Equazione di Riccati

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Almeno tre tipi di equazioni differenziali sono noti come equazione di Riccati, ed hanno le seguenti forme:

 1) \, \, \, u' = P(z) + Q(z)u +R(z)u^2
 2) \, \, \, u' = az^n+bu^2

Le equazioni prendono il nome dai matematici Jacopo Riccati e suo figlio Vincenzo.

La generalizzazione delle equazioni di Riccati al caso matriciale ha importanti applicazioni nella teoria del controllo ottimo.

Primo tipo[modifica | modifica wikitesto]

Il primo tipo di equazione di Riccati ha la forma

 u'= P(z) + Q(z)u +R(z)u^2

dove P, Q e R sono funzioni note. Non va confusa con l'equazione differenziale di Abel del secondo tipo. Si risolve tramite la sostituzione

 a) \,\,\, u=-\frac {y'}{yR} \, \, \Rarr \,\, u'=\frac {y'(yR'+ y'R)-y''yR }{(yR)^2}

Da cui si ottiene l'equazione differenziale omogenea del secondo ordine

Ry'' - (R'+ QR)y' + R^2Py=0

Se è possibile risolvere quest'ultima, sostituendo y nella a), si ricava la soluzione generale.

Un metodo risolutivo equivalente consiste nel porre

 b) \,\,\, y=e^{-\int {Ru}}

Sostituendo si ricava di nuovo l'equazione lineare del secondo ordine

 Ry'' - (R' + RQ)y' + R^2Py = 0


Nel 1760 Eulero ha dimostrato che, se si conosce una soluzione particolare u_1 dell'equazione originaria, allora è possibile ricondurre l'equazione dapprima ad un'equazione differenziale di Bernoulli, e quindi ad una lineare omogenea. Il tutto si abbrevia tramite la sostituzione

y = \frac 1 {u-u_1}

da cui si ottiene facilmente

y'=-(Q+2u_1 R)y -R

La soluzione generale risulta poi essere

 u = u_1 + \frac 1 y


Sempre Eulero ha mostrato come, conoscendo due soluzioni u_1, \, u_2, si ricava direttamente la soluzione generale, che assume la forma

u = \frac { k u_1 e^{\int {u_1} - u_2 } - u_2} {k e^{\int {u_1} - u_2 } -1 }

Altre proprietà notevoli sono state indagate da Picard e Weyr, e sono:

  1. Conoscendo tre soluzioni particolari, la soluzione generale non richiede integrazioni
  2. date quattro soluzioni particolari, il rapporto
    \frac{(u_1-u_2)(u_3-u_4)}{(u_1-u_4)(u_3-u_2)}
    è costante


L'equazione di Riccati del primo tipo può essere generalizzata da un'equazione differenziale ai quaternioni, ed è collegabile all'equazione di Schrödinger ad una dimensione.

Esempio[modifica | modifica wikitesto]

 u' = x u^2 + \left ( \frac {1  - 2x^2} x \right ) u + \frac {x^2-1} x


Soluzione particolare

 u_1=1

Sostituendo ottengo l'equazione del primo ordine

 y' = - \frac y x - x

Questa dà facilmente

 y = - \frac {x^2} 3 + \frac C x

da cui

 u = u_1 + \frac 1 y = 1 + \frac {3x} {3C-x^3}

Secondo tipo[modifica | modifica wikitesto]

Equazioni di Riccati matriciali[modifica | modifica wikitesto]

 X'(t)=XCD-AX-XD+C


ARE: Algebraic Riccati Equation[modifica | modifica wikitesto]

 0=A'P+PA+Q-PBR^{-1}B'P

DRE: Differential Riccati Equation[modifica | modifica wikitesto]

 -\frac{dP(t)}{dt}=A'P(t)+P(t)A+Q-P(t)BR^{-1}B'P(t)

Bibliografia[modifica | modifica wikitesto]

  • Einar Hille, Ordinary Differential Equations in the Complex Domain, New York, Dover Publications [1976], 1997, ISBN 0-486-69620-0.
  • E. L. Ince, Ordinary Differential Equations, New York, Dover Publications [1926], 1956.
  • Zeev Nehari, Conformal Mapping, New York, Dover Publications [1952], 1975, ISBN 0-486-61137-X.
  • Andrei D. Polyanin e Valentin F. Zaitsev, Handbook of Exact Solutions for Ordinary Differential Equations, 2nd, Boca Raton, Fla., Chapman & Hall/CRC, 2003, ISBN 1-58488-297-2.
  • Mikhail I. Zelikin, Homogeneous Spaces and the Riccati Equation in the Calculus of Variations, Berlin, Springer-Verlag, 2000.



Collegamenti esterni[modifica | modifica wikitesto]