Matematica della relatività generale

La matematica della relatività generale comprende strutture e tecniche matematiche necessarie allo studio e alla formulazione della teoria della relatività generale di Albert Einstein. I principali strumenti usati in questa teoria geometrica della gravitazione sono i campi tensoriali, definiti in base a una varietà lorentziana che rappresenta lo spaziotempo.

Il principio di covarianza generale e l'utilizzo dei tensori

Il principio di covarianza generale, che fu uno dei principi cardine nello sviluppo della relatività generale, stabilisce che le leggi della fisica hanno la stessa forma matematica in tutti i sistemi di riferimento. L'espressione "covarianza generale" è stata utilizzata nella prima formulazione della relatività generale, anche se successivamente si è preferito definirla "covarianza del diffeomorfismo". Sebbene la covarianza del diffeomorfismo non sia l'aspetto caratterizzante della relatività generale^[1], e sebbene permangano controversie relative al suo ruolo nella teoria stessa, la proprietà di invarianza delle leggi fisiche implicate nel principio, unitamente al fatto che la teoria è essenzialmente di carattere geometrico (in particolare facendo uso di geometria non euclidea), ha fatto sì che la relatività generale sia stata formulata usando il linguaggio matematico dei tensori.

Spaziotempo come "varietà"

La maggior parte degli approcci moderni alla matematica della relatività generale inizia formalizzando il concetto di varietà: più precisamente la descrizione geometrica della gravitazione avviene in una varietà lorentziana quadri-dimensionale, uniforme (smooth), connessa.

Il fondamento logico per la scelta di una varietà come struttura matematica fondamentale è quello di riflettere le proprietà fisiche desiderate. Ad esempio, nella teoria delle varietà, ogni punto è contenuto in un grafico di coordinate (in un modo univoco) e può essere pensato come una rappresentazione dello "spazio-tempo locale" intorno all'osservatore (rappresentato dal punto). Il principio di covarianza di Lorentz locale, il quale stabilisce che le leggi della relatività speciale si conservano a livello locale su ogni punto dello spazio-tempo, conferisce un ulteriore sostegno alla scelta di una struttura di varietà per la rappresentazione dello spazio-tempo, dato che a livello locale intorno a un punto su una varietà generale, la regione si approssima molto bene allo spazio di Minkowski (spazio-tempo a due dimensioni, una per lo spazio e una per il tempo).

Il concetto di grafici delle coordinate come "osservatori locali che possano eseguire misurazioni nelle loro vicinanze" rende bene anche il senso fisico, in quanto questo è il modo in cui si raccolgono in realtà i dati fisici a livello locale. Per problemi cosmologici, un grafico di coordinate può essere piuttosto grande.

La differenza tra strutture locali e globali deriva dal fatto che le misurazioni in fisica sono effettuate in una regione relativamente piccola dello spazio-tempo; questo è uno dei motivi per studiare la struttura locale dello spazio-tempo nella relatività generale. La determinazione della struttura dello spazio-tempo globale è importante, specialmente nei problemi cosmologici.

Un importante problema nella relatività generale è poter dichiarare che due spazi-tempi sono "gli stessi", almeno a livello locale. Questo problema ha le sue radici nella teoria della varietà dove si determina se due varietà di Riemann della stessa dimensione siano localmente isometriche ("localmente le stesse"). Quest'ultimo problema è stato risolto e il suo adattamento per la relatività generale è chiamato algoritmo di Cartan-Karlhede.

Tensori nella relatività generale

_{(Viene usata la notazione astratta degli indici.)}

Nella teoria della relatività non esiste un sistema di riferimento privilegiato. La descrizione dei fenomeni fisici può avvenire rispetto a un qualsiasi sistema di riferimento. Nella teoria della relatività ristretta, nessun sistema di riferimento inerziale è privilegiato rispetto ad altri sistemi inerziali, tuttavia questi ultimi sono privilegiati rispetto ai sistemi non inerziali. Nella relatività generale, viene eliminato anche il privilegio dei sistemi inerziali, affermando definitivamente che qualunque sistema di riferimento (inerziale o non inerziale) sia adatto per descrivere un qualsiasi fenomeno fisico.

Ogni osservatore può effettuare misurazioni e l'esatta quantità numerica ottenuta dipende esclusivamente dal sistema di coordinate utilizzato. Ciò ha suggerito un modo di formulare la relatività utilizzando "strutture invarianti", ovvero indipendenti dal sistema di coordinate usato (rappresentato dall'osservatore). La struttura matematica più adatta a questo scopo è il tensore. Per esempio, durante la misurazione del campo elettrico e magnetico prodotti da una carica in accelerazione, i valori dei campi dipenderanno dal sistema di coordinate usato, ma i campi esistono indipendentemente dai loro valori e possono perciò essere rappresentati dal tensore elettromagnetico.

