Equazione di Gross-Pitaevskij

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In meccanica statistica e in fisica della materia condensata, l'equazione di Gross-Pitaevskij (GPE, dal nome di Eugene P. Gross[1] e Lev Petrovič Pitaevskij)[2] descrive lo stato fondamentale di un sistema quantistico di bosoni identici, utilizzando l'approssimazione di Hartree-Fock e un modello di interazione a potenziale effettivo.

Un condensato di Bose-Einstein (BEC) è un gas di bosoni che si trovano nello stesso stato quantistico e che quindi possono essere descritti dalla stessa funzione d'onda. Una particella quantistica libera è descritta da un'equazione di Schrödinger a particella singola. L'interazione tra le varie particelle in un gas reale è presa in considerazione da un'adeguata equazione di Schrödinger a molti corpi. Nell'approssimazione di Hartree-Fock, la funzione d'onda totale del sistema di bosoni viene scomposta in un prodotto delle funzioni a singola particella ,

dove è la coordinata del -esimo bosone. Se la distanza media tra le particelle in un gas è maggiore della lunghezza di scattering (cioè nel cosiddetto limite diluito), allora si può approssimare il vero potenziale di interazione che caratterizza questa equazione con un potenziale effettivo. A una temperatura sufficientemente bassa in cui la lunghezza d'onda di de Broglie è molto più lunga della scala dell'interazione bosone-bosone,[3] il processo di scattering può essere ben approssimato dallo scattering a onda s (cioè nella scomposizione in onde parziali, ovvero si considera solo il termine corrispondente al potenziale a sfera rigida). In tal caso, l'Hamiltoniana del modello effettivo del sistema può essere scritta come:

dove è la massa del bosone, è il potenziale esterno, è la lunghezza di scattering a onda s bosone-bosone, e è la funzione delta di Dirac. Il limite diluito permette anche di trascurare le interazioni fra terne (o più) di bosoni (che porterebbero a termini di non linearità superiore).

Il metodo variazionale mostra che se la funzione d'onda a particella singola soddisfa la seguente equazione di Gross-Pitaevskij:

la funzione d'onda totale minimizza il valore di aspettazione del modello hamiltoniano con condizione di normalizzazione Pertanto, tale funzione d'onda a particella singola descrive lo stato fondamentale del sistema.

La GPE è un modello di equazione per la funzione d'onda a particella singola nello stato fondamentale in un condensato di Bose-Einstein. È simile nella forma all'equazione di Ginzburg – Landau ed è un caso particolare di "equazione di Schrödinger non lineare".

La non linearità dell'equazione di Gross-Pitaevskii ha la sua origine nell'interazione tra le particelle: quando si pone a zero la costante di accoppiamento dell'interazione nell'equazione di Gross-Pitaevskij, si ritrova l'equazione di Schrödinger per una particelle singola all'interno di una buca di potenziale.

Tale equazione è in grado di riprodurre molti fenomeni associati ai superfluidi, ma si deve tenere presente che, a causa del limite diluito, non può essere considerata una descrizione fedele dell'elio-4 superfluido (che infatti non è un condensato di Bose-Einstein vero e proprio).

Forma dell'equazione[modifica | modifica wikitesto]

L'equazione ha la forma dell'equazione di Schrödinger con l'aggiunta di un termine di interazione. La costante di accoppiamento è proporzionale alla lunghezza di scattering a onda s di due bosoni interagenti:

,

dove è la costante di Planck ridotta e è la massa del bosone. La densità di energia è

dove è la funzione d'onda, o parametro d'ordine, e è il potenziale esterno (ad esempio una trappola armonica). L'equazione di Gross-Pitaevskij indipendente dal tempo, per un numero conservato di particelle, è

dove è il potenziale chimico. Il potenziale chimico si trova dalla condizione che il numero di particelle è correlato alla funzione d'onda da

Dall'equazione di Gross-Pitaevskij indipendente dal tempo, possiamo trovare la forma di un condensato di Bose-Einstein in vari potenziali esterni (ad esempio una trappola armonica).

