Logaritmo naturale: differenze tra le versioni
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Il '''logaritmo naturale''' è il [[logaritmo]] in base ''[[e (costante matematica)|e]]'', dove <math>e</math> è uguale a <math>2{,}71828\ldots</math> Il logaritmo naturale è definito per tutte le <math>x</math> [[numeri reali|reali]] e positive, ma anche per i [[numeri complessi]] diversi da zero. |
Il '''logaritmo naturale''' (o ''logaritmo neperiano'') è il [[logaritmo]] in base ''[[e (costante matematica)|e]]'', dove <math>e</math> è uguale a <math>2{,}71828\ldots</math> Il logaritmo naturale è definito per tutte le <math>x</math> [[numeri reali|reali]] e positive, ma anche per i [[numeri complessi]] diversi da zero<ref>{{Cita libro|titolo=Nuovo corso di geometria analitica e di complementi di algebra|cognome=Nella Dodero, Paolo Baroncini, Roberto Manfredi|editore=Ghisetti e Corvi, 1995|isbn=88-80-13173-7}} p.402</ref>. |
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* In [[matematica]] si è soliti utilizzare la scrittura "log(x)" per intendere log<sub>e</sub>(x); altrimenti si è soliti specificare la base nella scrittura (es. log<sub>10</sub>(x) è il logaritmo in base <math>10</math> di <math>x</math>).<ref>{{Cita libro | autore=Walter Rudin | titolo=Principi di analisi matematica | editore=McGraw-Hill Libri Italia | anno=1953 | p=60 }}</ref><ref>{{Cita libro | autore1=Paolo Marcellini | autore2=Carlo Sbordone | titolo=Elementi di analisi matematica uno | editore=Liguori | anno=2002 | p=33 }}</ref><ref>{{Cita libro | autore1=Carlo Pagani | autore2=Sandro Salsa | titolo=Analisi, vol. I | editore=Masson | anno=1995 | p=192 }}</ref><ref>{{Cita libro | autore= Nicolas Bourbaki | titolo= Elements of Mathematics. Functions of a real variable | editore=Springer | anno=2004 | p=92 }}</ref><ref>{{Cita libro | autore=A. W. Knapp | titolo=Basic Real Analysis | editore=Birkhauser | anno=2005 | p=40 }}</ref> |
* In [[matematica]] si è soliti utilizzare la scrittura "log(x)" per intendere log<sub>e</sub>(x); altrimenti si è soliti specificare la base nella scrittura (es. log<sub>10</sub>(x) è il logaritmo in base <math>10</math> di <math>x</math>).<ref>{{Cita libro | autore=Walter Rudin | titolo=Principi di analisi matematica | editore=McGraw-Hill Libri Italia | anno=1953 | p=60 }}</ref><ref>{{Cita libro | autore1=Paolo Marcellini | autore2=Carlo Sbordone | titolo=Elementi di analisi matematica uno | editore=Liguori | anno=2002 | p=33 }}</ref><ref>{{Cita libro | autore1=Carlo Pagani | autore2=Sandro Salsa | titolo=Analisi, vol. I | editore=Masson | anno=1995 | p=192 }}</ref><ref>{{Cita libro | autore= Nicolas Bourbaki | titolo= Elements of Mathematics. Functions of a real variable | editore=Springer | anno=2004 | p=92 }}</ref><ref>{{Cita libro | autore=A. W. Knapp | titolo=Basic Real Analysis | editore=Birkhauser | anno=2005 | p=40 }}</ref> |
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* In [[ingegneria]], [[biologia]] e altre scienze generalmente si scrive "ln(x)" o (raramente) "log<sub>e</sub>(x)" per intendere il logaritmo naturale di <math>x</math>, mentre si scrive "log(x)" per intendere log<sub>10</sub>(x). |
* In [[ingegneria]], [[biologia]] e altre scienze generalmente si scrive "ln(x)" o (raramente) "log<sub>e</sub>(x)" per intendere il logaritmo naturale di <math>x</math>, mentre si scrive "log(x)" per intendere log<sub>10</sub>(x). |
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* In alcuni testi della fine del XX secolo, il logaritmo in base 10 veniva scritto con l'iniziale maiuscola e sottintendendo la base: <math>Log</math><ref>{{Cita libro|titolo=Nuovo corso di geometria analitica e di complementi di algebra|cognome=Nella Dodero, Paolo Baroncini, Roberto Manfredi|editore=Ghisetti e Corvi, 1995|isbn=88-80-13173-7}} p.402</ref>. |
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* Nei più comuni [[linguaggio di programmazione|linguaggi di programmazione]], tra cui [[C (linguaggio)|C]], [[C++]], [[Fortran]], e [[BASIC]], "log" o "LOG" sottintendono il logaritmo naturale. |
* Nei più comuni [[linguaggio di programmazione|linguaggi di programmazione]], tra cui [[C (linguaggio)|C]], [[C++]], [[Fortran]], e [[BASIC]], "log" o "LOG" sottintendono il logaritmo naturale. |
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* Nelle [[calcolatrice|calcolatrici]] il logaritmo naturale è "ln", mentre "log" è il logaritmo in base <math>10</math>. |
* Nelle [[calcolatrice|calcolatrici]] il logaritmo naturale è "ln", mentre "log" è il logaritmo in base <math>10</math>. |