Matematicamente, i tensori sono operatori lineari generalizzati - mappe multilineari. Come tali, vengono studiati tramite i concetti di algebra lineare.

A partire da ogni punto$\,p$ di una varietà, si possono costruire gli spazi tangenti e cotangenti alla varietà. I vettori (talvolta riferiti come vettori controvarianti) sono definiti come elementi dello spazio tangente e i covettori (talvolta definiti vettori covarianti, ma più comunemente vettori duali o uno-forme) sono elementi dello spazio cotangente, duale del tangente.

Nel punto $\,p$, questi due spazi vettoriali possono essere utilizzati per costruire tensori di tipo $\,(r,s)$, i quali sono mappe multilineari di valore reale che agiscono sulla somma diretta di $\,r$ copie dello spazio cotangente con $\,s$ copie dello spazio tangente. L'insieme di tutte queste mappe multilineari forma uno spazio vettoriale, detto spazio prodotto tensoriale di tipo $\,(r,s)$ in $\,p$ e denotato da $\,(T_{p})^{r}{}_{s}M$. Se lo spazio tangente è n-dimensionale, si può dimostrare che $\dim(T_{p})^{r}{}_{s}M=n^{r+s}$.

Nella letteratura della relatività generale, per convenzione si utilizza la sintassi componente per i tensori.

Un tensore di tipo $(r,s)$ può essere scritto come

$T\;\!=\;\!{T^{a_{1}\ldots a_{r}}}_{{b_{1}}\ldots {b_{s}}}{\frac {\partial }{\partial x^{a_{1}}}}\otimes \ldots \otimes {\frac {\partial }{\partial x^{a_{r}}}}\otimes dx^{b_{1}}\otimes \ldots \otimes dx^{b_{s}}$

dove $\;\!{\frac {\partial }{\partial x^{a_{i}}}}$ è una base per lo spazio tangente i-esimo e $\;\!dx^{b_{j}}$ una base per lo spazio cotangente j-esimo.

Dato che lo spazio-tempo si presume quadri-dimensionale, ogni indice su un tensore può essere uno dei quattro valori. Quindi, il numero totale di elementi che un tensore possiede è pari a 4^R, dove R è la somma dei numeri di indici covarianti e controvarianti sul tensore (un numero chiamato rango del tensore).

Tensori simmetrici e antisimmetrici

Alcune grandezze fisiche sono rappresentate da tensori aventi alcune componenti non indipendenti. Importanti esempi di tensori di questo tipo sono i tensori simmetrici e antisimmetrici. I tensori antisimmetrici sono comunemente usati per rappresentare rotazioni (per esempio, il tensore di vorticità).

In un generico tensore di rango R in 4 dimensioni avente 4^R componenti, i vincoli sul tensore come simmetria o antisimmetria riducono il numero di componenti distinte. Per esempio, un tensore simmetrico $T$ di rango 2 soddisfa $T_{ab}=T_{ba}$e possiede 10 componenti indipendenti, laddove un tensore antisimmetrico (obliquo-simmetrico) $P$ di rango due soddisfa $P_{ab}=-P_{ba}$ ed ha 6 componenti indipendenti. Per i ranghi maggiori di 2, le coppie di indici simmetrico o antisimmetrico devono essere esplicitamente identificate.

I tensori antisimmetrici di rango 2 giocano ruoli importanti nella teoria della relatività. L'insieme di tutti questi tensori - spesso chiamati bivettori - forma uno spazio vettoriale di dimensione 6, talvolta detto spazio bivettoriale.

Tensore metrico

Nella relatività generale, il tensore metrico è un oggetto centrale che descrive la geometria locale dello spazio-tempo (onde risolvere l'equazione di campo di Einstein). Usando l'approssimazione del campo debole, la metrica può anche essere pensata come rappresentante il "potenziale gravitazionale".

Il tensore metrico è un tensore simmetrico utilizzato per sollevare e abbassare gli indici dei tensori e generare le connessioni usate per costruire le equazioni del moto delle geodetiche e il tensore di curvatura di Riemann.

Un modo opportuno per esprimere il tensore metrico è attraverso l'elemento di linea:

$ds^{2}=g_{ab}\,dx^{a}\,dx^{b}$

Questo modo di esprimere la metrica è stata utilizzata dai pionieri della geometria differenziale ed è equivalente alla notazione:

$g=g_{ab}\,dx^{a}\otimes dx^{b}$

Il tensore metrico è comunemente scritto come una matrice $4\times 4$. A causa della simmetria della metrica, questa matrice è simmetrica e ha 10 componenti indipendenti.