L'equazione di Gross-Pitaevskiij dipendente dal tempo è invece:

Dall'equazione di Gross-Pitaevskij dipendente dal tempo possiamo invece studiare la dinamica del condensato di Bose-Einstein. È usata per trovare i moti collettivi di un gas intrappolato.

Soluzioni[modifica | modifica wikitesto]

Poiché l'equazione di Gross-Pitaevskij è un'equazione alle derivate parziali non lineari, è difficile trovare soluzioni esatte. Di conseguenza, le soluzioni devono essere solitamente trovate mediante un gran numero di metodi di approssimazione.

Soluzioni esatte[modifica | modifica wikitesto]

Particella libera[modifica | modifica wikitesto]

La soluzione esatta più semplice è la soluzione a particella libera, con ,

Questa soluzione è spesso chiamata soluzione di Hartree. Sebbene soddisfi l'equazione Gross-Pitaevskij, lascia un gap nello spettro di energia a causa dell'interazione:

Secondo il teorema di Hugenholtz – Pines,[4] un gas di Bose interagente non presenta un gap di energia (nel caso di interazioni repulsive).

Solitone[modifica | modifica wikitesto]

È possibile osservare solitoni unidimensionali in un condensato di Bose-Einstein e, a seconda che l'interazione sia attrattiva o repulsiva, si tratta di solitoni chiari o scuri. Entrambi i casii sono disturbi localizzati in una condensato avente una densità di base uniforme.

Se il BEC è repulsiva, ossia , allora una possibile soluzione dell'equazione di Gross-Pitaevskij è,

,

dove è il valore della funzione d'onda del condensato a , e è la lunghezza di coerenza (ovvero la lunghezza di guarigione,[3] vedi sotto). Questa soluzione rappresenta un solitone scuro, poiché c'è un'assenza di condensato in uno spazio con densità diversa da zero. Il solitone scuro è anche un tipo di difetto topologico, in quanto inverte i valori positivi e negativi attraverso l'origine, e ciò corrispondente a uno sfasamento di .

Per

dove si trova un potenziale chimico . Questa soluzione rappresenta un solitone chiaro, poiché c'è una concentrazione di condensato in uno spazio di densità zero.

Lunghezza di guarigione[modifica | modifica wikitesto]

La lunghezza di guarigione può essere intesa come la scala di lunghezza in cui l'energia cinetica del bosone è uguale al potenziale chimico:[3]

La lunghezza di guarigione fornisce la distanza più breve su cui può variare la funzione d'onda; deve essere molto più piccola di qualsiasi scala di lunghezza nella soluzione della funzione d'onda a particella singola. La lunghezza di guarigione determina anche la dimensione dei vortici che possono formarsi; è la distanza sulla quale la funzione d'onda recupera da zero al centro del vortice al valore medio (da cui il nome lunghezza "guarigione").

Soluzioni variazionali[modifica | modifica wikitesto]

Nei sistemi in cui una soluzione analitica esatta può non essere trovata, si può utilizzare un'approssimazione variazionale. L'idea di base è di definire un'ansatz variazionale per la funzione d'onda con parametri liberi, inserirla nell'energia libera e minimizzare l'energia rispetto ai parametri liberi dell'ansatz.

Soluzioni numeriche[modifica | modifica wikitesto]

Diversi metodi numerici, come i metodi di Crank-Nicolson[5] e quelli spettrali[6], sono stati utilizzati per risolvere la GPE. Esistono diversi programmi in Fortran e C per la sua soluzione nel caso di interazione di contatto[7][8] e di interazione dipolare a lungo raggio.[9]

Approssimazione di Thomas – Fermi[modifica | modifica wikitesto]

Se il numero di particelle in un gas è molto grande, l'interazione interatomica diventa dominate e quindi il termine di energia cinetica può essere trascurato nell'equazione di Gross-Pitaevskij. Questa è chiamata approssimazione di Thomas-Fermi.

