Tempo di arresto

Nella teoria della probabilità, in particolare nello studio dei processi stocastici, un tempo di arresto, conosciuto anche come tempo di Markov, è uno specifico tipo di "tempo casuale", il cui valore dipende solo dagli eventi successi prima o nell'istante stesso. Ad esso può essere associato una regola di arresto, ovvero una regola per definire il tempo d'arresto.

Uno dei risultati più importanti sui tempi di arresto è il teorema di arresto opzionale di Doob.

Definizione

Rispetto a una sequenza di variabili aleatorie X₁, X₂,.., un tempo di arresto $\tau$ è una variabile aleatoria con la proprietà che per ogni t, l'evento $\tau = t$ dipende solo dalle variabili X₁, X₂,..,X_t.

Una definizione più generale può essere data attraverso le filtrazioni: sia $I$ un insieme ordinato (ad esempio $I=\mathbb N$ oppure $I=[0,+\infty)$) e sia $(\Omega, \mathcal{F}, \mathcal{F}_t, \mathbb{P})$ uno spazio di probabilità con filtrazione $\mathcal{F}_t$. Allora una variabile casuale $\tau$ su $\Omega$ è detta tempo di arresto se $\{ \tau \leq t \} \in \mathcal{F}_{t}$ per ogni t in $I$.

In altre parole, è possibile decidere se l'evento $\{ \tau \leq t \}$ è accaduto conoscendo gli eventi in $\mathcal{F}_{t}$: si dice che $\tau$ è $\mathcal{F}_{t}$-misurabile.

La definizione può anche richiedere che $\mathbb{P}(\tau<\infty)=1$, ovvero che $\tau$ sia quasi certamente finito, ma in alcuni casi questa condizione viene omessa.

Esempi

Se consideriamo il caso di due persone che giocano a testa e croce, vincendo o perdendo 1 euro (passeggiata aleatoria simmetrica su $\mathbb{Z}$) e con un capitale finito, si possono definire le seguenti regole di arresto:

• Fermarsi dopo una giocata o un certo numero di giocate, ovvero nel caso in cui $\tau$ sia un tempo deterministico, è una regola d'arresto.
• Fermarsi quando uno dei due finisce i soldi è una regola di arresto.
• Fermarsi quando uno raggiunge il massimo di vincite non è una regola di arresto, siccome presuppone di conoscere anche le scommesse successive.
• Fermarsi quando uno raddoppia il proprio capitale, se si richiede che il tempo di arresto sia quasi certamente finito, non è una regola di arresto, in quanto c'è una probabilità positiva che questo non accada.

Bibliografia

• David Williams, Probability with Martingales, Cambridge Mathematical Textbooks, 1991. ISBN 978-0-521-40605-5

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