Barriera di potenziale

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Rappresentazione di una barriera di potenziale

In meccanica quantistica la barriera di potenziale è un potenziale del tipo:

V(x) = \begin{cases}0 & x < -a \\
V_0 & -a \le x \le a \\
0 & x > a\end{cases}

Questo tipo di studio quantistico è tipico di un fascio di particelle quantistiche che viaggiano nella direzione positiva dell'asse x: per x < -a e per x > a le particelle sono libere, per -a \le x \le a sono sottoposte ad un potenziale costante V_0. Nella meccanica classica le particelle che arrivano alla barriera di potenziale con E < V_0 rimbalzano sulla barriera e riprendono il moto nella direzione opposta.

L'equazione di Schrödinger è in generale:

-\frac{\hbar^2}{2m} \frac{d^2}{dx^2} \psi (x) + V(x) \cdot \psi (x) = E \cdot \psi (x)

poiché il potenziale divide la regione in tre zone (vedi figura): la prima per x < -a che è formalmente analoga alla regione x > a e la regione -a \le x \le a, il problema va trattato in ognuna delle tre zone separatamente e le soluzioni vanno poi raccordate in corrispondenza del punto di separazione.

\begin{cases} -\frac{\hbar^2}{2m} \frac{d^2}{dx^2} \psi (x) = E \cdot \psi (x) & x < -a, x > a \\
-\frac{\hbar^2}{2m} \frac{d^2}{dx^2} \psi (x) + V_0 \cdot \psi (x) = E \cdot \psi (x) & -a \le x \le a \end{cases}

Dobbiamo cercare soluzioni che siano appartenenti a L^2 (\mathcal R) e imporre inoltre che siano continue con derivata prima continua nei punti di discontinuità. Riscriviamo le equazioni:

\begin{cases} \frac{d^2}{dx^2} \psi (x) + k^{2} \psi (x) = 0 & x < -a, x > a \\
\frac{d^2}{dx^2} \psi (x) - \lambda^{2} \psi (x) = 0 & -a \le x \le a \end{cases}

dove k^{2} = \frac{2 m E}{\hbar^2} e \lambda^{2} = \frac{2 m (|V_0| - E)}{\hbar^2}. Queste equazioni hanno soluzione generale in termini di esponenziale complesso date da:

\begin{cases} \psi(x) = e^{ik x}+ A e^{-i k x} & x < -a \\
\psi(x) = B e^{\lambda x} + C e^{-\lambda x} & -a \le x \le a \\
\psi(x) = D e^{i k x} & x > a \end{cases}

con A, B, C, D coefficienti reali arbitrari da determinarsi imponendo le condizioni al contorno e dove abbiamo già eliminato il contributo delle onde regressive nella regione x > a. Imponendo le condizioni di continuità della funzione d'onda e della sua derivata prima nei punti x= \pm a abbiamo:

\begin{cases} 
e^{-ik a}+ A e^{i k a} = B e^{- \lambda a} + C e^{\lambda a} \\
ik \left( e^{-i k a} - A e^{ika} \right) = \lambda \left(B e^{-\lambda a} - C e^{\lambda a} \right) \\
B e^{\lambda a} + C e^{-\lambda a} = D e^{i k a} \\ 
\lambda \left( B e^{\lambda a} - C e^{-\lambda a} \right) = ik D e^{i \lambda a} 
\end{cases}

la soluzione di questo sistema porta a:

B = \frac{ik (\lambda + ik ) e^{-(\lambda + ik )a}}{(k^2 - \lambda^2) \sinh{(2\lambda a)} + 2 i k \lambda\cosh{(2\lambda a)}}
C = \frac{ik (\lambda - ik ) e^{(\lambda - ik)a}}{(k^2 - \lambda^2) \sinh{(2\lambda a)} + 2 i k \lambda\cosh{(2\lambda a)}}
A = \frac{(k^2 + \lambda^2) \sinh (2 \lambda a) e^{- 2ik a}}{(k^2 - \lambda^2) \sinh{(2\lambda a)} + 2 i k \lambda\cosh{(2\lambda a)}}
D = \frac{2 i k \lambda  e^{- 2ik a}}{(k^2 - \lambda^2) \sinh{(2\lambda a)} + 2 i k \lambda\cosh{(2\lambda a)}}

Calcoliamo i coefficienti di trasmissione e riflessione:

T = \frac{J_t}{J_i} = |D|^2 = \frac{4 k^2 \lambda^2}{(k^2 - \lambda^2)^2 \sinh^2 (2 \lambda a) + 4 k^2 \lambda^2 \cosh^2 (2 \lambda a)} =  \frac{4 k^2 \lambda^2}{(k^2 + \lambda^2)^2 \sinh^2 (2 \lambda a) + 4 k^2 \lambda^2}

questo risultato indica T \neq 0, cioè vi è una probabilità non nulla che la particella o il fascio di particelle attraversi la barriera di potenziale: si ha l'effetto tunnel.

La barriera di potenziale fra due particelle può essere saltata o aperta in differenti modi.

Il premio Nobel Szent-Györgyi ha suggerito un esempio di effetto tunnel per superare la barriera di potenziale, in biologia: gli enzimi hanno molecole che in genere sono costituite da gruppi come il gruppo metile, che presenta 3 protoni di carica positiva, che a loro volta sono in grado di determinare un'attrazione sulla nube elettronica negativa dell'atomo oggetto della reazione enzimatica.

Questo spostamento di cariche determina una asimmetrica distribuzione della nube elettronica e la formazione di un tunnel (effetto tunnel) con caratteristiche di carica elettrica meno negativa, e quindi relativamente positiva, rispetto agli elettroni di un altro atomo interagente, che viene così attirato fino alla formazione di un legame chimico sufficientemente stabile nonostante il basso livello di energia implicata nel processo.

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