Invarianti

Uno degli aspetti centrali della relatività generale è il concetto di invarianza delle leggi fisiche. Questa invarianza può essere descritta in molti modi, per esempio, in termini di covarianza di Lorentz locale, principio generale di relatività o covarianza del diffeomorfismo.

Una descrizione più esplicita può essere data attraverso l'uso dei tensori. La caratteristica dei tensori che si rivela cruciale, utilizzata in questo approccio, è il fatto che (una volta data la metrica) l'operazione di contrarre un tensore di rango R su tutti gli indici R fornisce un numero - un "invariante" - che è indipendente dal grafico di coordinate usato per eseguire la contrazione. Fisicamente, questo significa che l'invariante calcolato da ciascun osservatore avrà lo stesso valore, suggerendo un qualche suo significato indipendente. Alcuni invarianti importanti nella relatività comprendono:

• Lo scalare di Ricci: $R\,=R^{ab}g_{ab}$
• Lo scalare di Kretschmann: $K\,=R^{abcd}R_{abcd}$

Altri esempi di invarianti nella relatività includono le invarianti elettromagnetiche e varie altre invarianti di curvatura; alcune di queste ultime trovano applicazione nello studio dell'entropia gravitazionale e nell'ipotesi di curvatura di Weyl.

Classificazioni dei tensori

La classificazione dei tensori è un problema puramente matematico. Nella relatività generale, tuttavia, alcuni tensori aventi un'interpretazione fisica possono essere classificati nelle diverse forme del tensore di solito corrispondenti ad alcuni fenomeni fisici. Esempi di classificazioni del tensore utili nel relatività generale comprendono la classificazione di Segre del tensore energia-momento e la classificazione di Petrov del tensore di Weyl. Ci sono vari metodi per classificare questi tensori, alcuni dei quali usano invarianti tensoriali.

Campi tensoriali nella relatività generale

I campi tensoriali su una varietà sono carte che uniscono un tensore ad ogni punto della varietà. Questa nozione può essere resa più precisa, introducendo il concetto di fibrato, che nel presente contesto significa raccogliere insieme tutti i tensori in tutti i punti della varietà, così da "legarli" tutti in un unico grande oggetto chiamato fascio tensoriale. Un campo tensoriale è dunque definito come una mappa della varietà per il fascio tensoriale, essendo ogni punto $p$ associato ad un tensore in $p$.

La nozione di campo tensoriale è di primaria importanza nella relatività generale. Per esempio, la geometria intorno a una stella è descritta da un tensore metrico in ogni punto, in modo che ad ogni punto dello spazio-tempo venga dato il valore della metrica per risolvere i percorsi di particelle materiali. Un altro esempio è rappresentato dai valori dei campi elettrici e magnetici (dati dal tensore elettromagnetico) e la metrica in ogni punto attorno a un buco nero con carica onde determinare il moto di una particella carica in tale campo.

I campi vettoriali sono campi tensoriali di un unico rango controvariante. I campi vettoriali importanti nella relatività comprendono la quadri-velocità, $U^{a}={\dot {x}}^{a}$, che è la distanza coordinata percorsa per unità di tempo proprio, la quadri-accelerazione $A^{a}={\ddot {x}}^{a}$ e la quadri-corrente $\,J^{a}$ che descrive la carica e la densità di corrente. Altri campi tensoriali fisicamente importanti nella relatività comprendono i seguenti:

• tensore energia impulso $\,T^{ab}$, un tensore simmetrico di rango due.
• tensore del campo elettromagnetico $\,F^{ab}$, un tensore antisimmetrico di rango due.

Sebbene la parola "tensore" si riferisca ad un oggetto in un punto, è prassi comune riferirsi ai campi tensoriali su uno spazio-tempo (o a una regione di esso) proprio come "tensori".

In ogni punto di uno spazio-tempo su cui una metrica viene definita, la metrica può essere ridotta nella forma di Minkowski usando la legge di inerzia di Sylvester.

Derivate tensoriali

Prima dell'avvento della relatività generale, i cambiamenti nei processi fisici erano generalmente definiti dalle derivate parziali, per esempio, nella descrizione dei mutamenti nei campi elettromagnetici (vedi equazioni di Maxwell). Anche nella relatività ristretta, la derivata parziale è ancora sufficiente a definire tali modifiche. Tuttavia, nella relatività generale, si è constatato che devono essere utilizzate derivate che siano anche tensori. Le derivate hanno alcune caratteristiche comuni, tra cui quelle di essere derivate lungo le curve integrali dei campi vettoriali.

