Approssimazione lineare

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In analisi matematica, un'approssimazione lineare è un tipo di approssimazione di una funzione a una retta o comunque a una funzione affine (la traslata di una funzione lineare). Questo procedimento è anche detto linearizzazione o sviluppo al primo ordine della funzione.

Le approssimazioni lineari sono usate correntemente in molte aree della matematica e della fisica, perché consentono, sotto ipotesi opportune, di semplificare problemi complessi (e talvolta non altrimenti risolubili per via analitica).

Definizione[modifica | modifica wikitesto]

Funzioni reali di variabile reale[modifica | modifica wikitesto]

Retta tangente al grafico della funzione nel punto .

Sia una funzione reale di variabile reale derivabile in . Possiamo allora scrivere il polinomio di Taylor della funzione centrato in , arrestato al primo ordine:

dove la notazione o piccolo indica che:

cioè che il resto trascurato durante l'approssimazione è un infinitesimo di ordine superiore al primo. Possiamo scrivere l'approssimazione come:

che è l'equazione di una retta; essa viene chiamata retta tangente al grafico di nel punto di ascissa . Questa è la retta che approssima linearmente attorno ad , ed è definita solo per funzioni derivabili almeno una volta in tale punto; una funzione derivabile in un punto, infatti, può essere "vista a ingrandimenti sempre maggiori" fino a essere indistinguibile, negli immediati paraggi del punto, da una retta: questa è la retta tangente.

Funzioni di variabile vettoriale[modifica | modifica wikitesto]

Il piano illustrato approssima linearmente la funzione (a due variabili) attorno al punto di tangenza (in questo caso, il massimo della funzione).

Sia una funzione reale a variabili reali , differenziabile in aperto. Lo sviluppo al primo ordine di attorno ad si può scrivere:

dove:

è il gradiente di calcolato nel punto e

.

Questo prodotto scalare definisce un iperpiano -dimensionale tangente al grafico (immerso nell'-spazio) della funzione nel punto ; questo iperpiano (che nel caso è proprio la retta tangente) approssima linearmente la funzione attorno ad , e la funzione approssimante:

è una funzione affine, data la linearità del prodotto scalare.

Nel caso di funzioni vettoriali di componenti:

differenziabili una volta in aperto, è possibile approssimare linearmente la funzione componente per componente, ottenendo (per un ):

per ogni da 1 a ; usando la notazione vettoriale, si può scrivere:

dove:

è la matrice jacobiana della funzione calcolata nel punto , la quale contiene tutti i gradienti delle componenti di ; naturalmente, se , si ritrova la formula della retta tangente.

Generalizzazione[modifica | modifica wikitesto]

Una funzione definita su uno spazio di Banach può similmente essere approssimata tramite la funzione lineare:

dove è la derivata di Fréchet di nel punto .

Bibliografia[modifica | modifica wikitesto]

  • (EN) Weinstein, Alan; Marsden, Jerrold E., Calculus III, Berlin, Springer-Verlag, 1984, p. 775, ISBN 0-387-90985-0.
  • (EN) Strang, Gilbert, Calculus, Wellesley College, 1991, p. 94, ISBN 0-9614088-2-0.
  • (EN) Weinstein, Alan; Marsden, Jerrold E., Calculus III, Berlin, Springer-Verlag, 1984, p. 775, ISBN 0-387-90985-0.
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  • (EN) Bock, David; Hockett, Shirley O., How to Prepare for the AP Calculus, Hauppauge, NY, Barrons Educational Series, 2005, p. 118, ISBN 0-7641-2382-3.

Voci correlate[modifica | modifica wikitesto]

Collegamenti esterni[modifica | modifica wikitesto]

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