Teorema di arresto opzionale di Doob

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Nella teoria della probabilità, il teorema di arresto opzionale di Doob afferma che, sotto certe condizioni, il valore atteso di una martingala ad un certo tempo di arresto coincide con il suo valore atteso iniziale.

Il teorema prende il nome dal matematico Joseph Leo Doob.

Enunciato[modifica | modifica sorgente]

Sia (X_n)_{n \geq 0} una martingala su \Omega e sia \tau un tempo di arresto per X. Supponiamo che valga una delle seguenti condizioni:

  • \tau è limitato, ovvero esiste una costante c tale che \tau<c quasi certamente.
  • \mathbb E(\tau) < \infty ed esiste una costante  K \in \mathbb R tale che
|X_n(\omega)-X_{n-1}(\omega)|\leq K\qquad\forall(n,\omega).
  • X è limitato, ovvero esiste  K \in \mathbb R tale che
|X_n(\omega)|\leq K\qquad\forall(n,\omega)
e \tau è finito quasi certamente.

Allora

\mathbb E(X_{\tau}) = \mathbb E(X_0)

Allo stesso modo, se (X_n)_{n \geq 0} è una supermartingala, si avrà

\mathbb E(X_{\tau}) \leq \mathbb E(X_0)

Se invece è una sottomartingala

\mathbb E(X_{\tau}) \geq \mathbb E(X_0).

Bibliografia[modifica | modifica sorgente]

  • David Williams, Probability with Martingales, Cambridge Mathematical Textbooks, 1991. ISBN 978-0-521-40605-5.
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