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In altre parole, la funzione logaritmo è la [[corrispondenza biunivoca]] dall'insieme di numeri reali positivi all'insieme di tutti i numeri reali. Nello specifico, è un [[isomorfismo]] da un [[gruppo (matematica)|gruppo]] di numeri reali positivi sotto moltiplicazione al gruppo dei numeri reali sotto addizione. |
In altre parole, la funzione logaritmo è la [[corrispondenza biunivoca]] dall'insieme di numeri reali positivi all'insieme di tutti i numeri reali. Nello specifico, è un [[isomorfismo]] da un [[gruppo (matematica)|gruppo]] di numeri reali positivi sotto moltiplicazione al gruppo dei numeri reali sotto addizione. |
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I logaritmi possono essere definiti per una qualsiasi base reale positiva diversa da <math>1</math>, non solo <math>e</math>, inoltre possono essere utili nella risoluzione di equazioni in cui l'incognita appare all'esponente di una qualsiasi quantità. |
I logaritmi possono essere definiti per una qualsiasi base reale strettamente positiva e diversa da <math>1</math>, non solo <math>e</math>, inoltre possono essere utili nella risoluzione di equazioni in cui l'incognita appare all'esponente di una qualsiasi quantità. |
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== Derivata == |
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La [[derivata]] della funzione logaritmo naturale è data da |
La [[derivata]] della funzione logaritmo naturale è data da<ref>{{Cita libro|titolo=Corso Base Blu di Matematica-Volume 5|cognome=Massimo Bergamini, Anna Trifone, Graziella Barozzi|editore=Zanichelli, 2009|isbn=978-88-08-03933-0}} p.V12</ref> |
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== Serie comuni == |
== Serie comuni == |
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La [[serie di Taylor]] centrata in <math>1</math> del logaritmo naturale è: |
La [[serie di Taylor]] centrata in <math>1</math> del logaritmo naturale è<ref>{{Cita libro|titolo=Lezioni di Analisi Matematica|cognome=Maderna C. e Soardi P.M.|editore=CittàStudi Edizioni - Milano, 1995|isbn=88-251-7090-4}} p.239</ref>: |
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== Integrali e regole di integrazione == |
== Integrali e regole di integrazione == |
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L'integrale della funzione logaritmo naturale si risolve [[Integrazione per parti|per parti]]: |
L'integrale della funzione logaritmo naturale si risolve [[Integrazione per parti|per parti]]<ref>{{Cita libro|titolo=Lineamenti.Math Blu-Volume 5|cognome=Paolo Baroncini, Roberto Manfredi, Ilaria Fragni|editore=>Ghisetti e Corvi, 2012|isbn=978-88-538-0433-4}} p.562</ref>: |
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* [[Paolo Marcellini]], [[Carlo Sbordone]] (2002): ''Elementi di analisi matematica uno'', Liguori Editore, Napoli, ISBN 88-207-3383-8 |
* [[Paolo Marcellini]], [[Carlo Sbordone]] (2002): ''Elementi di analisi matematica uno'', Liguori Editore, Napoli, ISBN 88-207-3383-8 |
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* [[Walter Rudin]] (1953): ''Principi di analisi matematica'', McGraw-Hill Libri Italia, ISBN 88-386-0647-1 |
* [[Walter Rudin]] (1953): ''Principi di analisi matematica'', McGraw-Hill Libri Italia, ISBN 88-386-0647-1 |
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* {{Cita libro|titolo=Lezioni di Analisi Matematica|cognome=Carla Maderna e Paolo Maurizio Soardi|editore=CittàStudi Edizioni - Milano, 1995|isbn=88-251-7090-4}} |
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* {{Cita libro|titolo=Lineamenti.Math Blu-Volume 5|cognome=Paolo Baroncini, Roberto Manfredi, Ilaria Fragni|editore=>Ghisetti e Corvi, 2012|isbn=978-88-538-0433-4}} |
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* {{Cita libro|titolo=Nuovo corso di geometria analitica e di complementi di algebra|cognome=Nella Dodero, Paolo Baroncini, Roberto Manfredi|editore=Ghisetti e Corvi, 1995|isbn=88-80-13173-7}} |
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* {{en}} A. W. Knapp (2005): ''Basic Real Analysis'', Birkhauser, ISBN 0-8176-3250-6 |
* {{en}} A. W. Knapp (2005): ''Basic Real Analysis'', Birkhauser, ISBN 0-8176-3250-6 |
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* {{en}} [[Nicolas Bourbaki]] (2004): ''Elements of Mathematics. Functions of a real variable'', Springer, ISBN 3-540-65340-6 |
* {{en}} [[Nicolas Bourbaki]] (2004): ''Elements of Mathematics. Functions of a real variable'', Springer, ISBN 3-540-65340-6 |
Versione delle 16:14, 6 gen 2020
Il logaritmo naturale (o logaritmo neperiano) è il logaritmo in base e, dove è uguale a Il logaritmo naturale è definito per tutte le reali e positive, ma anche per i numeri complessi diversi da zero[1].
