Rappresentazione dei numeri complessi

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Rappresentazione grafica dei numeri complessi. L'asse Y mostra la parte immaginaria, l'asse X la parte reale del numero.

I numeri complessi hanno differenti rappresentazioni, tutte equivalenti. Essendo il campo dei numeri complessi isomorfo a , ogni numero complesso è rappresentabile come un vettore nel piano complesso. Si tratta di scegliere il sistema di coordinate.

Rappresentazione cartesiana[modifica | modifica wikitesto]

La rappresentazione cartesiana (o rettangolare) è quella più vicina alla definizione dei numeri complessi:


con e l'unità immaginaria.

Questa non è altro che una generica combinazione lineare di elementi della base di , e con coefficienti reali a, b.

Rappresentazione polare[modifica | modifica wikitesto]

Usare la rappresentazione polare dei numeri complessi significa usare le coordinate polari

dove è il modulo (positivo o nullo) del numero complesso, mentre è la fase o argomento. Dato un numero complesso espresso in coordinate cartesiane a+ib, il modulo si ottiene banalmente come:

La fase può essere ottenuta a partire dalla funzione trigonometrica di arcotangente come[1]:

Ciò si rende necessario per ovviare al fatto che l'arcotangente fornisce valori ristretti a mezzo angolo giro (convenzionalmente nell'intervallo ), il che comporterebbe la perdita dell'informazione relativa al semipiano entro cui si colloca il numero complesso dato.

Quando il rapporto non è definito. Ciononostante si può attribuire un significato alla precedente formula: per si intende il .

In generale, data la periodicità delle funzioni trigonometriche, non sussiste una corrispondenza biunivoca tra numeri complessi e rappresentazioni polari. È facilmente dimostrabile l'identità tra tutti i numeri espressi nella forma , in virtù della quale lo spazio delle rappresentazioni polari risulta partizionato in classi di equivalenza: queste sono in corrispondenza biunivoca con i numeri complessi, eccezion fatta per lo 0, per il quale non è possibile individuare una rappresentazione univoca (ogni rappresentazione polare con e qualsiasi è una rappresentazione dello 0).

Rappresentazione esponenziale[modifica | modifica wikitesto]

Usando la formula di Eulero o equivalentemente la definizione di esponenziale complesso, dalla rappresentazione polare discende direttamente la cosiddetta rappresentazione esponenziale:

Questa è la notazione che viene più frequentemente utilizzata nelle applicazioni in cui modulo e fase abbiano un significato preminente rispetto a parte reale ed immaginaria (ad esempio per la descrizione dei fasori), e preferita alla rappresentazione polare per la maggior compattezza e per la maggior praticità nello svolgimento di operazioni di moltiplicazione (e conseguentemente di elevamento a potenza).

Rappresentazione matriciale dei numeri complessi[modifica | modifica wikitesto]

Le rappresentazioni alternative del campo dei numeri complessi possono dare una migliore comprensione della loro natura. Una rappresentazione particolarmente elegante interpreta ogni numero complesso come una matrice 2×2 di numeri reali che dilata/contrae e ruota i punti del piano. La matrice ha la forma

con a e b numeri reali. La somma ed il prodotto di due tali matrici è ancora di questa forma. Ogni matrice non nulla di questa forma è invertibile ed il relativo inverso è ancora di questa forma. Di conseguenza, le matrici di questa forma sono un campo. Di fatto, questo è esattamente il campo dei numeri complessi. Ciascuna di queste matrici può essere scritta come:

questa rappresentazione implica che il numero reale 1 va rappresentato con la matrice identità

mentre l'unità immaginaria i si rappresenta con la matrice

che rappresenta una rotazione in senso antiorario di 90 gradi. Si noti che il quadrato di questa matrice è effettivamente uguale alla matrice che rappresenta il numero reale -1.

Il valore assoluto di un numero complesso espresso come matrice è uguale alla radice quadrata del determinante di quella matrice. Se la matrice è considerata come la trasformazione di un punto nel piano, allora la trasformazione ruota i punti con un angolo uguale al coefficiente direzionale del numero complesso e scala il punto di un fattore uguale al valore assoluto del numero complesso. Il coniugato del numero complesso z corrisponde alla trasformazione che contrae/dilata i punti del piano del medesimo fattore di scala che z (il valore assoluto) e li ruota dello stesso angolo che l'argomento di z, ma nel senso opposto; quest'operazione corrisponde alla trasposta della tabella che rappresenta z.

Una notazione analoga si ha per il corpo dei quaternioni.

Note[modifica | modifica wikitesto]

  1. ^ Molti linguaggi di programmazione forniscono una funzione apposita corrispondente a questa arcotangente estesa, spesso denominata atan2.

Bibliografia[modifica | modifica wikitesto]

Voci correlate[modifica | modifica wikitesto]

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