Funzione di variabile complessa

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Grafico del valore assoluto della funzione Gamma complessa definita sul semipiano Re(z) > 0

In matematica, si definisce funzione di variabile complessa una funzione definita su un sottoinsieme dei numeri complessi a valori in quello stesso insieme. In genere la variabile complessa si denota con z, la sua parte reale con x e la sua parte immaginaria con y, in modo che si possa scrivere . Una funzione di variabile complessa f(z) corrisponde ad una legge che associa in modo univoco a un punto z di un sottoinsieme del piano complesso, il dominio della funzione, un punto che può considerarsi appartenere ad un secondo piano e più circoscrittamente costituisce il codominio della funzione.

È interessante notare come nel campo complesso le funzioni trigonometriche sono esprimibili in termini della funzione esponenziale e della logaritmica.

In campo fisico, una funzione di variabile complessa può essere considerata la funzione d'onda , utile in meccanica quantistica e presente, tra l'altro, nell'equazione di Schrödinger. Sempre in meccanica quantistica, non è tanto rilevante la funzione complessa , (poiché, producendo numeri immaginari, non può rappresentare grandezze fisiche), ma è rilevante il suo valore assoluto, elevato al quadrato

Le più utili e interessanti tra le funzioni di variabile complessa sono le funzioni olomorfe, cioè, secondo la definizione di Cauchy, le funzioni dotate di una funzione derivata prima e con derivata prima continua. Le condizioni che garantiscono la derivabilità di una funzione di variabile complessa sono dette condizioni di Cauchy-Riemann o condizioni di monogeneità, ovviamente per l'esistenza delle derivate parziali è richiesta la differenziabilità. Da una funzione olomorfa si ottiene, mediante operazioni di prolungamento analitico una funzione analitica, entità che è da considerare una funzione multivoca; le condizioni di monogeneità, di conseguenza, sono chiamate anche condizioni di analiticità.

Fra le risorse gratuite presenti in Internet, esistono dei disegnatori di funzioni complesse, e programmi gratuiti che funzionano off-line.

Per lo studio di funzioni complesse, il disegno di grafici tridimensionali può essere un valido strumento per interpretare visivamente le funzioni meno comuni.

Esempi[modifica | modifica wikitesto]

Segue un elenco delle principali funzioni di variabile complessa, che in effetti, ad esclusione delle prime 5, sono funzioni olomorfe.

  • parte reale:
  • parte immaginaria:
  • complesso coniugato:
  • argomento:
  • modulo:
  • esponenziale:
  • logaritmo principale:
  • radice:
  • seno:
  • coseno:
  • tangente:
  • cotangente:
  • secante:
  • cosecante:
  • arcoseno:
  • arcocoseno:
  • arcotangente:
  • seno iperbolico:
  • coseno iperbolico:
  • tangente iperbolica:
  • cotangente iperbolica:
  • secante iperbolica:
  • cosecante iperbolica:
  • settore seno iperbolico:
  • settore coseno iperbolico:
  • settore tangente iperbolica:

Voci correlate[modifica | modifica wikitesto]

Collegamenti esterni[modifica | modifica wikitesto]

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