Definizione
Se la funzione esponenziale è stata definita usando una serie infinita, il logaritmo naturale può essere definito come la sua funzione inversa, intendendo che è il numero per cui . Dal momento che il dominio della funzione esponenziale include tutti i numeri reali positivi e poiché la funzione esponenziale è strettamente crescente, questa è definita per tutte le reali positive.
In alternativa è possibile definire il logaritmo come segue:
Il logaritmo naturale di è l'area sottesa dal grafico di da ad . In altre parole, è il risultato dell'integrale
- .
Questo definisce il logaritmo perché soddisfa la proprietà fondamentale dei logaritmi:
Questo può essere dimostrato definendo e mediante la regola della sostituzione degli integrali, come segue:
Il numero può essere definito come l'unico numero reale tale che .
Convenzioni
- In matematica si è soliti utilizzare la scrittura "log(x)" per intendere loge(x); altrimenti si è soliti specificare la base nella scrittura (es. log10(x) è il logaritmo in base di ).[2][3][4][5][6]
- In ingegneria, biologia e altre scienze generalmente si scrive "ln(x)" o (raramente) "loge(x)" per intendere il logaritmo naturale di , mentre si scrive "log(x)" per intendere log10(x).
- In alcuni testi della fine del XX secolo, il logaritmo in base 10 veniva scritto con l'iniziale maiuscola e sottintendendo la base: [7].
- Nei più comuni linguaggi di programmazione, tra cui C, C++, Fortran, e BASIC, "log" o "LOG" sottintendono il logaritmo naturale.
- Nelle calcolatrici il logaritmo naturale è "ln", mentre "log" è il logaritmo in base .
- Nel campo dell'analisi asintotica della complessità degli algoritmi, per log N si sottintende il logaritmo in base 2 di N.
La funzione inversa dell'esponenziale in base e
La funzione logaritmo è la funzione inversa della funzione esponenziale, quindi si ha che:
- per tutte le positive e
- per tutte le reali.
In altre parole, la funzione logaritmo è la corrispondenza biunivoca dall'insieme di numeri reali positivi all'insieme di tutti i numeri reali. Nello specifico, è un isomorfismo da un gruppo di numeri reali positivi sotto moltiplicazione al gruppo dei numeri reali sotto addizione.
I logaritmi possono essere definiti per una qualsiasi base reale strettamente positiva e diversa da , non solo , inoltre possono essere utili nella risoluzione di equazioni in cui l'incognita appare all'esponente di una qualsiasi quantità.
Derivata
La derivata della funzione logaritmo naturale è data da[8]
Serie comuni
La serie di Taylor centrata in del logaritmo naturale è[9]:
Utilizzando l'identità
e sostituendo nella serie di Taylor dell'arcotangente iperbolica si ottiene
Applicando la trasformazione binomiale alla serie di Taylor si ottiene la seguente serie, valida per ogni con valore assoluto maggiore di :
Si noti inoltre che è la sua stessa funzione inversa, quindi per ottenere il logaritmo naturale di un certo numero è sufficiente sostituire al posto di .
Una serie esotica dovuta a Bill Gosper è la seguente:
Integrali e regole di integrazione
L'integrale della funzione logaritmo naturale si risolve per parti[10]:
Il logaritmo naturale è fondamentale per rapide integrazioni di funzioni della forma che si traducono nella scrittura : l'integrale di una derivata fratto la sua funzione è uguale al logaritmo naturale del valore assoluto di quella funzione. Si tratta della diretta conseguenza della regola di derivazione per le funzioni composte, ossia:
Cioè[11]
e[12]
Esempi
Con quest'ultima regola, è possibile calcolare gli integrali della tangente e della cotangente sfruttando le loro definizioni:
Da cui ponendo si ha che e quindi:
dove è la costante reale arbitraria degli integrali indefiniti.
