Proprietà di cancellazione

In algebra, sono dette proprietà di cancellazione o di semplificazione le seguenti: sia $\left( G; \star \right)$ un gruppo; allora presi tre elementi di G a,b,c valgono le implicazioni

• $a \star b=a\star c \Rightarrow b=c$ (cancellazione a sinistra)
• $a \star b=c\star b \Rightarrow a=c$ (cancellazione a destra)

Le due proprietà sono equivalenti se G è un gruppo abeliano.

Per dimostrare tale proprietà è sufficiente tenere presente il fatto che in un gruppo ogni elemento ha elemento inverso e che esiste l'elemento neutro.

È importante osservare che le proprietà di cancellazione possono valere anche in insiemi che non sono gruppi, e quindi la validità delle proprietà di cancellazione in un insieme $\left(S; \star\right)$ non è in generale condizione sufficiente per stabilire che $\left(S; \star\right)$ è gruppo.

Un magma in cui vale la proprietà di cancellazione a sinistra (risp. a destra) si dice cancellativo a sinistra (risp. a destra). Un quasigruppo è sempre cancellativo.

Esempi

I numeri naturali formano un semigruppo cancellativo rispetto all'addizione. Le matrici, invece, non rispettano tale proprietà: se AB = AC e $A\ne 0$, allora la cancellazione vale solo se A è invertibile. Se invece det(A) = 0, allora l'equazione matriciale AX = B non ha un'unica soluzione.

Voci correlate

• Gruppo
• Quasigruppo
• Magma

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