In una buca di potenziale armonica (dove l'energia potenziale è quadratica rispetto allo spostamento dal centro), si ottiene un profilo di densità comunemente indicato come "parabola invertita".[3]

Approssimazione di Bogoljubov[modifica | modifica wikitesto]

Il trattamento di Bogoljubov dell'equazione di Gross-Pitaevskii è un metodo che trova le eccitazioni elementari di un condensato di Bose-Einstein. A tal fine, la funzione d'onda del condensato è approssimata dalla somma della funzione d'onda di equilibrio con una piccola perturbazione ,

.

Questa forma viene allora inserita nell'equazione di Gross-Pitaevskij dipendente dal tempo e nella sua complessa coniugata, che vengono linearizzate al primo ordine in

Ponendo come:

si trovano le seguenti equazioni differenziali accoppiate per e considerando i termini con come componenti indipendenti

Per un sistema omogeneo, cioè per , si può ottenere dall'equazione all'ordine zero. Quindi assumendo che e siano onde piane con quantità di moto , si arriva allo spettro energetico

Per grandi , la relazione di dispersione è quadratica in come ci si aspetterebbe nel caso di eccitazioni di singole particelle non interagenti. Per i piccoli , la relazione di dispersione è invece lineare

con la velocità del suono nella condensato, noto anche come secondo suono. Il fatto che mostra, secondo il criterio di Landau, che il condensato è un superfluido, il che significa che se un oggetto viene spostato nel condensato a una velocità inferiore a s, non sarà energeticamente favorito a produrre eccitazioni, e quindi l'oggetto si muoverà senza dissipazione, che è la caratteristica fondamentale dei superfluidi. Sono stati condotti esperimenti per dimostrare questa superfluidità del condensato, utilizzando un laser blu altamente focalizzato.[10] La stessa relazione di dispersione si trova quando il condensato è descritta da un approccio microscopico utilizzando il formalismo della seconda quantizzazione.

Superfluido nel potenziale elicoidale rotante[modifica | modifica wikitesto]

Trappola a vortice a dipolo con carica topologica ottenuta da un insieme di atomi ultrafreddi.

La buca di potenziale ottica potrebbe essere formato da due vortici ottici contropropaganti con lunghezze d'onda , larghezza effettiva e carica topologica :

dove . Nel sistema di coordinate cilindriche la buca di potenziale ha una'interessante geometria a doppia elica:[11]

In un sistema di riferimento rotante con velocità angolare , l'equazione di Gross-Pitaevskij dipendente dal tempo con potenziale elicoidale è la seguente:[12]

dove è l'operatore del momento angolare. La soluzione per la funzione d'onda del condensato è una sovrapposizione di due vortici materia-onda coniugati in fase:

La quantità di moto osservabile macroscopicamente del condensato è:

dove è il numero di atomi nel condensato. Ciò significa che l'insieme di atomi si muove in modo coerente lungo l'asse con velocità di gruppo (la cui direzione è definita dai segni della carica topologica e della velocità angolare ):[13]

Il momento angolare del condensato intrappolato in modo elicoidale è esattamente zero:[12]

La modellizzazione numerica dell'insieme di atomi freddi nel potenziale a spirale ha mostrato il confinamento delle singole traiettorie atomiche all'interno della buca di potenziale elicoidale.[14]

Note[modifica | modifica wikitesto]

