Orbita eteroclina

Il ritratto di fase di un pendolo di equazione x'' + sin x = 0. La curva evidenziata mostra l'orbita eteroclina dal punto (x, x') = (−π, 0) al punto (x, x') = (π, 0). Questa orbita viene seguita dal pendolo quando, partendo da un punto in alto a sinistra, passa attraverso il punto più basso e si ferma infine nel punto simmetrico in alto a destra.

In matematica, un'orbita eteroclina (qualche volta chiamata connessione eteroclina) in un ritratto di fase di un sistema dinamico, è un percorso nello spazio di fase che unisce due differenti punti di equilibrio. Se i punti di equilibrio all'inizio e alla fine dell'orbita corrispondono si ha un'orbita omoclina.

Si consideri il sistema dinamico descritto dall'equazione differenziale ordinaria

$\dot x=f(x)$

Si supponga che ci siano due punti di equilibrio $x=x_0$ e $x=x_1$, allora una soluzione $\phi(t)$ è un'orbita eteroclina dal punto $x_0$ al punto $x_1$ se

$\phi(t)\rightarrow x_0\quad \mathrm{con}\quad t\rightarrow-\infty$

e

$\phi(t)\rightarrow x_1\quad \mathrm{con}\quad t\rightarrow+\infty$

Bibliografia

• John Guckenheimer and Philip Holmes, Nonlinear Oscillations, Dynamical Systems, and Bifurcations of Vector Fields, (Applied Mathematical Sciences Vol. 42), Springer

Voci correlate

• Orbita omoclina
• Biforcazione eteroclina
• Insieme limite
• Teorema di Poincaré-Bendixson

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