Il problema nella definizione delle derivate su varietà che non sono piatte è che non vi è un modo naturale per confrontare vettori in punti differenti. È richiesta una struttura aggiuntiva su una varietà generale per definire le derivate. Sotto sono descritte due importanti derivate che possono essere definite imponendo in ogni caso una struttura supplementare sulla varietà.

Connessioni affini

La curvatura di uno spazio-tempo può essere caratterizzata prendendo un vettore in qualche punto e trasportandolo parallelamente lungo una curva sullo spazio-tempo. Una connessione affine è una regola che descrive come muovere in modo legittimo un vettore lungo una curva sulla varietà senza mutarne la direzione.

Per definizione, una connessione affine è una mappa bilineare $\Gamma (TM)\times \Gamma (TM)\rightarrow \Gamma (TM)$, dove $\,\Gamma (TM)$ è uno spazio di tutti i campi vettoriali sullo spazio-tempo. Questa mappa bilineare può essere descritta in termini di un insieme di coefficienti di connessione (noti anche come simboli di Christoffel) specificando cosa accade alle componenti dei vettori di base sotto trasporto parallelo infinitesimale:

$\nabla _{e_{i}}e_{j}=\Gamma _{ji}^{k}e_{k}$

Nonostante il loro aspetto allettante, i coefficienti di connessione non sono i componenti di un tensore.

In generale, ci sono coefficienti di connessione D³ indipendenti in ogni punto dello spazio-tempo. La connessione è chiamata simmetrica se $\Gamma _{ji}^{k}=\Gamma _{ij}^{k}$. Una connessione simmetrica ha i coefficienti ${\frac {D^{2}(D+1)}{2}}$.

Per ogni curva $\gamma$ e due punti $A=\gamma (0)$ e $B=\gamma (t)$ su questa curva, una connessione affine dà origine a una mappa di vettori nello spazio tangente in A dentro vettori nello spazio tangente in B:

$X(t)\,=\Pi _{0,t,\gamma }X(0)$,

e $\,X(t)$ può essere calcolata risolvendo l'equazione differenziale

${\frac {d}{dt}}X^{i}(t)=\nabla _{C(t)}X^{i}(t)=\Gamma _{jk}^{i}X^{j}(t)C^{k}(t)$

$\,C^{j}(t)$ essendo il vettore tangente alla curva nel punto $\gamma (t)$.

Una connessione affine importante nella relatività generale è la Connessione di Levi-Civita, che è una connessione simmetrica ottenuta trasportando parallelamente un vettore tangente lungo una curva pur mantenendo il prodotto interno di tale vettore costante lungo la curva. I coefficienti di connessione che ne risultano (simboli di Christoffel) possono essere calcolati direttamente dalla metrica. Per questa ragione tale tipo di connessione è spesso chiamata connessione metrica.

Derivata covariante

Supponiamo che $X$ sia un punto, ${\vec {A}}$ un vettore situato in $X$, e ${\vec {B}}$ un campo vettoriale. Il concetto di differenziare ${\vec {B}}$ in $X$ lungo la direzione di ${\vec {A}}$ in un modo fisicamente significativo può essere fatto scegliendo il senso di una connessione affine e una curva uniforme parametrizzata $\gamma \,(t)$ tale che $X\,=\gamma (0)$ e ${\vec {A}}={d \over dt}\gamma (0)$.

La formula:

$\nabla _{\vec {A}}{\vec {B}}(X)=\lim _{\varepsilon \rightarrow 0}{\frac {\Pi _{(\varepsilon ,0,\gamma )}{\vec {B}}(\gamma (\varepsilon ))-{\vec {B}}(X)}{\varepsilon }}$

per una derivata covariante di ${\vec {B}}$ lungo ${\vec {A}}$ associata con la connessione $\,\Pi$ finisce per dare risultati indipendenti dalla curva e può essere usata come "definizione fisica" di una derivata covariante.

Può essere espressa usando coefficienti di connessione:

$\nabla _{\vec {Y}}{\vec {X}}=X^{a}{}_{;b}Y^{b}{\frac {\partial }{\partial x^{a}}}=(X^{a}{}_{,b}+\Gamma _{bc}^{a}X^{c})Y^{b}{\frac {\partial }{\partial x^{a}}}$

L'espressione fra parentesi, chiamata derivata covariante di $X$ (rispetto alla connessione) e denotata da $\nabla {\vec {X}}$, è più spesso usata nei calcoli:

$\nabla {\vec {X}}=X^{a}{}_{;b}{\frac {\partial }{\partial x^{a}}}\otimes dx^{b}=(X^{a}{}_{,b}+\Gamma _{bc}^{a}X^{c}){\frac {\partial }{\partial x^{a}}}\otimes dx^{b}$

Una derivata covariante di X può così essere vista come un operatore differenziale che agisce su un campo vettoriale inviandolo a un tensore di tipo (1.1) ('incrementando l'indice covariante per 1') e può essere generalizzata per agire sui campi tensoriali di tipo (r,s) inviandoli ai campi tensoriali di tipo (r, s+1). Le nozioni di trasporto parallelo possono quindi essere definite allo stesso modo come per il caso dei campi vettoriali. Per definizione, una derivata covariante di un campo scalare è uguale alla derivata normale del campo.

