variabili indipendenti|indipendenti]] hanno covarianza nulla, poiché dalla loro indipendenza segue |
Due variabili aleatorie [[variabili indipendenti|indipendenti]] hanno covarianza nulla, poiché dalla loro indipendenza segue |
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:<math>E[xy]=E[x]E[y]\ </math> |
:<math>\mathbb{E}[xy]=\mathbb{E}[x]\mathbb{E}[y]\ </math> |
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Due variabili aleatorie che hanno covarianza nulla sono [[correlazione (statistica)|non correlate]]. |
Due variabili aleatorie che hanno covarianza nulla sono [[correlazione (statistica)|non correlate]]. |
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Due variabili aleatorie dipendenti possono essere non correlate. |
Due variabili aleatorie dipendenti possono essere non correlate. |
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Ad esempio, se ''x'' è una variabile aleatoria di [[variabile casuale uniforme continua|legge uniforme]] sull'intervallo [-1,1] e ''y=x<sup>2</sup>'', allora |
Ad esempio, se ''x'' è una variabile aleatoria di [[variabile casuale uniforme continua|legge uniforme]] sull'intervallo [-1,1] e ''y=x<sup>2</sup>'', allora |
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:<math>\textstyle \sigma(x,y)=\sigma(x,x^2)=E[x^3]-E[x]E[x^2]=0.5\int_{-1}^1x^3dx-0.5\int_{-1}^1xdx\int_{-1}^1x^2dx=0</math> |
:<math>\textstyle \sigma(x,y)=\sigma(x,x^2)=\mathbb{E}[x^3]-\mathbb{E}[x]\mathbb{E}[x^2]=0.5\int_{-1}^1x^3dx-0.5\int_{-1}^1xdx\int_{-1}^1x^2dx=0</math> |
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=== Varianza === |
=== Varianza === |
Versione delle 13:46, 1 set 2012
In teoria della probabilità la covarianza di due variabili aleatorie è un numero σ(x,y) che fornisce una misura di quanto le due varino assieme, ovvero della loro dipendenza.
Definizione
La covarianza di due variabili aleatorie x e y è il valore atteso dei prodotti delle loro distanze dalla media:
- .
La covarianza di x e y può anche essere espressa come la differenza tra il valore atteso del loro prodotto e il prodotto dei loro valori attesi:
- .
Infatti per la linearità del valore atteso risulta
- .
Proprietà
La covarianza rispetta le seguenti proprietà, per variabili aleatorie x, y e z, e costanti a e b:
Due variabili aleatorie indipendenti hanno covarianza nulla, poiché dalla loro indipendenza segue
Due variabili aleatorie che hanno covarianza nulla sono non correlate.
Due variabili aleatorie dipendenti possono essere non correlate. Ad esempio, se x è una variabile aleatoria di legge uniforme sull'intervallo [-1,1] e y=x2, allora
Varianza
La covarianza può essere considerata una generalizzazione della varianza
e compare come termine di correzione nella relazione
Più in generale, per variabili aleatorie e vale
come caso particolare di
- .
Statistica
Su un campione di n osservazioni congiunte (xi,yi), di rispettive medie osservate e , la covarianza osservata è
- .
Uno stimatore della covarianza per N osservazioni congiunte (xi,yi) è
L'indice di correlazione di Pearson è il rapporto tra la covarianza e le varianze: