Funzione càdlàg: differenze tra le versioni
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dove l'[[estremo inferiore]] è fatto su tutte le [[partizione di un intervallo|partizioni]] <math>\Pi</math> dell'intervallo <math>E</math> con mesh |
dove l'[[estremo inferiore]] è fatto su tutte le [[partizione di un intervallo|partizioni]] <math>\Pi</math> dell'intervallo <math>E</math> con mesh minore di <math>\delta</math>. Si può provare che <math>f</math> è càdlàg [[se e solo se]] <math>\varpi'_{f} (\delta) \to 0</math> quando <math>\delta \to 0</math>. |
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Definiamo dunque la '''distanza di Skorokhod''' come |
Definiamo dunque la '''distanza di Skorokhod''' come |
Versione delle 12:16, 31 ott 2009
In matematica, una funzione càdlàg (acronimo dal francese continue à droit, limitée à gauche, che significa continua a destra, limitata a sinistra) o più semplicemente (ma erroneamente) cadlag è una funzione di variabile reale che sia in ogni punto continua da destra e possegga limite sinistro finito.
Le funzioni càdlàg sono importanti nello studio dei processi stocastici che ammettono traiettorie con discontinuità di prima specie.
Esempi
- Tutte le funzioni continue sono naturalmente càdlàg.
- Tutte le funzioni di ripartizione sono càdlàg.[1]
Spazio di Skorokhod
Lo spazio di tutte le funzioni càdlàg su un certo dominio a valori nello spazio metrico viene detto spazio di Skorokhod. Esso si denota con . Tale spazio può essere munito di una topologia. Per semplicità, consideriamo come dominio l'intervallo con finito e come codominio lo spazio euclideo reale.
Dobbiamo prima definire un analogo del modulo di continuità. Per ogni , sia
l'oscillazione di su ; per , definiamo allora il modulo càdlàg come
dove l'estremo inferiore è fatto su tutte le partizioni dell'intervallo con mesh minore di . Si può provare che è càdlàg se e solo se quando .
Definiamo dunque la distanza di Skorokhod come
- ,
dove è l'identità di , è la norma uniforme e varia sull'insieme di tutte le biiezioni continue strettamente monotone su . Si dimostra che effettivamente è una metrica. La topologia indotta è detta topologia di Skorokhod.
Intuitivamente, il termine misura la "distorsione nel tempo" e il termine la "distorsione nello spazio".
Proprietà
Lo spazio contiene lo spazio delle funzioni continue. Su tale sottospazio la topologia di Skorokhod e la topologia uniforme coincidono.
La metrica non rende lo spazio di Skorokhod completo; tuttavia esiste una metrica equivalente a per cui ciò è vero. Tale metrica (e dunque anche ) rende inoltre uno spazio separabile e quindi uno spazio polacco.
Come applicazione del teorema di Ascoli, si può mostrare che una successione di misure di probabilità su è tight se solo se sono verificate le seguenti due condizioni:
con la seconda valida per ogni .
Note
- ^ Questo vale se, come largamente in uso, si definisce una funzione di ripartizione mediante la formula . La proprietà cade se si definisce , in quanto essa risulta essere una funzione continua a sinistra e con limite finito a destra.
Bibliografia
- Billingsley, Patrick (1995). Probability and Measure. New York, NY: John Wiley & Sons, Inc.. ISBN 0-471-00710-2.