Nella letteratura, ci sono tre metodi comuni per denotare la differenziazione covariante:

$D_{a}T_{d\dots e}^{b\dots c}=\nabla _{a}T_{d\dots e}^{b\dots c}=T_{d\dots e;a}^{b\dots c}$

Molte proprietà standard delle derivate regolari parziali si applicano anche alle derivate covarianti:

$\nabla _{a}(X^{b}+Y^{b})\,=\nabla _{a}X^{b}+\nabla _{a}Y^{b}$

$\nabla _{a}(X^{b}Y^{c})\,=Y^{c}(\nabla _{a}X^{b})+X^{b}(\nabla _{a}Y^{c})$

$\nabla _{a}(f(x)X^{b})\,=f\nabla _{a}X^{b}+X^{b}\nabla _{a}f=f\nabla _{a}X^{b}+X_{b}{\partial f \over \partial x^{a}}$

$\nabla _{a}(cX^{b})\,=c\nabla _{a}X^{b}$, se c è una costante

Nella relatività generale, ci si riferisce di solito a "la" derivata covariante, che è quella associata alla connessione affine di Levi-Civita. Per definizione, la connessione di Levi-Civita mantiene la metrica sotto trasporto parallelo, quindi, la derivata covariante dà zero quando agisce su un tensore metrico (così come per il suo inverso). In altri termini si prende il tensore metrico (inverso) dentro e fuori della derivata e lo si usa per innalzare e abbassare gli indici:

$\nabla _{a}T^{b}=\nabla _{a}(T_{c}g^{bc})=g^{bc}\nabla _{a}T_{c}$

Derivata di Lie

Un'altra derivata tensoriale importante è la derivata di Lie. Mentre la derivata covariante richiede una connessione affine per permettere il confronto tra vettori in punti diversi, la derivata di Lie usa una congruenza di un campo vettoriale per ottenere lo stesso scopo. Il concetto di Lie sul trascinamento di una funzione lungo una congruenza porta alla definizione della derivata di Lie, dove la funzione trascinata viene confrontata con il valore della funzione originale in un dato punto. La derivata di Lie può essere definita per campi tensoriali di tipo (r,s) e a questo proposito può essere vista come una mappa che invia un tipo (r,s) a un tensore di tipo (r,s).

La derivata di Lie è di solito denotata da ${\mathcal {L}}_{X}$, dove $X$ è il campo vettoriale lungo la cui congruenza viene presa la derivata di Lie.

La derivata di Lie di ogni tensore lungo un campo vettoriale può essere espressa attraverso le derivate covarianti di quel tensore e campo vettoriale. (Infatti, ogni derivata funzionerà, ma la derivata covariante è opportuna perché si commuta con l'innalzamento e l'abbassamento degli indici). La derivata di Lie di uno scalare è proprio la derivata direzionale:

${\mathcal {L}}_{X}\phi =X^{a}\nabla _{a}\phi =X^{a}{\frac {\partial \phi }{\partial x^{a}}}$

Oggetti di rango superiore raccolgono ulteriori termini quando si prende la derivata di Lie. Ad esempio, la derivata di Lie di un tensore di tipo (0.2) è

${\mathcal {L}}_{X}T_{ab}=X^{c}\nabla _{c}T_{ab}+(\nabla _{a}X^{c})T_{cb}+(\nabla _{b}X^{c})T_{ac}=X^{c}T_{ab,c}+X_{,a}^{c}T_{cb}+X_{,b}^{c}T_{ac}$

Più generalmente,

${\mathcal {L}}_{X}T^{a_{1}\ldots a_{r}}{}_{b_{1}\ldots b_{s}}=X^{c}(\nabla _{c}T^{a_{1}\ldots a_{r}}{}_{b_{1}\ldots b_{s}})-(\nabla _{c}X^{a_{1}})T^{c\ldots a_{r}}{}_{b_{1}\ldots b_{s}}-\ldots -(\nabla _{c}X^{a_{r}})T^{a_{1}\ldots a_{r-1}c}{}_{b_{1}\ldots b_{s}}+$

