Buca di potenziale

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In meccanica quantistica la buca di potenziale è un potenziale unidimensionale che commuta tra due valori, in corrispondenza di un certo intervallo ; il più piccolo dei due livelli di potenziale può essere sempre posto uguale a zero. Una funzione del tipo:

costituisce una buca di potenziale infinita[1], mentre

definisce una buca di potenziale finita.

Schema del potenziale unidimensionale delle buche di potenziale finita ed infinita.

In modo simile, si possono definire delle buche di potenziale in due o tre dimensioni.

Buca di potenziale infinita[modifica | modifica wikitesto]

L'equazione di Schrödinger stazionaria in una dimensione è in generale

dove m è la massa della particella, E l'energia dello stato .

Come mostrato in figura, il potenziale divide la regione in tre zone: la prima per , la seconda e la terza per ; allora, il problema va trattato in ognuna delle tre zone e le soluzioni vanno poi raccordate in corrispondenza dei punti di separazione.

Chiaramente nella zona e nella zona l'unica soluzione per cui si ha per

Nella zona , l'equazione di Schrödinger, per , coincide con quella di una particella libera:

in cui le energie devono essere positive, , in modo da avere soluzioni continue e normalizzabili. Possiamo, così, introdurre il vettore d'onda k, tale che , in modo da riscrivere l'equazione di Schrödinger come:

Quest'ultima ha soluzione generale in termini degli esponenziali complessi :

con A, B coefficienti reali arbitrari da determinarsi imponendo le condizioni al contorno. Ma per il nostro problema non esistono stati con . Quindi imponendo le condizioni al contorno:

otteniamo

cioè

Inoltre per

da cui sostituendo le espressioni reali tramite la formula di Eulero:

Dunque le due soluzioni corrispondono a quest'unica soluzione:

dove a cui corrisponde una quantizzazione dell'energia, cioè la discretizzazione dell'energia della particella dipendente dal numero n = 1, 2, ... intero positivo:

Le autofunzioni sono quindi:

Imponendo la normalizzazione degli stati, si ottiene la costante A:

dalla quale:

Energia potenziale, autofunzioni e densità di probabilità associate allo stato fondamentale e ai primi stati eccitati della buca di potenziale infinita.

Le autofunzioni normalizzate

costituiscono una base ortonormale per lo spazio di Hilbert , essendo:

Lo stato fondamentale corrisponde alla scelta n = 1. Seguono gli stati eccitati (vedi figura).

La soluzione completa del problema è esprimibile come sviluppo di autofunzioni dell'energia:

dove i coefficienti sono dati da:

i cui moduli quadri rappresentano la probabilità che una misura dell'energia fornisca come risultato:

Il valore medio dell'energia si ricava dalla:

L'evoluzione temporale della funzione d'onda è la soluzione dell'equazione di Schrödinger dipendente dal tempo:

e quindi è:

Buca di potenziale finita[modifica | modifica wikitesto]

Ridefiniamo la scala delle coordinate in modo che il potenziale sia simmetrico per riflessioni, del tipo , e ridefiniamo la scala delle energie in modo da avere:

Buca di potenziale finita nella vecchia e nella nuova scala delle lunghezze e delle energie.

In questo caso l'equazione di Schrödinger nelle zone e è del tipo:

Poiché

l'operatore hamiltoniano commuta con l'operatore parità:

Le funzioni d'onda soluzione dell'equazione di Schrödinger sono autofunzioni dell'energia e della parità. Poniamo le due quantità reali:

l'equazione di Schrödinger si riscrive:

Esplicitamente le funzioni d'onda sono date da:

dove le autofunzioni:

sono a parità pari, mentre

sono a parità dispari.

Trattiamo il caso delle autofunzioni pari prendendo gli esponenziali reali:

per la parità delle autofunzioni basta imporre la condizione di continuità della funzione d'onda e della sua derivata prima in perché la stessa condizione sia soddisfatta in :

da queste due otteniamo:

Questa equazione può essere risolta graficamente. Definiamo:

da cui:

Rappresentando a grafico i due membri dell'equazione:

otteniamo dalle intersezioni le soluzioni che corrispondono ai livelli di energia discreti.

Allo stesso modo nel caso delle autofunzioni dispari:

per la parità delle autofunzioni basta imporre la condizione di continuità della funzione d'onda e della sua derivata prima in perché la stessa condizione sia soddisfatta in :

da queste due otteniamo:

La soluzione di questa equazione può essere fatta via grafica, graficando i due membri dell'equazione:

che possiamo riscrivere nella forma:

Otteniamo dalle intersezioni le soluzioni che corrispondono ai livelli di energia discreti.

Energia potenziale e densità di probabilità associate agli autostati dell buca di potenziale finita nel caso y0=6.

Ad esempio, per , le soluzioni grafiche sono mostrate in figura. Notiamo che ogni autostato è doppiamente degenere.

Le autofunzioni sono quindi:

dove e sono definite sopra e legate tra loro.

Note[modifica | modifica wikitesto]

  1. ^ Sarebbe più corretto dire "buca di potenziale di profondità infinita (o finita)", ma l'espressione più breve è comunemente utilizzata dai fisici.

Voci correlate[modifica | modifica wikitesto]

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