Rompicapo delle otto regine

Una possibile soluzione del problema.

Il rompicapo (o problema) delle otto regine è un problema che consiste nel trovare il modo di posizionare otto regine (pezzo degli scacchi) su una scacchiera 8x8 tali che nessuna di esse possa catturarne un'altra, usando i movimenti standard della regina. Perciò, una soluzione dovrà prevedere che nessuna regina abbia una colonna, traversa o diagonale in comune con un'altra regina. Il problema delle otto regine è un esempio del più generale problema delle n regine, che consiste nel piazzare, con le condizioni illustrate precedentemente, n regine su una scacchiera nxn; in questa forma, in particolare, esso viene spesso usato per illustrare tecniche di progettazione di algoritmi e di programmazione. È stato dimostrato matematicamente che il problema è risolvibile per n = 1 o n ≥ 4, mentre non lo è per n= 2 e n=3.

Storia

Il problema venne originariamente proposto nel 1848 dal giocatore di scacchi Max Bezzel, e negli anni molti matematici, incluso Gauss, che riuscì a trovare 72 delle 92 soluzioni, hanno lavorato al problema e alla sua forma generalizzata. La prima soluzione fu data da Franz Nauck nel 1850. Fu Nauck poi ad estendere il problema alla sua forma generalizzata. Nel 1874, S. Günther propose un metodo per trovare le soluzione del problema utilizzando i determinanti, metodo che venne perfezionato poi da J.W.L. Glaisher.

Edsger Dijkstra, nel 1972, usò il problema delle n regine per illustrare il potere di ciò che egli chiamò programmazione strutturata. Pubblicò una descrizione assai dettagliata dello sviluppo di un algoritmo backtracking DFS.

Tutte le soluzioni

Le 92 soluzioni si riducono essenzialmente a 12 non ottenibili l'una dall'altra tramite rotazioni e riflessioni:

Soluzione unica 1	Soluzione unica 2	Soluzione unica 3	Soluzione unica 4
Soluzione unica 5	Soluzione unica 6	Soluzione unica 7	Soluzione unica 8
Soluzione unica 9	Soluzione unica 10	Soluzione unica 11	Soluzione unica 12

Numero delle soluzioni

La tabella seguente mostra il numero di soluzioni del problema delle n regine, sia uniche (sequenza A002562 dell'OEIS) che distinte (sequenza A000170 dell'OEIS), per n =) 1–14, 24–26.

n:	1	2	3	4	5	6	7	8	9	10	11	12	13	14	..	24	25	26
Uniche:	1	0	0	1	2	1	6	12	46	92	341	1,787	9,233	45,752	..	28,439,272,956,934	275,986,683,743,434	2,789,712,466,510,289
Distinte:	1	0	0	2	10	4	40	92	352	724	2,680	14,200	73,712	365,596	..	227,514,171,973,736	2,207,893,435,808,352	22,317,699,616,364,044

Notare che il problema delle sei regine ha meno soluzioni del problema delle cinque regine.

Non esiste ancora una formula per calcolare l'esatto numero di soluzioni.

Versione animata della soluzione ricorsiva

Questa animazione usa il backtracking per risolvere il problema. Una regina è posizionata in una colonna che non genera conflitto. Se la colonna non viene trovata il programma ritorna all'ultimo stato positivo e viene provata una differente colonna.

Bibliografia

• Jordan Bell e Brett Stevens, A survey of known results and research areas for n-queens, Discrete Mathematics, Vol. 309, numero 1, gennaio 2009, 1-31.
• John Watkins, Across the Board: The Mathematics of Chess Problems. Princeton: Princeton University Press, 2004. ISBN 0-691-11503-6.
• O.-J. Dahl, E. W. Dijkstra, C. A. R. Hoare Structured Programming, Academic Press, London, 1972. ISBN 0-12-200550-3.
• Three Dimensional NxN-Queens Problems, L.Allison, C.N.Yee, & M.McGaughey (1988), Department of Computer Science, Monash University, Australia.
• S. Nudelman, The Modular N-Queens Problem in Higher Dimensions, Discrete Mathematics, vol 146, iss. 1-3, 15 November 1995, pp. 159–167.
• On The Modular N-Queen Problem in Higher Dimensions, Ricardo Gomez, Juan Jose Montellano and Ricardo Strausz (2004), Instituto de Matematicas, Area de la Investigacion Cientifica, Circuito Exterior, Ciudad Universitaria, Mexico.
• J. Barr e S. Rao, The n-Queens Problem in Higher Dimensions, Elemente der Mathematik, vol. 61 (2006), pp. 133–137.

Altri progetti

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Collegamenti esterni

• (EN) Articolo su MathWorld
• (EN) Soluzioni
• (EN) Pagina sul problema delle N regine
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