$+(\nabla _{b_{1}}X^{c})T^{a_{1}\ldots a_{r}}{}_{c\ldots b_{s}}+\ldots +(\nabla _{b_{s}}X^{c})T^{a_{1}\ldots a_{r}}{}_{b_{1}\ldots b_{s-1}c}$

Uno degli usi principali della derivata di Lie nella relatività generale è nello studio delle simmetrie dello spazio-tempo in cui sono conservati tensori o altri oggetti geometrici. In particolare, la simmetria di Killing (simmetria del tensore metrico sotto il trascinamento di Lie) si verifica molto spesso nello studio dello spazio-tempo. Utilizzando la formula precedente, possiamo scrivere la condizione che deve essere soddisfatta per un campo vettoriale per generare una simmetria Killing:

${\mathcal {L}}_{X}g_{ab}=0$

$\nabla _{a}X_{b}+\nabla _{b}X_{a}=0,$ che è equivalente a $X^{c}g_{ab,c}+X_{,a}^{c}g_{bc}+X_{,b}^{c}g_{ac}\,=0.$

Tensore di curvatura di Riemann

Un aspetto cruciale della relatività generale è il concetto di varietà curva. Un utile modo per misurare la curvatura di una varietà è tramite un oggetto chiamato tensore (curvatura) di Riemann.

Questo tensore misura la curvatura tramite l'uso di una connessione affine che prende in considerazione l'effetto di trasportare parallelo un vettore tra due punti lungo due curve. La discrepanza tra i risultati di questi due percorsi di trasporto parallelo è essenzialmente quantificata dal tensore di Riemann.

Questa proprietà del tensore di Riemann può essere utilizzata per descrivere come le geodetiche parallele inizialmente divergano. Ciò viene espresso tramite l'equazione di deviazione geodetica e significa che le forze mareali sperimentate in un campo gravitazionale sono il risultato della curvatura dello spazio-tempo.

Utilizzando la procedura descritta sopra, il tensore di Riemann è definito come un tensore di tipo (1.3) e una volta completamente scritto contiene esplicitamente i simboli di Christoffel. Il tensore di Riemann ha 20 componenti indipendenti. La tendenza a zero di tutti questi componenti su una regione indica che lì lo spazio-tempo è piatto. Dal punto di vista della deviazione geodetica, ciò significa che inizialmente le geodetiche parallele in quella regione dello spazio-tempo resteranno parallele.

Il tensore di Riemann ha un certo numero di proprietà a volte riferite come simmetrie del tensore di Riemann. Di particolare rilevanza per la relatività generale sono le identità algebriche e differenziali di Bianchi.

La connessione e la curvatura di ogni varietà riemanniana sono strettamente correlate; la teoria di gruppi di olonomia, formati prendendo mappe lineari definite per mezzo del trasporto parallelo intorno a curve sulla varietà, fornisce una descrizione di questa correlazione.

Tensore energia-impulso

Le sorgenti di un qualsiasi campo gravitazionale (materia ed energia) sono rappresentate nella relatività da un tensore simmetrico di tipo (0.2) chiamato tensore energia momento che è strettamente correlato al tensore di Ricci. Essendo un tensore di secondo rango in quattro dimensioni, il tensore energia momento potrebbe essere visto come una matrice 4 per 4. Fra i vari tipi di matrice ammissibili, dette forme di Jordan non tutte possono verificarsi, dato che le condizioni energetiche che il tensore energia momento è costretto a soddisfare esclude certe forme.

Conservazione dell'energia

Nella relatività generale, c'è un legge locale per la conservazione dell'energia-momento che può essere sinteticamente espressa attraverso l'equazione tensoriale:

$T^{ab}{}_{;b}\,=0.$

La relazione corrispondente della conservazione dell'energia locale nella relatività speciale è:

$T^{ab}{}_{,b}\,=0.$

Ciò indica la regola empirica secondo la quale le "derivate parziali vanno alle derivative covarianti".

Equazioni di campo di Einstein

Le equazioni di campo di Einstein (ECE) sono il nocciolo della teoria della relatività generale. Le ECE descrivono come massa ed energia (come rappresentato nel tensore stress energia) sono correlate alla curvatura dello spazio-tempo (come rappresentato nel tensore di Einstein). Nella notazione astratta degli indici, la ECE si legge come segue:

$G_{ab}+\Lambda g_{ab}={8\pi G \over c^{4}}T_{ab}$

dove $G_{ab}$ è il tensore di Einstein, $\Lambda$ è la costante cosmologica, $c$ è la velocità della luce nel vuoto e $G$ è la costante gravitazionale, che deriva dalla legge di gravitazione universale di Newton.

