Lemniscata di Bernoulli

Da Wikipedia, l'enciclopedia libera.
Una lemniscata di Bernoulli
Traccia lasciata dal punto P_0(x_0,y_0)=\left\{\begin{matrix}
x_0=\frac{2t+4t^3}{1+4t^4}\\ 
y_0= \frac{2t-4t^3}{1+4t^4}
\end{matrix}\right. al variare regolare del parametro t. Le coordinate di tale punto, al variare di t in \Re, sono una possibile rappresentazione parametrica della lemniscata di Bernoulli

In matematica, la lemniscàta di Bernoulli è una curva algebrica a forma di otto coricato: essa ha un biflecnodo nell'origine, e due punti doppi nodali nei punti cilici; è descritta in coordinate cartesiane nella forma:

(x^2 + y^2)^2 = 2a^2 (x^2 - y^2)

Il grafico di questa equazione produce una curva simile al simbolo dell'infinito \infty, che a sua volta è chiamato lemniscata.[1] La rappresentazione Unicode di è (∞).

La lemniscata fu descritta per la prima volta nel 1694 da Jakob Bernoulli, come modificazione dell'ellisse, che è il luogo dei punti per i quali la somma delle distanze da due punti fissi detti fuochi è costante. Una lemniscata, viceversa, è il luogo dei punti per i quali il prodotto di queste distanze è costante. Bernoulli la chiamò lemniscus, che è l'equivalente latino di fiocco pendente.

La lemniscata era in effetti già stata trattata da Giovanni Cassini nel suo studio del 1680 sull'ovale di Cassini, di cui la lemniscata costituisce un caso particolare. Giovanni Fagnano dei Toschi nel 1750 ne studiò le principali proprietà.

Lunghezza[modifica | modifica wikitesto]

La lunghezza della lemniscata di Bernoulli i cui due punti più distanti dal centro si trovino sui punti -1 e +1 delle ascisse è lunga approssimativamente 2,622. Questa grandezza, scoperta da Carl Gauss, è indicata con il simbolo \varpi. Il rapporto tra \pi e \varpi è pari alla media aritmetico-geometrica tra 1 e \sqrt{2}. La dimostrazione di questa identità ha portato ad avanzamenti nelle tecniche di calcolo degli integrali ellittici.

Altre equazioni[modifica | modifica wikitesto]

La lemniscata di Bernoulli può anche essere descritta dalle equazioni polari

r^2 = 2 a^2 \cos 2\theta

o dall'equazione bipolare

rr' = \frac{a^2}{2}.

Note[modifica | modifica wikitesto]

  1. ^ La parola "lemniscata" è un neologismo (1781 circa) ispirato al latino lemniscus, che significa "nastro pendente" (Merriam-Webster's Online Dictionary).

Bibliografia[modifica | modifica wikitesto]

  • (EN) Lemniscate of Bernoulli in The MacTutor History of Mathematics archive, School of Mathematics and Statistics, University of St Andrews, Scotland. URL consultato il 16-07-2008.

Voci correlate[modifica | modifica wikitesto]

Altri progetti[modifica | modifica wikitesto]

Collegamenti esterni[modifica | modifica wikitesto]

matematica Portale Matematica: accedi alle voci di Wikipedia che trattano di matematica