Formula dell'area di Gauss

Da Wikipedia, l'enciclopedia libera.

La formula dell'area di Gauss è un algoritmo matematico utilizzato per determinare l'area di un poligono i cui vertici siano descritti in coordinate cartesiane[1]. Il risultato si ottiene moltiplicando in croce le coordinate corrispondenti seguendo uno schema simile a quello dei lacci della scarpa.

La formula può essere rappresentata dall'espressione:

 \mathbf{A} = {1 \over 2}|x_1y_2 + x_2y_3 + \cdots + x_{n-1}y_n + x_ny_1 - x_2y_1 - x_3y_2 - \cdots - x_ny_{n-1} - x_1y_n|

dove

  • A è l'area del poligono,
  • n il numero di lati
  • (xiyi), i = 1, ,..., n sono i vertici del poligono.[2]

Oppure, servendosi delle sommatorie: \frac{1}{2}\left|\sum_{i=1}^{n}(x_{i}y_{i+1}-x_{i+1}y_{i})\right|, dove x_{n+1} e y_{n+1} indicano rispettivamente x_{1} e y_{1}.

Dimostrazione[modifica | modifica sorgente]

La dimostrazione della formula si basa sul concetto di forma differenziale: il calcolo dell'area della figura è infatti la generalizzazione dell'integrazione utilizzata per il calcolo di una superficie.

\Omega sia l'insieme dei punti P(x,y) appartenenti al poligono.

L'area è  A=\int_{\Omega}\alpha,\ , dove \alpha è una 2-forma definita come \alpha=dx\wedge dy .

Sia d\omega = \alpha, con \omega=\frac{x\,dy}{2}-\frac{y\,dx}{2}.

Grazie a questa sostituzione, \int_{\Omega}\alpha=\int_{\Omega}d\omega

ma, per il teorema di Green risulterà:

\int_{\Omega}d\omega=\int_{\partial\Omega}\omega.

Il bordo \partial\Omega della varietà considerata corrisponde all'unione dei segmenti che uniscono i vari punti: \partial\Omega=\bigcup A(i), dove A(i) è il segmento che unisce il punto (x_{i},y_{i}) a (x_{i+1},y_{i+1}).

Perciò \int_{\partial\Omega}\omega=\sum_{i=1}^{n}\int_{A(i)}\omega.

Sostituendo per \omega, sarà \sum_{i=1}^{n}\int_{A(i)}\omega=\frac{1}{2}\sum_{i=1}^{n}\int_{A(i)}{x\,dy}-{y\,dx}

e, parametrizzando,

\frac{1}{2}\sum_{i=1}^{n}\int_{0}^{1}{(x_{i}+(x_{i+1}-x_{i})t)(y_{i+1}-y_{i})}-{(y_{i}+(y_{i+1}-y_{i})t)(x_{i+1}-x_{i})\,dt}.

L'integrazione porta al risultato

\frac{1}{2}\sum_{i=1}^{n}\frac{1}{2}[(x_{i}+x_{i+1})(y_{i+1}-y_{i})-(y_{i}+y_{i+1})(x_{i+1}-x_{i})],

che, semplificato con un po' di algebra elementare è

\frac{1}{2}\sum_{i=1}^{n}(x_{i}y_{i+1}-x_{i+1}y_{i})

Q.E.D.

Esempi[modifica | modifica sorgente]

Si prenda un triangolo con vertici di coordinate {(2, 1), (4, 5), (7, 8)}. Si prenda la prima x e la si moltiplichi per la seconda y e così via. Si arriverà alla formula

 \mathbf{A}_\text{tri.} = {1 \over 2}|x_1y_2 + x_2y_3 + x_3y_1 - x_2y_1 - x_3y_2 - x_1y_3|

dove xn e yn rappresentano le coordinate di un punto. Ma questo vale solo per i triangoli. Usando la formula, si trova che l'area del triangolo descritto sopra è pari al valore assoluto della metà di 10 + 32 + 7 − 4 − 35 − 16, che equivale a 3.

E così l'area del pentagono diventerà

 \mathbf{A}_\text{pent.} = {1 \over 2}|x_1y_2 + x_2y_3 + x_3y_4 + x_4y_5 + x_5y_1 - x_2y_1 - x_3y_2 - x_4y_3 - x_5y_4 - x_1y_5|

e per il quadrilatero sarà

 \mathbf{A}_\text{quad.} = {1 \over 2}|x_1y_2 + x_2y_3 +x_3y_4 + x_4y_1 - x_2y_1 - x_3y_2 - x_4y_3 - x_1y_4|


Si consideri il poligono di vertici (3,4), (5,11), (12,8), (9,5) e (5,6) illustrato qui sotto:

Figura di questo esempio

L'area del poligono vale:


\begin{align}
\mathbf{A} & = {1 \over 2}|4 \times 5 + 11 \times 12 + 8 \times 9 + 5 \times 5 + 6 \times 3 \\
& {} \qquad {} - 11 \times 3 - 8 \times 5 - 5 \times 12 - 6 \times 9 - 4 \times 5| \\[10pt]
& = {60 \over 2} = 30
\end{align}

Utilizzo con le matrici[modifica | modifica sorgente]

Se si costruisce una matrice rettangolare dove siano indicate, su ogni riga, le coordinate di ogni vertice, avendo cura di riportare l'ultimo vertice alla fine della lista, l'applicazione della formula risulterà notevolmente più semplice.

Sia il triangolo (2,4); (3,-8); (1,2). La matrice da utilizzare sarà:

 \begin{bmatrix} 2 & 4 \\ 3 & -8 \\ 1 & 2 \\ 2 & 4 \end{bmatrix} [3]

Innanzitutto si disegneranno dei trattini che uniscano, in diagonale i punti da sinistra a destra verso il basso, e viceversa (da destra a sinistra sempre verso il basso)

ShoelaceMatrix2.GIF

e si moltiplicheranno i due numeri connessi dalle linee, poi si calcolerà la somma dei prodotti: (2 × −8) + (3 × 2) + (1 × 4) = −6. Lo stesso andrà fatto con le diagonali secondarie.

ShoelaceMatrix3.GIF

(4 × 3) + (−8 × 1) + (2 × 2) = 8.

Ora i due numeri vanno sottratti tra loro, e va considerato il valore assoluto della differenza (non esistono aree negative!): |−6 − 8| = 14. Infine, dimezzando il risultato si ottiene l'area: 7.

Da questo sistema la formula prende il nome del "laccio di scarpa": infatti i trattini disegnati sulla matrice sembrano proprio i lacci di una scarpa.

Fonti[modifica | modifica sorgente]

(EN) Shoelace Theorem.

Note[modifica | modifica sorgente]

  1. ^ http://staff.imsa.edu/math/journal/volume2/articles/Shoelace.pdf
  2. ^ Geometry for Enjoyment and Challenge section 16.2
  3. ^ IMSA JHMC Guide, Page. 10 "Shoelace" by Cindy Xi
Matematica Portale Matematica: accedi alle voci di Wikipedia che trattano di Matematica