Le soluzioni delle ECE sono tensori metrici che, essendo equazioni differenziali non-lineari per la metrica, sono spesso difficili da risolvere. Ci sono un certo numero di strategie utilizzate per trovarne le soluzioni. Per esempio, una strategia è iniziare con un ansatz (o ipotesi) della metrica finale, e perfezionarla fino a quando non sia abbastanza specifica da sostenere un sistema di coordinate, ma ancora abbastanza generale per produrre un insieme di equazioni differenziali simultanee con incognite che possano essere risolte. I tensori metrici che si ottengono, nei casi in cui le equazioni differenziali che ne derivano possano essere risolte esattamente per una distribuzione fisicamente ragionevole di energia-momento, sono chiamati soluzioni esatte. Esempi notevoli di soluzioni esatte comprendono la soluzione di Schwarzschild e la soluzione di Friedman-Lemaître-Robertson-Walker.

Equazioni geodetiche

Una volta che le ECE (Equazioni di Campo di Einstein) sono state risolte per ottenere una metrica, resta da determinare il moto degli oggetti inerziali nello spazio-tempo. Nella relatività generale, si ipotizza che il moto inerziale si verifica lungo geodetiche dello spazio-tempo nulle e di tipo tempo come parametrizzato dal tempo proprio. Le geodetiche sono curve che trasportano parallele il loro proprio vettore tangente ${\vec {U}}$, vale a dire $\nabla _{\vec {U}}{\vec {U}}=0$. Questa condizione - l'equazione geodetica - può essere scritta mediante i termini di un sistema di coordinate $x^{a}$ col il vettore tangente $U^{a}={\frac {dx^{a}}{d\tau }}$:

${\ddot {x}}^{a}+{\Gamma ^{a}}_{bc}\,{\dot {x}}^{b}\,{\dot {x}}^{c}=0$

dove ${\dot {}}=d/d\tau$, τ parametrizza il tempo proprio lungo la curva ed è resa evidente la presenza dei simboli di Christoffel.

Una caratteristica principale della relatività generale è quella di determinare i percorsi di particelle e radiazioni nei campi gravitazionali. Ciò è realizzato dalla risoluzioni per le equazioni geodetiche.

Le ECE riguardano la distribuzione della materia (energia) complessiva per la curvatura dello spazio-tempo. la loro non-linearità porta a un problema nel determinare il moto preciso della materia nello spazio-tempo risultante. Per esempio, in un sistema composto da un pianeta orbitante una stella, il moto del pianeta è determinato risolvendo le equazioni di campo con il tensore energia-momento la somma di quello per il pianeta e la stella. Il campo gravitazionale del pianeta influenza la geometria complessiva dello spazio-tempo e dunque il moto degli oggetti. È quindi ragionevole supporre che le equazioni di campo possano essere utilizzate per ricavare le equazioni geodetiche.

Quando il tensore energia-momento per un sistema è quello del fluido perfetto, esso può essere dimostrato usando la legge di conservazione locale per il tensore energia-momento in modo che le equazioni geodetiche siano soddisfatte in modo esatto.

Formulazione lagrangiana

Il problema di ricavare le equazioni di moto o di campo per ogni teoria fisica è considerato attraente da molti ricercatori. Uno dei modi più utilizzati per l'ottenimento di queste equazioni è l'impiego di tecniche di calcolo variazionale, e in particolare i Lagrangiani sono gli oggetti principali usati a questo scopo.

Questo approccio è considerato da molti scienziati come un modo elegante di costruire una teoria, per altri invece è più semplicemente un modo formale di esprimerla (perché di solito, la costruzione lagrangiana viene sviluppata dopo lo sviluppo della teoria).

Tecniche matematiche per l'analisi degli spazio-tempo

Dopo aver delineato le strutture matematiche di base utilizzate nella formulazione della teoria, vengono qui descritte alcune importanti tecniche matematiche impiegate nella ricerca sullo spazio-tempo.

Campi di sistema

Un campo di sistema è un insieme ortonormale di 4 campi vettoriali (1 di tipo tempo, 3 di tipo spazio) definiti su uno spazio-tempo. Ogni campo di sistema può essere pensato come rappresentante un osservatore nello spazio-tempo che si muove lungo curve integrali del campo vettoriale di tipo tempo. Ogni grandezza tensoriale può essere espressa in termini di campo di sistema, in particolare, il tensore metrico prende una forma particolarmente adatta. Quando si uniscono insieme ai campi di co-sistema, i campi di sistema forniscono un potente strumento per analizzare gli spazio-tempo e interpretare fisicamente i risultati matematici.

