Tempo di arresto

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Nella teoria della probabilità, in particolare nello studio dei processi stocastici, un tempo di arresto, conosciuto anche come tempo di Markov, è uno specifico tipo di "tempo casuale", il cui valore dipende solo dagli eventi successi prima o nell'istante stesso. Ad esso può essere associato una regola di arresto, ovvero una regola per definire il tempo d'arresto.

Uno dei risultati più importanti sui tempi di arresto è il teorema di arresto opzionale di Doob.

Definizione[modifica | modifica sorgente]

Rispetto a una sequenza di variabili aleatorie X1, X2,.., un tempo di arresto \tau è una variabile aleatoria con la proprietà che per ogni t, l'evento \tau = t dipende solo dalle variabili X1, X2,..,Xt.

Una definizione più generale può essere data attraverso le filtrazioni: sia I un insieme ordinato (ad esempio I=\mathbb N oppure  I=[0,+\infty)) e sia (\Omega, \mathcal{F}, \mathcal{F}_t, \mathbb{P}) uno spazio di probabilità con filtrazione \mathcal{F}_t. Allora una variabile casuale \tau su \Omega è detta tempo di arresto se \{ \tau \leq t \} \in \mathcal{F}_{t} per ogni t in I.

In altre parole, è possibile decidere se l'evento \{ \tau \leq t \} è accaduto conoscendo gli eventi in \mathcal{F}_{t}: si dice che \tau è \mathcal{F}_{t}-misurabile.

La definizione può anche richiedere che \mathbb{P}(\tau<\infty)=1, ovvero che \tau sia quasi certamente finito, ma in alcuni casi questa condizione viene omessa.

Esempi[modifica | modifica sorgente]

Se consideriamo il caso di due persone che giocano a testa e croce, vincendo o perdendo 1 euro (passeggiata aleatoria simmetrica su \mathbb{Z}) e con un capitale finito, si possono definire le seguenti regole di arresto:

  • Fermarsi dopo una giocata o un certo numero di giocate, ovvero nel caso in cui \tau sia un tempo deterministico, è una regola d'arresto.
  • Fermarsi quando uno dei due finisce i soldi è una regola di arresto.
  • Fermarsi quando uno raggiunge il massimo di vincite non è una regola di arresto, siccome presuppone di conoscere anche le scommesse successive.
  • Fermarsi quando uno raddoppia il proprio capitale, se si richiede che il tempo di arresto sia quasi certamente finito, non è una regola di arresto, in quanto c'è una probabilità positiva che questo non accada.

Bibliografia[modifica | modifica sorgente]

  • David Williams, Probability with Martingales, Cambridge Mathematical Textbooks, 1991, ISBN 978-0-521-40605-5.
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