Operatore momento angolare totale

Il momento angolare totale in meccanica quantistica genera le rotazioni nello spazio. Esso ha un significato più esteso rispetto al momento angolare orbitale ${\hat {\mathbf {L} }}={\hat {\mathbf {r} }}\times {\hat {\mathbf {p} }}$ perché si generalizza anche al momento angolare di spin e soprattutto è usato nella composizione di momenti angolari, essendo valido come somma di più momenti angolari e di diversi tipi.

Si può dimostrare che il momento angolare totale ${\hat {\mathbf {J} }}$ è il generatore delle rotazioni nello spazio, ma questo argomento è proposto per il momento angolare orbitale a cui si rimanda.

Formalmente, poi, il momento angolare totale ha le stesse regole del momento angolare orbitale e dello spin, per cui con ${\hat {\mathbf {J} }}$ possiamo indicare sia ${\hat {\mathbf {L} }}$, sia ${\hat {\mathbf {S} }}$ e anche una composizione di momenti ${\hat {\mathbf {J} }}={\hat {\mathbf {L} }}+{\hat {\mathbf {S} }}$ oppure ${\hat {\mathbf {J} }}={\hat {\mathbf {L} _{1}}}+{\hat {\mathbf {L} _{2}}}$ o ancora ${\hat {\mathbf {J} }}={\hat {\mathbf {S} _{1}}}+{\hat {\mathbf {S} _{2}}}$.

Le proprietà del momento angolare totale

Il momento angolare totale, analogamente al momento angolare orbitale, genera le rotazioni lungo un asse: la funzione d'onda $\psi (x)$ ruotata di un angolo $\phi$ attorno all'asse z, diventa:

$\psi '(x)={\hat {R}}_{z}(\phi )\psi (x)=e^{i\phi J_{z}}\psi (x)$

Per una rotazione infinitesima:

$\psi '(x)=\psi (x)+id\phi J_{z}\psi (x)\$

Proprietà di commutazione

Vediamo le proprietà di commutazione analogamente a quanto fatto per l'operatore momento angolare orbitale:

$[{\hat {J}}_{x},{\hat {J}}_{y}]=i\hbar {\hat {J}}_{z}$

$[{\hat {J}}_{y},{\hat {J}}_{z}]=i\hbar {\hat {J}}_{x}$

$[{\hat {J}}_{z},{\hat {J}}_{x}]=i\hbar {\hat {J}}_{y}$

dove ${\hat {J}}_{x},{\hat {J}}_{y},{\hat {J}}_{z}$ sono ovviamente le proiezioni del momento angolare totale lungo gli assi cartesiani, in forma compatta:

$[{\hat {J}}_{i},{\hat {J}}_{j}]=i\hbar \varepsilon _{ijk}{\hat {J}}_{k}$

dove abbiamo usato il tensore di Levi-Civita. Costruiamo l'operatore ${\hat {\mathbf {J} }}^{2}$, cioè l'operatore:

${\hat {\mathbf {J} }}^{2}={\hat {J}}_{x}^{2}+{\hat {J}}_{y}^{2}+{\hat {J}}_{z}^{2}$

Vediamo come commuta con le componenti del momento angolare totale:

${\begin{aligned}\left[{\hat {J}}_{z},{\hat {\mathbf {J} }}^{2}\right]&=[{\hat {J}}_{z},{\hat {J}}_{x}^{2}+{\hat {J}}_{y}^{2}+{\hat {J}}_{z}^{2}]\\&=[{\hat {J}}_{z},{\hat {J}}_{x}^{2}]+[{\hat {J}}_{z},{\hat {J}}_{y}^{2}]+[{\hat {J}}_{z},{\hat {J}}_{z}^{2}]\\&={\hat {J}}_{x}[{\hat {J}}_{z},{\hat {J}}_{x}]+[{\hat {J}}_{z},{\hat {J}}_{x}]{\hat {J}}_{x}+{\hat {J}}_{y}[{\hat {J}}_{z},{\hat {J}}_{y}]+[{\hat {J}}_{z},{\hat {J}}_{y}]{\hat {J}}_{y}\\&=i\hbar {\hat {J}}_{x}{\hat {J}}_{y}+i\hbar {\hat {J}}_{y}{\hat {J}}_{x}-i\hbar {\hat {J}}_{y}{\hat {J}}_{x}-i\hbar {\hat {J}}_{x}{\hat {J}}_{y}\\&=0\\\end{aligned}}$

e analogamente:

$[{\hat {J}}_{x},{\hat {\mathbf {J} }}^{2}]=0$

$[{\hat {J}}_{y},{\hat {\mathbf {J} }}^{2}]=0$

cioè le componenti del momento angolare commutano con l'operatore ${\hat {\mathbf {J} }}^{2}$.

Vediamo come si comportano i momenti angolari con gli operatori di posizione e impulso trascurando i calcoli espliciti che sono simili a quelli del momento angolare orbitale:

$[{\hat {J}}_{x},{\hat {x}}]=0$

$[{\hat {J}}_{x},{\hat {y}}]=i\hbar {\hat {z}}$

$[{\hat {J}}_{x},{\hat {z}}]=-i\hbar {\hat {y}}$

Allo stesso modo ${\hat {J}}_{y}$ ed ${\hat {J}}_{z}$, in generale si ha che la componente del momento angolare su un asse commuta soltanto con la coordinata di quell'asse, in forma compatta:

$[{\hat {J}}_{i},{\hat {x}}_{j}]=i\hbar \varepsilon _{ijk}{\hat {x}}_{k}$

dove ${\hat {x}}_{j}=({\hat {x}},{\hat {y}},{\hat {z}})$ e $\varepsilon _{ijk}$ è il tensore di Levi-Civita, che è uguale a +1 per permutazioni pari degli indici, -1 per permutazioni dispari e 0 se i=j.

Per quanto riguarda le commutazioni con gli impulsi vale esattamente la stessa cosa:

$[{\hat {J}}_{i},{\hat {p}}_{j}]=i\hbar \varepsilon _{ijk}{\hat {p}}_{k}$

Spettro del momento angolare totale

Abbiamo visto che le componenti del momento angolare non commutano tra loro, ma tutti singolarmente commutano con l'operatore momento angolare al quadrato. Possiamo scegliere una sola componente (per esempio ${\hat {J}}_{z}$) che commuta con ${\hat {\mathbf {J} }}^{2}$, così lo stato che è autostato di entrambi gli operatori lo chiamiamo $|j,j_{z}\rangle$. Dobbiamo trovare quali sono gli autovalori $a,b$ (a volte più propriamente indicati con $j$, $j_{z}$, oppure con $j$, $m_{j}$) simultanei di questi operatori:

${\begin{cases}{\hat {\mathbf {J} }}^{2}|j,m_{j}\rangle =\hbar ^{2}a|j,m_{j}\rangle \\{\hat {J}}_{z}|j,m_{j}\rangle =\hbar b|j,m_{j}\rangle \end{cases}}$

Per fare questo introduciamo due operatori, detti operatori di scala:

${\hat {J}}_{\pm }={\hat {J}}_{x}\pm i{\hat {J}}_{y}$

che sono uno il complesso coniugato dell'altro e non sono hermitiani. Questi operatori hanno le proprietà:

$[{\hat {J}}_{+},{\hat {J}}_{-}]=2\hbar {\hat {J}}_{z}$

$[{\hat {J}}_{z},{\hat {J}}_{\pm }]=\pm \hbar {\hat {J}}_{\pm }$

$[{\hat {\mathbf {J} }}^{2},{\hat {J}}_{\pm }]=0$

L'operatore ${\hat {\mathbf {J} }}^{2}$ può essere espresso in termini di ${\hat {J}}_{z}$ e operatori di scala ${\hat {J}}_{\pm }$, infatti:

${\hat {J}}_{-}{\hat {J}}_{+}={\hat {J}}_{+}^{\dagger }{\hat {J}}_{+}={\hat {\mathbf {J} }}^{2}-{\hat {J}}_{z}({\hat {J}}_{z}+\hbar )$

${\hat {J}}_{+}{\hat {J}}_{-}={\hat {J}}_{-}^{\dagger }{\hat {J}}_{-}={\hat {\mathbf {J} }}^{2}-{\hat {J}}_{z}({\hat {J}}_{z}-\hbar )$

dunque:

${\hat {\mathbf {J} }}^{2}={\hat {J}}_{+}{\hat {J}}_{-}+{\hat {J}}_{z}^{2}-{\hat {J}}_{z}\hbar ={\hat {J}}_{-}{\hat {J}}_{+}+{\hat {J}}_{z}^{2}+{\hat {J}}_{z}\hbar$

Il significato di ${\hat {J}}_{\pm }$ è analogo a quello visto nel momento angolare orbitale. Vediamo come ${\hat {J}}_{z}$ agisce sullo stato ${\hat {J}}_{\pm }|j,m_{j}\rangle$:

${\hat {J}}_{z}\left({\hat {J}}_{\pm }|j,m_{j}\rangle \right)=\left([{\hat {J}}_{z},{\hat {J}}_{\pm }]+{\hat {J}}_{\pm }{\hat {J}}_{z}\right)|j,m_{j}\rangle =({\hat {J}}_{\pm }{\hat {J}}_{z}\pm \hbar {\hat {J}}_{\pm })|j,m_{j}\rangle =\hbar (b\pm 1)\left({\hat {J}}_{\pm }|j,m_{j}\rangle \right)$

cioè applicando ${\hat {J}}_{+}$ l'autovalore di ${\hat {J}}_{z}$ cioè b aumenta di $\hbar$, viceversa applicando ${\hat {J}}_{-}$, l'autovalore di ${\hat {J}}_{z}$ viene diminuito di $\hbar$, da cui il nome di operatori di scala. Invece applicando ${\hat {\mathbf {J} }}^{2}$:

${\hat {\mathbf {J} }}^{2}\left({\hat {J}}_{\pm }|j,m_{j}\rangle \right)={\hat {J}}_{\pm }{\hat {\mathbf {J} }}^{2}|j,m_{j}\rangle =\hbar ^{2}a{\hat {J}}_{\pm }|j,m_{j}\rangle$

cioè l'applicazione degli operatori ${\hat {J}}_{\pm }$ cambia l'autovalore di ${\hat {J}}_{z}$, ma non di ${\hat {\mathbf {J} }}^{2}$.

Per ovvi motivi di proiezione, la relazione che lega ${\hat {\mathbf {J} }}^{2}$ e ${\hat {J}}_{z}$ è:

$\langle j,m_{j}|\left({\hat {\mathbf {J} }}^{2}-{\hat {J}}_{z}^{2}\right)|j,m_{j}\rangle =\left\langle {\hat {\mathbf {J} }}^{2}-{\hat {J}}_{z}^{2}\right\rangle \geq 0$

ciò implica che gli autovalori di questi operatori devono soddisfare:

$-{\sqrt {a}}\leq b\leq {\sqrt {a}}$

cioè gli autovalori della proiezione del momento angolare totale b non possono superare quelli di ${\hat {\mathbf {J} }}^{2}$, a. Quindi l'autovalore di ${\hat {J}}_{z}$ è limitato inferiormente e superiormente dai valori che può prendere ${\hat {\mathbf {J} }}^{2}$. Chiamiamo $b_{min}$ il valore minimo e $b_{max}$ il valore massimo che può assumere ${\hat {J}}_{z}$. Applicando successivamente gli operatori di scala ${\hat {J}}_{+},{\hat {J}}_{-}$, si capisce che deve essere:

${\hat {J}}_{+}|a,b_{max}\rangle =0$

${\hat {J}}_{-}|a,b_{min}\rangle =0$

Ora applichiamo

${\hat {\mathbf {J} }}^{2}|a,b_{max}\rangle =({\hat {J}}_{-}{\hat {J}}_{+}+{\hat {J}}_{z}^{2}+\hbar {\hat {J}}_{z})|a,b_{max}\rangle =(b_{max}^{2}\hbar ^{2}+b_{max}\hbar ^{2})|a,b_{max}\rangle$

cioè:

$\hbar ^{2}a=(b_{max}^{2}+b_{max})\hbar ^{2}=\hbar ^{2}b_{max}(b_{max}+1)$

Quindi l'autovalore di ${\hat {\mathbf {J} }}^{2}$ è $a=b_{max}(b_{max}+1)$volte $\hbar ^{2}$. Ora per quanto detto:

$-{\sqrt {a}}<-b_{max}\leq b\leq b_{max}<{\sqrt {a}}$

Data la simmetria di cui ${\hat {J_{z}}}$deve godere rispetto al piano $xy$, si ha che b deve essere necessariamente o intero o semintero. Vi sono pertanto $(2b_{max}+1)$valori di b, cioè $b=\{-b_{max},-b_{max}+1,\dots ,b_{max}-1,b_{max}\}$.

Si ottiene quindi infine per gli autovalori di ${\hat {\mathbf {J} }}^{2}$

${\hat {\mathbf {J} }}^{2}|j,m_{j}\rangle =\hbar ^{2}j(j+1)|j,m_{j}\rangle$

e per gli autovalori di ${\hat {J}}_{z}$

${\hat {J}}_{z}|j,m_{j}\rangle =m_{j}\hbar |j,m_{j}\rangle$

dove $j$ è il numero quantico del momento angolare totale, che ricordiamo può essere intero o semintero, ed $m_{j}=\{-j,-j+1,\dots ,j-1,j\}$ è il numero quantico della proiezione del momento angolare totale.

Elementi di matrice

Vediamo come sono fatti esplicitamente le matrici dei momenti angolari. Assumiamo che i momenti angolari siano calcolati sugli autostati $|j,j_{m}\rangle$ già normalizzati, allora in questa base di autostati sia ${\hat {\mathbf {J} }}^{2}$ sia ${\hat {J}}_{z}$ sono diagonali:

$\langle j',m'_{j}|{\hat {\mathbf {J} }}^{2}|j,m_{j}\rangle =j(j+1)\hbar ^{2}\delta _{j'j}\delta _{m'_{j}m_{j}}$

$\langle j',m'_{j}|{\hat {J}}_{z}|j,m_{j}\rangle =m_{j}\hbar \delta _{j'j}\delta _{m'_{j}m_{j}}$

Gli elementi di matrice degli operatori a scala sono dati da:

${\hat {J}}_{+}|j,m_{j}\rangle =c_{+}|j,m_{j}+1\rangle$

dove $c_{+}$ è un coefficiente. Utilizzando l'espressione:

${\hat {\mathbf {J} }}^{2}={\hat {J}}_{-}{\hat {J}}_{+}+{\hat {J}}_{z}^{2}+{\hat {J}}_{z}$

ricaviamo l'espressione di ${\hat {J}}_{+}$ e di ${\hat {J}}_{-}$ e calcoliamo:

${\hat {J}}_{+}^{\dagger }{\hat {J}}_{+}={\hat {\mathbf {J} }}^{2}-{\hat {J}}_{z}^{2}-\hbar {\hat {J}}_{z}$

${\hat {J}}_{-}^{\dagger }{\hat {J}}_{-}={\hat {\mathbf {J} }}^{2}-{\hat {J}}_{z}^{2}+\hbar {\hat {J}}_{z}$

e quindi per ${\hat {J}}_{+}$:

$|c_{+}|^{2}=\langle {\hat {J}}_{+}^{\dagger }{\hat {J}}_{+}\rangle =\hbar ^{2}[j(j+1)-m_{j}^{2}-m_{j}]$

In definitiva:

${\hat {J}}_{+}|j,m_{j}\rangle =\hbar {\sqrt {(j-m_{j})(j+m_{j}+1)}}|j,m_{j}+1\rangle$

${\hat {J}}_{-}|j,m_{j}\rangle =\hbar {\sqrt {(j+m_{j})(j-m_{j}+1)}}|j,m_{j}-1\rangle$

gli elementi di matrice sono:

$\langle j',m'_{j}|{\hat {J}}_{\pm }|j,m_{j}\rangle ={\sqrt {(j\mp m_{j})(j\pm m_{j}+1)}}\hbar \delta _{j'j}\delta _{m'_{j}m_{j}\pm 1}$

Per esempio per $j=1$ possiamo esplicitare:

${\hat {J}}_{+}=\hbar {\begin{pmatrix}0&{\sqrt {2}}&0\\0&0&{\sqrt {2}}\\0&0&0\end{pmatrix}}$

${\hat {J}}_{-}=\hbar {\begin{pmatrix}0&0&0\\{\sqrt {2}}&0&0\\0&{\sqrt {2}}&0\end{pmatrix}}$

${\hat {J}}_{z}=\hbar {\begin{pmatrix}1&0&0\\0&0&0\\0&0&-1\end{pmatrix}}$

che come si vede ${\hat {L}}_{z}$ è diagonale ovviamente nella base $|j,m_{j}\rangle$, mentre:

${\hat {J}}_{x}={\frac {\hbar }{\sqrt {2}}}{\begin{pmatrix}0&1&0\\1&0&1\\0&1&0\end{pmatrix}}$

${\hat {J}}_{y}={\frac {\hbar }{\sqrt {2}}}{\begin{pmatrix}0&-i&0\\i&0&-i\\0&i&0\end{pmatrix}}$

non lo sono.

Per $j={\frac {1}{2}}$ le matrici prendono la forma delle matrici di Pauli a due componenti:

${\hat {J}}_{x}={\frac {\hbar }{2}}{\begin{pmatrix}0&1\\1&0\end{pmatrix}}$

${\hat {J}}_{y}={\frac {\hbar }{2}}{\begin{pmatrix}0&-i\\i&0\end{pmatrix}}$

${\hat {J}}_{z}={\frac {\hbar }{2}}{\begin{pmatrix}1&0\\0&-1\end{pmatrix}}$

Per $j={\frac {3}{2}}$ le matrici prendono la forma:

${\hat {J}}_{x}={\frac {\hbar }{2}}{\begin{pmatrix}0&{\sqrt {3}}&0&0\\{\sqrt {3}}&0&2&0\\0&2&0&{\sqrt {3}}\\0&0&{\sqrt {3}}&0\end{pmatrix}}$

${\hat {J}}_{y}={\frac {\hbar }{2}}{\begin{pmatrix}0&-i{\sqrt {3}}&0&0\\i{\sqrt {3}}&0&-2i&0\\0&2i&0&-i{\sqrt {3}}\\0&0&i{\sqrt {3}}&0\end{pmatrix}}$

${\hat {J}}_{z}={\frac {\hbar }{2}}{\begin{pmatrix}3&0&0&0\\0&1&0&0\\0&0&-1&0\\0&0&0&-3\end{pmatrix}}$

Bibliografia

• J.J Sakurai - Meccanica quantistica moderna
• L.D. Landau, E.M. Lifŝits - Meccanica quantistica, teoria non relativistica

Voci correlate

• Numero quantico orbitale
• Numero quantico
• Spin
• Momento angolare orbitale
• Autofunzioni del momento angolare
• Composizione di momenti angolari
• Coefficienti di Clebsch-Gordan
• Serie di Clebsch-Gordan