Calcolo del logaritmo naturale e cambio di base
Prima della diffusione delle calcolatrici, la formula del cambio di base logaritmica era necessaria per il calcolo dei logaritmi neperiani, riportandoli su base . È ancora utile per ottenere l'ordine di grandezza di un numero neperiano (che è appunto una potenza di ):
che diventa:
Alla fine delle tavole dei logaritmi, la tabella di trasformazione riportava i valori di:
e
- .
Note
- ^ Nella Dodero, Paolo Baroncini, Roberto Manfredi, Nuovo corso di geometria analitica e di complementi di algebra, Ghisetti e Corvi, 1995, ISBN 88-80-13173-7. p.402
- ^ Walter Rudin, Principi di analisi matematica, McGraw-Hill Libri Italia, 1953, p. 60.
- ^ Paolo Marcellini e Carlo Sbordone, Elementi di analisi matematica uno, Liguori, 2002, p. 33.
- ^ Carlo Pagani e Sandro Salsa, Analisi, vol. I, Masson, 1995, p. 192.
- ^ Nicolas Bourbaki, Elements of Mathematics. Functions of a real variable, Springer, 2004, p. 92.
- ^ A. W. Knapp, Basic Real Analysis, Birkhauser, 2005, p. 40.
- ^ Nella Dodero, Paolo Baroncini, Roberto Manfredi, Nuovo corso di geometria analitica e di complementi di algebra, Ghisetti e Corvi, 1995, ISBN 88-80-13173-7. p.402
- ^ Massimo Bergamini, Anna Trifone, Graziella Barozzi, Corso Base Blu di Matematica-Volume 5, Zanichelli, 2009, ISBN 978-88-08-03933-0. p.V12
- ^ Maderna C. e Soardi P.M., Lezioni di Analisi Matematica, CittàStudi Edizioni - Milano, 1995, ISBN 88-251-7090-4. p.239
- ^ Paolo Baroncini, Roberto Manfredi, Ilaria Fragni, Lineamenti.Math Blu-Volume 5, >Ghisetti e Corvi, 2012, ISBN 978-88-538-0433-4. p.562
- ^ Paolo Baroncini, Roberto Manfredi, Ilaria Fragni, Lineamenti.Math Blu-Volume 5, >Ghisetti e Corvi, 2012, ISBN 978-88-538-0433-4. p.533
- ^ Massimo Bergamini, Anna Trifone, Graziella Barozzi, Corso Base Blu di Matematica-Volume 5, Zanichelli, 2009, ISBN 978-88-08-03933-0. p.W9
Voci correlate
Bibliografia
- Guido Fubini Lezioni di analisi matematica (Torino: Società tipografico-editrice nazionale, 1920)
- Paolo Marcellini, Carlo Sbordone (2002): Elementi di analisi matematica uno, Liguori Editore, Napoli, ISBN 88-207-3383-8
- Walter Rudin (1953): Principi di analisi matematica, McGraw-Hill Libri Italia, ISBN 88-386-0647-1
- Carla Maderna e Paolo Maurizio Soardi, Lezioni di Analisi Matematica, CittàStudi Edizioni - Milano, 1995, ISBN 88-251-7090-4.
- Massimo Bergamini, Anna Trifone, Graziella Barozzi, Corso Base Blu di Matematica-Volume 5, Zanichelli, 2009, ISBN 978-88-08-03933-0.
- Paolo Baroncini, Roberto Manfredi, Ilaria Fragni, Lineamenti.Math Blu-Volume 5, >Ghisetti e Corvi, 2012, ISBN 978-88-538-0433-4.
- Nella Dodero, Paolo Baroncini, Roberto Manfredi, Nuovo corso di geometria analitica e di complementi di algebra, Ghisetti e Corvi, 1995, ISBN 88-80-13173-7.
- (EN) A. W. Knapp (2005): Basic Real Analysis, Birkhauser, ISBN 0-8176-3250-6
- (EN) Nicolas Bourbaki (2004): Elements of Mathematics. Functions of a real variable, Springer, ISBN 3-540-65340-6
Collegamenti esterni
- (EN) natural logarithm, su Enciclopedia Britannica, Encyclopædia Britannica, Inc.
- (EN) Eric W. Weisstein, Logaritmo naturale, su MathWorld, Wolfram Research.