Orbita omoclina

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Una orbita omoclina

In matematica, una orbita omoclina è una traiettoria di un flusso di un sistema dinamico che unisce un punto di equilibrio a sella a se stesso. Più precisamente, una orbita omoclina si trova nell'intersezione della varietà stabile e della varietà instabile di un punto di equilibrio.

Orbite omocline e punti omoclinici sono definiti nello stesso modo per le funzioni ricorsive, come intersezione dell'insieme stabile e di quello instabile di un qualche punto fisso o punto periodico del sistema.

Si consideri il sistema dinamico continuo descritto dalle ODE:

\dot x=f(x)

supponendo che ci sia un punto di equilibrio a x=x_0, allora una soluzione \Phi(t) è una orbita omoclina se:

\phi(t)\rightarrow x_0\quad \mathrm{quando}\quad 
t\rightarrow\pm\infty

Se lo spazio delle fasi ha tre o più dimensioni, allora è importante considerare la topologia della varietà instabile del punto a sella. Le figure mostrano questi due casi. La prima, quando la varietà instabile è topologicamente un cilindro e l'orbita omoclina è detta orientata, e la seconda, dove la varietà instabile è topologicamente un Nastro di Möbius, in questo caso l'orbita omoclina è chiamata twistata (twisted).

Una orbita omoclina orientata
Una orbita omoclina twistata

Si ha anche la nozione di orbita omoclina quando si considera in sistema dinamico discreto. In questo caso, se f:M\rightarrow M è un diffeomorfismo della varietà M, si dice che x è un punto omoclinico se ha stesso passato e futuro - più precisamente se esiste un punto fisso (o periodico) p tale che:

\lim_{n\rightarrow \pm\infty}f^n(x)=p.

Voci correlate[modifica | modifica wikitesto]

Bibliografia[modifica | modifica wikitesto]

Systems, and Bifurcations of Vector Fields (Applied Mathematical Sciences Vol. 42), Springer

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