Lemniscata di Bernoulli

Una lemniscata di Bernoulli

Traccia lasciata dal punto $P_0(x_0,y_0)=\left\{\begin{matrix} x_0=\frac{2t+4t^3}{1+4t^4}\\ y_0= \frac{2t-4t^3}{1+4t^4} \end{matrix}\right.$ al variare regolare del parametro t. Le coordinate di tale punto, al variare di t in $\Re$, sono una possibile rappresentazione parametrica della lemniscata di Bernoulli

In matematica, la lemniscata di Bernoulli è una curva algebrica a forma di otto coricato: essa ha un biflecnodo nell'origine, e due punti doppi nodali nei punti cilici; è descritta in coordinate cartesiane nella forma:

$(x^2 + y^2)^2 = 2a^2 (x^2 - y^2)\,$

Il grafico di questa funzione produce una curva simile al simbolo dell'infinito $\infty$, che a sua volta è chiamato lemniscata. La rappresentazione Unicode di ∞ è (∞).

La lemniscata fu descritta per la prima volta nel 1694 da Jakob Bernoulli, come modificazione dell'ellisse, che è il luogo dei punti per i quali la somma delle distanze da due punti fissi detti fuochi è costante. Una lemniscata, viceversa, è il luogo dei punti per i quali il prodotto di queste distanze è costante. Bernoulli la chiamò lemniscus, che è l'equivalente latino di fiocco pendente.

La lemniscata era in effetti già stata trattata da Giovanni Cassini nel suo studio del 1680 sull'ovale di Cassini, di cui la lemniscata costituisce un caso particolare. Giovanni Fagnano dei Toschi nel 1750 ne studiò le principali proprietà.

Altre equazioni

La lemniscata di Bernoulli può anche essere descritta dalle equazioni polari

$r^2 = a^2 \cos 2\theta\,$

o dall'equazione bipolare

$rr' = \frac{a^2}{2}$

Bibliografia

• (EN) Lemniscate of Bernoulli in The MacTutor History of Mathematics archive. School of Mathematics and Statistics, University of St Andrews, Scotland. URL consultato il 16-07-2008.

Voci correlate

• Lemniscata di Booth
• Lemniscata di Gerono
• Infinito (matematica)

Altri progetti

• Commons

• Wikimedia Commons contiene file multimediali su Lemniscata di Bernoulli

Collegamenti esterni

(FR) Pagina sulla lemniscata di Bernoulli

Lemniscata di Bernoulli come inviluppo di circonferenze

Portale Matematica: accedi alle voci di Wikipedia che trattano di matematica