Buca di potenziale

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In meccanica quantistica la buca di potenziale è un potenziale unidimensionale che commuta tra due valori, in corrispondenza di un certo intervallo ; il più piccolo dei due livelli di potenziale può essere sempre posto uguale a zero. Una funzione del tipo:

costituisce una buca di potenziale infinita[1], mentre

definisce una di buca di potenziale finita.

Schema del potenziale unidimensionale delle buche di potenziale finita ed infinita.

In modo simile, si possono definire delle buche di potenziale in due o tre dimensioni.

Buca di potenziale infinita[modifica | modifica wikitesto]

L'equazione di Schrödinger stazionaria in una dimensione è in generale

dove m è la massa della particella, E l'energia dello stato .

Come mostrato in figura, il potenziale divide la regione in tre zone: la prima per , la seconda e la terza per ; allora, il problema va trattato in ognuna delle tre zone e le soluzioni vanno poi raccordate in corrispondenza dei punti di separazione.

Chiaramente nella zona e nella zona l'unica soluzione per cui si ha per

Nella zona , l'equazione di Schrödinger, per , coincide con quella di una particella libera:

in cui le energie devono essere positive, , in modo da avere soluzioni continue e normalizzabili. Possiamo, così, introdurre il vettore d'onda k, tale che , in modo da riscrivere l'equazione di Schrödinger come:

Quest'ultima ha soluzione generale in termini degli esponenziali complessi :

con A, B coefficienti reali arbitrari da determinarsi imponendo le condizioni al contorno. Ma per il nostro problema non esistono stati con . Quindi imponendo le condizioni al contorno:

otteniamo

cioè

Inoltre per

da cui sostituendo le espressioni reali tramite la formula di Eulero:

Dunque le due soluzioni corrispondono a quest'unica soluzione:

dove a cui corrisponde una quantizzazione dell'energia, cioè la discretizzazione dell'energia della particella dipendente dal numero n = 1, 2, ... intero positivo:

Le autofunzioni sono quindi:

Imponendo la normalizzazione degli stati, si ottiene la costante A:

dalla quale:

Energia potenziale, autofunzioni e densità di probabilità associate allo stato fondamentale e ai primi stati eccitati della buca di potenziale infinita.

Le autofunzioni normalizzate

costituiscono una base ortonormale per lo spazio di Hilbert , essendo:

Lo stato fondamentale corrisponde alla scelta n = 1. Seguono gli stati eccitati (vedi figura).

La soluzione completa del problema è esprimibile come sviluppo di autofunzioni dell'energia:

dove i coefficienti sono dati da:

i cui moduli quadri rappresentano la probabilità che una misura dell'energia fornisca come risultato:

Il valore medio dell'energia si ricava dalla:

L'evoluzione temporale della funzione d'onda è la soluzione dell'equazione di Schrödinger dipendente dal tempo:

e quindi è:

Buca di potenziale finita[modifica | modifica wikitesto]

Ridefiniamo la scala delle coordinate in modo che il potenziale sia simmetrico per riflessioni, del tipo , e ridefiniamo la scala delle energie in modo da avere:

Buca di potenziale finita nella vecchia e nella nuova scala delle lunghezze e delle energie.

In questo caso l'equazione di Schrödinger nelle zone e è del tipo:

Poiché

l'operatore hamiltoniano commuta con l'operatore parità:

Le funzioni d'onda soluzione dell'equazione di Schrödinger sono autofunzioni dell'energia e della parità. Poniamo le due quantità reali:

l'equazione di Schrödinger si riscrive:

Esplicitamente le funzioni d'onda sono date da:

dove le autofunzioni:

sono a parità pari, mentre

sono a parità dispari.

Trattiamo il caso delle autofunzioni pari prendendo gli eponenziali reali:

per la parità delle autofunzioni basta imporre la condizione di continuità della funzione d'onda e della sua derivata prima in perché la stessa condizione sia soddisfatta in :

da queste due otteniamo:

La soluzione di questa equazione può essere fatta via grafica; ponendo:

otteniamo:

Graficando i due membri dell'equazione:

otteniamo dalle intersezioni le soluzioni che corrispondono ai livelli di energia discreti.

Allo stesso modo nel caso delle autofunzioni dispari:

per la parità delle autofunzioni basta imporre la condizione di continuità della funzione d'onda e della sua derivata prima in perché la stessa condizione sia soddisfatta in :

da queste due otteniamo:

La soluzione di questa equazione può essere fatta via grafica, graficando i due membri dell'equazione:

che possiamo riscrivere nella forma:

Otteniamo dalle intersezioni le soluzioni che corrispondono ai livelli di energia discreti.

Energia potenziale e densità di probabilità associate agli autostati dell buca di potenziale finita nel caso y0=6.

Ad esempio, per , le soluzioni grafiche sono mostrate in figura. Notiamo che ogni autostato è doppiamente degenere.


Le autofunzioni sono quindi:

dove e sono definite sopra e legate tra loro.

Note[modifica | modifica wikitesto]

  1. ^ Sarebbe più corretto dire "buca di potenziale di profondità infinita (o finita)", ma l'espressione più breve è comunemente utilizzata dai fisici.

Voci correlate[modifica | modifica wikitesto]

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