Logaritmo complesso

Da Wikipedia, l'enciclopedia libera.
Grafico del logaritmo complesso. L'altezza descrive la parte immaginaria del logaritmo, mentre l'angolo è determinato dal colore.

Il logaritmo complesso è un'estensione della funzione logaritmo al campo dei numeri complessi.

Per i numeri reali si ha la seguente relazione:

Tale relazione può essere utilizzata per estendere il logaritmo al campo complesso:

con l'unica condizione . Quest'ultima relazione permette di ottenere un'espressione esplicita per . Scrivendo in forma esponenziale

segue che

dove e rappresentano, rispettivamente, parte reale e immaginaria dell'incognita . Dalla precedente catena di uguaglianze seguono le seguenti relazioni che determinano e :

Si può quindi scrivere

Si nota che il logaritmo complesso assume infiniti valori dato che contiene tutti i numeri del tipo , con Per tale motivo esso non è propriamente una funzione ma una cosiddetta funzione polidroma.

Curiosità sul logaritmo complesso[modifica | modifica wikitesto]

Ricordando l'Identità di Eulero: , è facile ottenere una curiosa, quanto affascinante, definizione di : applicando il logaritmo si ha infatti:

Il numero trascendente è così descritto in termini di quantità complesse, e logaritmi apparentemente impossibili. Per spiegare l'impossibilità solo apparente di ciò, si può all'inverso applicare la definizione di logaritmo complesso principale a :

e si ricava nuovamente

Logaritmo principale[modifica | modifica wikitesto]

Per poter considerare il logaritmo complesso come una funzione è necessario definire il suo valore principale:

Il Logaritmo principale è analitico su tutto escluso l'origine (dove il logaritmo non è definito) e il semiasse reale negativo (dove l'argomento ha un salto di discontinuità pari a ).

Voci correlate[modifica | modifica wikitesto]

Matematica Portale Matematica: accedi alle voci di Wikipedia che trattano di matematica