Simbolo di Christoffel

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In geometria differenziale, i simboli di Christoffel sono dei coefficienti che codificano completamente una connessione in una carta particolare. I simboli dipendono fortemente dalla carta scelta: questi non sono infatti dei tensori.

Definizione[modifica | modifica wikitesto]

Sia una varietà differenziabile dotata di una connessione, ovvero di una derivata covariante . Una carta fornisce un diffeomorfismo fra un aperto di ed un aperto di . Nell'aperto sono definiti i campi di vettori coordinati costanti e quindi tutti i tensori possono essere agevolmente scritti in coordinate. In un punto di , la derivata covariante del campo nella -esima direzione è una combinazione lineare

con alcuni coefficienti . Nell'ultima espressione si fa uso della notazione di Einstein. Questi coefficienti sono i simboli di Christoffel della connessione, nella carta scelta.

I simboli di Christoffel sono definiti per ogni punto: quindi ogni è una funzione liscia

dipendente da tre parametri . I simboli di Christoffel descrivono completamente e concretamente la derivata covariante nella carta.

Proprietà[modifica | modifica wikitesto]

Oggetto non tensoriale[modifica | modifica wikitesto]

Nonostante la notazione, i simboli di Christoffel non sono dei tensori. Con questa espressione, un po' impropria, si intende dire la seguente cosa: si prendano due carte e definite su un aperto comune , esse inducono su delle coordinate differenti che generano rispettivamente dei simboli di Christoffel e . A questo punto si possono ben definire localmente due tensori:

.

Se ora le fossero le componenti (nella carta in cui sono calcolate) di un unico campo tensoriale esso dovrebbe coincidere necessariamente sia con che con , quindi la relazione tra i e i dovrebbe essere quella che lega le componenti di un tensore in due carte diverse. Ma noi abbiamo già una formula per calcolare sia i che i e quindi o trasformano nel modo corretto o non lo fanno. Il computo mostra che non lo fanno, essi sono collegati dalla relazione:

A causa del secondo addendo a destra, i simboli di Christoffel non mutano come le coordinate di un tensore .

Torsione[modifica | modifica wikitesto]

Magnifying glass icon mgx2.svg Lo stesso argomento in dettaglio: Torsione (geometria differenziale).

I simboli di Christoffel non sono tensori. La differenza fra due simboli di Christoffel è però un tensore: nella formula relativa ad un cambiamento di coordinate, il secondo addendo a destra (descritto sopra) infatti si cancella e resta solo il primo. D'altra parte, se è un simbolo di Christoffel, anche il simbolo ottenuto scambiando le variabili e è un simbolo di Christoffel (e descrive un'altra connessione). La loro differenza

è quindi un tensore. Questo tensore è la torsione della connessione. Quindi una connessione ha torsione (ovunque) nulla se e solo se i simboli di Christoffel sono (ovunque) simmetrici rispetto ai due indici in basso.

Connessione di Levi-Civita[modifica | modifica wikitesto]

Magnifying glass icon mgx2.svg Lo stesso argomento in dettaglio: Connessione di Levi-Civita.

Fissato un tensore metrico su una varietà differenziabile, esiste un'unica connessione senza torsione in cui il tensore metrico ha derivata covariante nulla. Questa connessione è detta connessione di Levi-Civita ed è quella abitualmente utilizzata per una varietà riemanniana o pseudo-riemanniana. I simboli di Christoffel che definiscono questa connessione sono ricavabili in una qualsiasi carta dalla relazione seguente:

Nella relazione sono presenti il tensore metrico e le sue derivate parziali rispetto alle coordinate fissate dalla carta (le derivate parziali non coincidono con la derivata covariante del tensore metrico, che è nulla). Nell'ultimo passaggio si è utilizzata la convenzione :

per le derivate parziali.

Applicazioni[modifica | modifica wikitesto]

Derivata covariante di un campo tensoriale[modifica | modifica wikitesto]

La derivata covariante di un campo vettoriale può essere calcolata in una carta facendo uso dei simboli di Christoffel nel modo seguente:

Analogamente, la derivata covariante di un campo tensoriale di tipo (0,1) è data da:

La derivata covariante di un campo tensoriale di tipo (2,0) è data da:

Bibliografia[modifica | modifica wikitesto]

  • (EN) Manfredo Perdigao do Carmo, Riemannian Geometry, 1994.
  • (EN) Shoshichi Kobayashi, Katsumi Nomizu, Foundations of Differential Geometry, Vol. 1, Wiley-Interscience, 1996 (Nuova edizione), ISBN 0-471-15733-3.

Voci correlate[modifica | modifica wikitesto]

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