Campi vettoriali di simmetria

Alcune tecniche moderne per l'analisi degli spazio-tempo fanno grande affidamento sull'utilizzo di simmetrie spazio-temporali, che vengono generate infinitamente da campi vettoriali (di solito definiti in modo locale) su uno spazio-tempo [particolare] che conserva [solo] alcune delle caratteristiche dello spazio-tempo. Il tipo più comune di questi campi vettoriali di simmetria comprendono campi vettoriali di Killing (che conservano la struttura metrica) e loro generalizzazioni chiamati campi vettoriali di Killing generalizzati. I campi vettoriali di simmetria trovano estesa applicazione nello studio delle esatte soluzioni nella relatività generale e l'insieme di tutti questi campi vettoriali di solito forma un'algebra di Lie finita-dimensionale.

Problema di Cauchy

Il problema di Cauchy (talvolta chiamato problema del valore iniziale) è il tentativo di trovare una soluzione per un'equazione differenziale date le condizioni iniziali. Nel contesto della relatività generale, vuol dire la risoluzione del problema di trovare soluzioni alle equazioni di campo di Einstein - un sistema di equazioni differenziali parziali iperboliche - forniti alcuni dati iniziali su una ipersuperficie. Studiare il problema di Cauchy permette di formulare il concetto di causalità nella relatività generale, così come di "parametrizzare" le soluzioni delle equazioni di campo. Idealmente, si ricercano soluzioni globali, ma di solito sono le soluzioni locali il meglio che si può sperare di ottenere. In genere, la soluzione di questo problema di valore iniziale richiede la selezione di particolari condizioni coordinate.

Formalismo degli spinori

Gli spinori trovano diverse importanti applicazioni nella relatività. Il loro uso come metodo per l'analisi dello spazio-tempo che utilizza tetradi è importante, in particolare, nel formalismo di Newman-Penrose.

Un'altra caratteristica interessante degli spinori nella relatività generale è il modo sintetico in cui alcune equazioni tensoriali possono essere scritte usando il formalismo dello spinore. Per esempio, la classificazione del tensore di Weyl determinando i vari tipi di Petrov, diventa molto più facile al confronto con una controparte metodologica tensoriale.

Calcolo di Regge

Il calcolo di Regge è un formalismo che sminuzza una varietà lorentziana dentro 'grandi blocchi' (chunks) discreti (blocchi simpliciali quadri-dimensionali) e le lunghezze del bordo del blocco sono prese come variabili di base. Una versione discreta dell'azione di Einstein-Hilbert è ottenuta prendendo in considerazione i cosiddetti 'angoli mancanti' di questi blocchi, un angolo mancante zero che non corrisponde a nessuna curvatura. Questo concetto nuovo trova applicazione nei metodi di approssimazione nella relatività numerica e nella gravità quantistica, usando quest'ultima una generalizzazione del calcolo Regge.

Teoremi della singolarità

Nella relatività generale, un nuovo concetto emerge nel campo della fisica in merito al fatto che, in condizioni abbastanza generiche, un fenomeno di collasso gravitazionale risulta inevitabile in una cosiddetta singolarità.

Relatività numerica

La relatività numerica è un sottocampo della relatività generale che cerca di risolvere le equazioni di Einstein attraverso l'uso di metodi numerici. I metodi di differenza finita, dell'elemento finito e pseudo-spettrale sono usati per approssimare la soluzione per le equazioni differenziali parziali che si presentano. Le nuove tecniche sviluppate dalla relatività numerica comprendono il metodo della recisione e quello della puntura per affrontare le singolarità che sorgono negli spazio-tempo di un buco nero. I comuni temi di ricerca comprendono i buchi neri e le stelle di neutroni.

Metodi di perturbazione

La non-linearità delle equazioni di campo di Einstein spesso conducono a prendere in considerazione metodi di approssimazione per risolverli. Per esempio, un importante approccio è linearizzare le equazioni di campo. A tale scopo trovano ampia applicazione le tecniche mutuate dalla teoria della perturbazione.

Bibliografia

• (EN) Albert Einstein, Relativity: The Special and General Theory, New York, Crown, 1961, ISBN 0-517-02961-8.
• (EN) Charles Misner, Kip Thorne e John Archibald Wheeler, Gravitation, San Francisco, W. H. Freeman, 1973, ISBN 0-7167-0344-0.
• (EN) Lev D. Landau e Evgenij M. Lifshitz, Classical Theory of Fields (Fourth Revised English Edition), Oxford, Pergamon, 1975, ISBN 0-08-018176-7.