Spirale aurea

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Spirali auree vere e approssimate: la spirale verde è formata da quarti di circonferenze inscritte in dei quadrati; la spirale rossa è una spirale aurea, un particolare tipo di spirale logaritmica. Sovrapponendo le due spirali si ottiene la spirale gialla.

In geometria, la spirale aurea è una spirale logaritmica con fattore di accrescimenti b di crescita pari a φ, la sezione aurea.[1]

Formula[modifica | modifica wikitesto]

L'equazione polare di una spirale aurea è la stessa delle altre spirali logaritmiche, ma con un particolare valore di b:[2]

r = ae^{b\theta}

oppure

\theta = \frac{1}{b} \ln(r/a),

dove e è la base dei logaritmi naturali, a è una costante reale arbitrariamente positiva, e b è tale che quando θ è un angolo retto:

e^{b\theta_\mathrm{right}}\, = \phi

Perciò, b è dato da

b = {\ln{\phi} \over \theta_\mathrm{right}}.

Il valore numerico di b varia a seconda che l'angolo retto sia misurato come 90° o come \textstyle\frac{\pi}{2} radianti; e dato che l'angolo può essere in ogni direzione, è più semplice scrivere la formula per il valore assoluto di b (ovvero, b può anche essere il negativo del suo valore):

Una spirale di Fibonacci approssima la spirale aurea; al contrario del diagramma con i rettangoli basato sulla sezione aurea, questa spirale si basa su quadrati di lato pari a numeri di Fibonacci.
|b| = {\ln{\phi} \over 90} = 0.0053468 per θ in gradi;
|b| = {\ln{\phi} \over \pi/2} = 0.306349 per θ in radianti.

Una formula alternativa per una spirale aurea e una logaritmica è:[2]

r = ac^{\theta}

dove la costante c è data da:

c = e^b

che per la spirale aurea dà il seguente valore di c:

c = \phi ^ \frac{1}{90} \doteq 1.0053611

se θ è misurato in gradi, e

c = \phi ^ \frac{1}{\pi/2} \doteq 1.358456.

se θ è misurato in radianti.

Note[modifica | modifica wikitesto]

  1. ^ Chang, Yu-sung, "Golden Spiral", The Wolfram Demonstrations Project.
  2. ^ a b Priya Hemenway (2005). Divine Proportion: Φ Phi in Art, Nature, and Science. Sterling Publishing Co. pp. 127–129. ISBN 1402735227.

Voci correlate[modifica | modifica wikitesto]

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