Ovale di Cassini

Alcuni ovali di Cassini aventi i fuochi in (-1, 0) e (1, 0). Le curve sono caratterizzate dai valori di b².

In matematica, un ovale di Cassini è un luogo geometrico di punti $P$ del piano tali che, considerati due punti del piano fissati $F_{1}$ e $F_{2}$ è costante il prodotto della distanza di $P$ da $F_{1}$ per la distanza di $P$ da $F_{2}.$ Formalmente, se denotiamo con $d(A,B)$ la distanza tra due punti $A$ e $B$ del piano, i punti di un ovale di Cassini soddisfano l'equazione:

d(F_{1},P)d(F_{2},P)=b^{2}

nella quale $b$ è un reale positivo.

I punti $F_{1}$ e $F_{2}$ sono detti fuochi dell'ovale.

Gli ovali di Cassini prendono il loro nome dall'astronomo Giovanni Domenico Cassini; talora sono chiamati ovali cassiniani.

Se consideriamo che i fuochi siano $F_{1}=(a,0)$ e $F_{2}=(-a,0),$ per un reale positivo $a,$ i punti dell'ovale soddisfano l'equazione:

((x-a)^{2}+y^{2})((x+a)^{2}+y^{2})=b^{4}.

Equazioni equivalenti in coordinate cartesiane sono:

(x^{2}+y^{2})^{2}-2a^{2}(x^{2}-y^{2})+a^{4}=b^{4}

e

(x^{2}+y^{2}+a^{2})^{2}-4a^{2}x^{2}=b^{4}.

Un'equazione equivalente in coordinate polari è

r^{4}-2a^{2}r^{2}\cos 2\theta =b^{4}-a^{4}.

La forma dell'ovale dipende dal rapporto $b/a.$ Quando $b/a$ è maggiore di 1, il luogo è costituito da un singolo cappio connesso. Quando $b/a$ è inferiore a 1, il luogo è costituito da due cappi sconnessi. Quando $b/a=1,$ il luogo si riduce a una lemniscata.

Se $a=b,$ la curva è razionale, ma in generale l'ovale di Cassini presenta una coppia di punti doppi all'infinito nel piano proiettivo complesso, per $x=\pm i,$ $y=1$ e $z=0$ e nessun'altra singolarità; essa quindi è una curva algebrica piana di genere 1, e quindi è birazionalmente equivalente a una curva ellittica.

Applicando un'omotetia, più precisamente sostituendo $ax$ con $x$ e $ay$ con $y,$ otteniamo la famiglia di curve a un parametro caratterizzate dell'equazione

(x^{2}+y^{2}+1)^{2}-4x^{2}=b^{4}

che ha come j-invariante

j=16{\frac {(b^{8}-16b^{4}+16)^{3}}{b^{16}(1-b^{4})}}.

Si osservi che la definizione dell'ovale di Cassini si può comparare con la definizione di ellisse, curva per la quale è costante, invece che il prodotto delle distanze, la somma delle distanze