Ovale di Cassini

Alcuni ovali di Cassini aventi i fuochi in (-1, 0) e (1, 0). Le curve sono caratterizzate dai valori di b².

In matematica, un ovale di Cassini è un luogo di punti p del piano tali che, considerati due punti del piano prefissati q₁ e q₂, è costante il prodotto della distanza di p da q₁ per la distanza di p da q₂. Formalmente, se denotiamo con dist(a,b) la distanza tra due punti a e b del piano, i punti di un ovale di Cassini soddisfano una equazione

$\mbox{dist}(q_1, p)\mbox{dist}(q_2, p)=b^2\,$

nella quale b è una opportuna costante numerica.

I punti q₁ e q₂ sono detti fuochi dell'ovale.

Gli ovali di Cassini prendono il loro nome dall'astronomo Giovanni Domenico Cassini; talora sono chiamati ovali cassiniani.

Se consideriamo che i fuochi siano q₁ = (a,0) e q₂ = (-a,0), i punti dell'ovale soddisfano l'equazione

$((x-a)^2+y^2)((x+a)^2+y^2)=b^4$

Equazioni equivalenti in coordinate cartesiane sono

$(x^2+y^2)^2-2a^2(x^2-y^2)+a^4=b^4$

e

$(x^2+y^2+a^2)^2-4a^2x^2=b^4$

Una equazione equivalente in coordinate polari è

$r^4-2a^2r^2 \cos 2\theta = b^4-a^4$

La forma dell'ovale dipende dal rapporto b/a. Quando b/a è maggiore di 1 il luogo è costituito da un singolo cappio connesso. Quando b/a è inferiore a 1, il luogo è costituito da due cappi sconnessi. Quando b/a = 1, il luogo si riduce a una lemniscata.

Se a = b la curva è razionale, ma in generale l'ovale di Cassini presenta una coppia di punti doppi all'infinito nel piano proiettivo complesso, per x = ±i, y = 1 e z = 0 e nessun'altra singolarità; essa quindi è una curva algebrica piana di genere 1, e quindi è birazionalmente equivalente a una curva ellittica.

Applicando una omotetia, cioè sostituendo ax con x e ay con y, otteniamo la famiglia di curve ad un parametro caratterizzate dell'equazione

$(x^2+y^2+1)^2-4x^2=b^4 \,$

che ha come j-invariante

$j = 16 \frac{(b^8-16b^4+16)^3}{b^{16}(1-b^4)}.$

Si osservi che la definizione dell'ovale di Cassini si può assimilare alla ellisse, curva per la quale è costante, invece di un prodotto di distanze, la somma

$\mbox{dist}(q_1, p)+\mbox{dist}(q_2, p)\,$ .

Collegamenti esterni

• (EN) Cassinian in MacTutor
• (EN) Cassini Ovals in MathWorld
• (EN) Cassini(an) oval 2Dcurves.com

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