Spirale aurea

Spirali auree vere e approssimate: la spirale verde è formata da quarti di circonferenze inscritte in dei quadrati; la spirale rossa è una spirale aurea, un particolare tipo di spirale logaritmica. Sovrapponendo le due spirali si ottiene la spirale gialla.

In geometria, la spirale aurea è una spirale logaritmica con fattore di accrescimenti b di crescita pari a φ, la sezione aurea.

Formula

L'equazione polare di una spirale aurea è la stessa delle altre spirali logaritmiche, ma con un particolare valore di b:

$r = ae^{b\theta}$

oppure

$\theta = \frac{1}{b} \ln(r/a),$

dove e è la base dei logaritmi naturali, a è una costante reale arbitrariamente positiva, e b è tale che quando θ è un angolo retto:

$e^{b\theta_\mathrm{right}}\, = \phi$

Perciò, b è dato da

$b = {\ln{\phi} \over \theta_\mathrm{right}}.$

Il valore numerico di b varia a seconda che l'angolo retto sia misurato come 90° o come $\textstyle\frac{\pi}{2}$ radianti; e dato che l'angolo può essere in ogni direzione, è più semplice scrivere la formula per il valore assoluto di $b$ (ovvero, b può anche essere il negativo del suo valore):

Una spirale di Fibonacci approssima la spirale aurea; al contrario del diagramma con i rettangoli basato sulla sezione aurea, questa spirale si basa su quadrati di lato pari a numeri di Fibonacci.

$|b| = {\ln{\phi} \over 90} = 0.0053468$ per θ in gradi;

$|b| = {\ln{\phi} \over \pi/2} = 0.306349$ per θ in radianti.

Una formula alternativa per una spirale aurea e una logaritmica è:

$r = ac^{\theta}$

dove la costante c è data da:

$c = e^b$

che per la spirale aurea dà il seguente valore di c:

$c = \phi ^ \frac{1}{90} \doteq 1.0053611$

se θ è misurato in gradi, e

$c = \phi ^ \frac{1}{\pi/2} \doteq 1.358456.$

se θ è misurato in radianti.

Voci correlate

• Sezione aurea
• Rettangolo aureo
• Angolo aureo
• Spirale logaritmica

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