Modello di Friedmann

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L'equazione di Friedmann è una soluzione dell'equazione di campo di Einstein nel caso di un universo omogeneo, isotropo e non statico. Sotto queste ipotesi, è possibile definire una densità media dell'universo (densità di massa-energia) e, come Friedman ha dimostrato, descrivere lo spazio in ogni istante con un solo numero, la curvatura scalare.

L'equazione di Friedman sintetizza in modo semplice ed elegante le dieci equazioni alle derivate parziali, che concludono la relatività generale.

La forma della soluzione è:

dove:

: fattore di scala

: velocità della luce

: densità dell'universo

: parametro di curvatura

: è la costante di gravitazione universale di Newton

La densità di massa-energia è da confrontare con un valore critico, per comodità misurato all'istante attuale.

Il parametro di curvatura consente di determinare il tipo di universo che si sta studiando, nonché la sua geometria; a seconda del valore che assume si ha:

  • : universo piatto, detto anche di Einstein-De Sitter (geometria euclidea)

Quindi, per abbiamo un universo piatto, infinito e destinato a un'espansione eterna; per abbiamo un universo chiuso, sferico, finito e destinato all'implosione, a collassare su se stesso, con curvatura ; per abbiamo un universo iperbolico, infinito e destinato a un'espansione eterna, avente curvatura , dove è il raggio dello spazio-tempo, detto fattore di scala quando si parla di uno spazio aperto.

Nel caso di universo destinato a collassare su se stesso () si apre un secondo problema, cosa può accadere dopo tale collasso: una nuova espansione o nulla, o meglio un numero finito/infinito di cicli di collasso-espansione-collasso.

Densità caratteristica Forma dell'universo Dimensione dell'universo Destino dell'universo Raggio di curvatura
k>0 Chiuso e sferico Finito Implosione su se stesso
k=0 Piatto Infinito Espansione eterna 0
k<0 Iperbolico Infinito Espansione eterna

La forma della soluzione dell'equazione di campo di Einstein era stata trovata in precedenza da Albert Einstein stesso, con l'aggiunta però di un parametro nel membro di sinistra che consentisse la staticità dell'universo. Si nota che in questo termine compare la costante cosmologica .

Se è la curvatura scalare dello spazio-tempo, funzione inversa del raggio (o fattore di scala) dell'universo, e la densità critica di tale spazio-tempo (universo) misurata all'istante attuale, le 10 equazioni alle derivate parziali della relatività generale possono scriversi nella seguente forma compatta:

.

L'equazione dimostra che la deformazione dello spazio-tempo (curvatura) è l'effetto di una variazione di densità.

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