Identità vettoriali

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Qui di seguito verranno presentate alcune identità vettoriali, cioè delle uguaglianze riguardanti campi vettoriali e campi scalari che risultano verificate indipendentemente dalle variabili scelte.

Queste relazioni risultano utili nei problemi di calcolo vettoriale, ad esempio nella derivazione delle onde elettromagnetiche a partire dalle equazioni di Maxwell.

Nel testo indicheremo con f, g i campi scalari e con A, B, C i campi vettoriali.

Identità vettoriali generiche[modifica | modifica wikitesto]

Triplo prodotto[modifica | modifica wikitesto]

\mathbf{A} \times (\mathbf{B} \times \mathbf{C}) = \mathbf{B} (\mathbf{A} \cdot \mathbf{C}) - \mathbf{C} (\mathbf{A} \cdot \mathbf{B})
\mathbf{A} \cdot (\mathbf{B} \times \mathbf{C}) = \mathbf{B} \cdot (\mathbf{C} \times \mathbf{A}) = \mathbf{C} \cdot (\mathbf{A} \times \mathbf{B})

da cui si ha

 (\mathbf{A} \times \mathbf{B}) \cdot (\mathbf{C} \times \mathbf{D}) = (\mathbf{A} \cdot \mathbf{C}) (\mathbf{B} \cdot \mathbf{D}) - (\mathbf{A} \cdot \mathbf{D}) (\mathbf{B} \cdot \mathbf{C})

ed in particolare

 (\mathbf{A} \times \mathbf{B})^2 = \mathbf{A}^2 \mathbf{B}^2 - (\mathbf{A} \cdot \mathbf{B})^2

Proprietà degli operatori vettoriali[modifica | modifica wikitesto]

Proprietà distributiva[modifica | modifica wikitesto]

 \nabla (f+g) = \nabla f + \nabla g
 \nabla \cdot ( \mathbf{A} + \mathbf{B} ) = \nabla \cdot \mathbf{A} + \nabla \cdot \mathbf{B}
 \nabla \times ( \mathbf{A} + \mathbf{B} ) = \nabla \times \mathbf{A} + \nabla \times \mathbf{B}

Proprietà del prodotto scalare[modifica | modifica wikitesto]

 \nabla(\mathbf{A} \cdot \mathbf{B}) = (\mathbf{A} \cdot \nabla)\mathbf{B} + (\mathbf{B} \cdot \nabla)\mathbf{A} + \mathbf{A} \times (\nabla \times \mathbf{B}) + \mathbf{B} \times (\nabla \times \mathbf{A})

Proprietà del prodotto vettoriale[modifica | modifica wikitesto]

 \nabla \cdot (\mathbf{A} \times \mathbf{B}) = \mathbf{B} \cdot \nabla \times \mathbf{A} - \mathbf{A} \cdot \nabla \times \mathbf{B}
 \nabla \times (\mathbf{A} \times \mathbf{B}) = \mathbf{A} (\nabla \cdot \mathbf{B}) - \mathbf{B} (\nabla \cdot \mathbf{A}) + (\mathbf{B} \cdot \nabla)\mathbf{A} - (\mathbf{A} \cdot \nabla)\mathbf{B}

Prodotto tra scalari e vettori[modifica | modifica wikitesto]

 \nabla (fg) = f \nabla g + g \nabla f
 \nabla \cdot (f\mathbf{A}) = \nabla f \cdot \mathbf{A} + f \nabla \cdot \mathbf{A}
 \nabla \times (f \mathbf{A}) = \nabla f \times \mathbf{A} + f \nabla \times \mathbf{A}

Combinazione di operatori vettoriali[modifica | modifica wikitesto]

Divergenza del gradiente[modifica | modifica wikitesto]

\nabla \cdot \nabla f = \nabla^2 f

Rotore del gradiente[modifica | modifica wikitesto]

\nabla \times \nabla f = 0

Divergenza del rotore[modifica | modifica wikitesto]

\nabla \cdot \nabla \times \mathbf{A} = 0

Rotore del rotore[modifica | modifica wikitesto]

\nabla \times (\nabla \times \mathbf{A}) = - \nabla^2 \mathbf{A} + \nabla (\nabla \cdot \mathbf{A})

Altre identità[modifica | modifica wikitesto]

 \frac{1}{2} \nabla \mathbf{A}^2 = \mathbf{A} \times (\nabla \times \mathbf{A}) + (\mathbf{A} \cdot \nabla) \mathbf{A}

Voci correlate[modifica | modifica wikitesto]

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