  1. ^ E. P. Gross, Structure of a quantized vortex in boson systems, in Il Nuovo Cimento, vol. 20, n. 3, 1961, pp. 454-457, Bibcode:1961NCim...20..454G, DOI:10.1007/BF02731494.
  2. ^ L. P. Pitaevskii, Vortex lines in an imperfect Bose gas, in Sov. Phys. JETP, vol. 13, n. 2, 1961, pp. 451-454.
  3. ^ a b c d (EN) C. J. Foot, Atomic physics, Oxford University Press, 2005, pp. 231-240, ISBN 978-0-19-850695-9.
  4. ^ N. M. Hugenholtz e D. Pines, Ground-state energy and excitation spectrum of a system of interacting bosons, in Physical Review, vol. 116, n. 3, 1959, pp. 489-506, Bibcode:1959PhRv..116..489H, DOI:10.1103/PhysRev.116.489.
  5. ^ P. Muruganandam and S. K. Adhikari, Fortran Programs for the time-dependent Gross-Pitaevskii equation in a fully anisotropic trap, in Comput. Phys. Commun., vol. 180, n. 3, 2009, pp. 1888-1912, Bibcode:2009CoPhC.180.1888M, DOI:10.1016/j.cpc.2009.04.015, arXiv:0904.3131.
  6. ^ P. Muruganandam and S. K. Adhikari, Bose-Einstein condensation dynamics in three dimensions by the pseudospectral and finite-difference methods, in J. Phys. B, vol. 36, n. 12, 2003, pp. 2501-2514, Bibcode:2003JPhB...36.2501M, DOI:10.1088/0953-4075/36/12/310, arXiv:cond-mat/0210177.
  7. ^ D. Vudragovic, C Programs for the time-dependent Gross-Pitaevskii equation in a fully anisotropic trap, in Comput. Phys. Commun., vol. 183, n. 9, 2012, pp. 2021-2025, Bibcode:2012CoPhC.183.2021V, DOI:10.1016/j.cpc.2012.03.022, arXiv:1206.1361.
  8. ^ L. E. Young-S., OpenMP Fortran and C Programs for the time-dependent Gross-Pitaevskii equation in a fully anisotropic trap, in Comput. Phys. Commun., vol. 204, n. 9, 2016, pp. 209-213, Bibcode:2016CoPhC.204..209Y, DOI:10.1016/j.cpc.2016.03.015, arXiv:1605.03958.
  9. ^ R. Kishor Kumar, Fortran and C Programs for the time-dependent dipolar Gross-Pitaevskii equation in a fully anisotropic trap, in Comput. Phys. Commun., vol. 195, n. 2015, 2015, pp. 117-128, Bibcode:2015CoPhC.195..117K, DOI:10.1016/j.cpc.2015.03.024, arXiv:1506.03283.
  10. ^ C. Raman, M. Köhl e R. Onofrio, Evidence for a Critical Velocity in a Bose–Einstein Condensed Gas, in Phys. Rev. Lett., vol. 83, n. 13, 1999, p. 2502, Bibcode:1999PhRvL..83.2502R, DOI:10.1103/PhysRevLett.83.2502, arXiv:cond-mat/9909109.
  11. ^ A.Yu. Okulov, Angular momentum of photons and phase conjugation, in J. Phys. B: At. Mol. Opt. Phys., vol. 41, n. 10, 2008, p. 101001, Bibcode:2008JPhB...41j1001O, DOI:10.1088/0953-4075/41/10/101001, arXiv:0801.2675.
  12. ^ a b A. Yu. Okulov, Cold matter trapping via slowly rotating helical potential, in Phys. Lett. A, vol. 376, n. 4, 2012, pp. 650-655, Bibcode:2012PhLA..376..650O, DOI:10.1016/j.physleta.2011.11.033, arXiv:1005.4213.
  13. ^ A. Yu. Okulov, Superfluid rotation sensor with helical laser trap, in J. Low Temp. Phys., vol. 171, n. 3, 2013, pp. 397-407, Bibcode:2013JLTP..171..397O, DOI:10.1007/s10909-012-0837-7, arXiv:1207.3537.
  14. ^ A.Al.Rsheed1, A.Lyras, V. E. Lembessis and O. M. Aldossary, Guiding of atoms in helical optical potential structures, in J. Phys. B: At. Mol. Opt. Phys., vol. 49, n. 12, 2016, p. 125002, DOI:10.1088/0953-4075/49/12/125002.

Bibliografia[modifica | modifica wikitesto]

Voci correlate[modifica | modifica wikitesto]

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