Equazione di Riccati

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In matematica, per equazione di Riccati si identifica un tipo di equazione differenziale ordinaria che è quadratica nella funzione incognita; in altri termini, si tratta di un'equazione della forma:

 y'(x) = q_0(x) + q_1(x) \, y(x) + q_2(x) \, y^2(x)

dove q_0(x) \neq 0 e q_2(x) \neq 0. Se q_0(x) = 0 l'equazione si riduce all'equazione differenziale di Bernoulli, mentre se q_2(x) = 0 diventa un'equazione differenziale lineare del primo ordine.

Le equazioni prendono il nome dai matematici Jacopo Riccati e suo figlio Vincenzo.

La generalizzazione delle equazioni di Riccati al caso matriciale ha importanti applicazioni nella teoria del controllo ottimo. L'equazione può essere inoltre generalizzata da un'equazione differenziale ai quaternioni, ed è collegabile all'equazione di Schrödinger ad una dimensione.

Metodi risolutivi[modifica | modifica wikitesto]

Data l'equazione:

 u'= P(z) + Q(z)u +R(z)u^2

dove P, Q e R sono funzioni note, si effettua la sostituzione:

 u=-\frac {y'}{yR}

Derivando si ha:

 u'=\frac {y'(yR'+ y'R)-y''yR }{(yR)^2}

Inserendo ciò nell'equazione di partenza si ottiene un'equazione omogenea del secondo ordine:

Ry'' - (R'+ QR)y' + R^2Py=0

Se è possibile risolvere quest'ultima, si ricava la soluzione generale. Un altro modo per ottenere la medesima espressione consiste nel porre:

 y=e^{-\int {Ru}}

Nel 1760 Eulero ha dimostrato che, se si conosce una soluzione particolare u_1 dell'equazione originaria, allora è possibile ricondurre l'equazione dapprima ad un'equazione differenziale di Bernoulli, e quindi ad una lineare omogenea. Il tutto si abbrevia tramite la sostituzione:

y = \frac 1 {u-u_1}

da cui si ottiene facilmente:

y'=-(Q+2u_1 R)y -R

La soluzione generale risulta poi essere:

 u = u_1 + \frac 1 y

Eulero ha inoltre mostrato come, conoscendo due soluzioni u_1, e ,u_2, si ricava direttamente la soluzione generale, che assume la forma:

u = \frac { k u_1 e^{\int {u_1} - u_2 } - u_2} {k e^{\int {u_1} - u_2 } -1 }

Altre proprietà notevoli sono state indagate da Picard e Weyr:

  • Conoscendo tre soluzioni particolari, la soluzione generale non richiede integrazioni
  • date quattro soluzioni particolari, il rapporto
\frac{(u_1-u_2)(u_3-u_4)}{(u_1-u_4)(u_3-u_2)}
è costante.

Esempio[modifica | modifica wikitesto]

Data l'equazione:

 u' = x u^2 + \left ( \frac {1  - 2x^2} x \right ) u + \frac {x^2-1} x

una soluzione particolare è:

 u_1=1

Sostituendo si ottiene l'equazione del primo ordine:

 y' = - \frac y x - x

Si ha:

 y = - \frac {x^2} 3 + \frac C x

da cui:

 u = u_1 + \frac 1 y = 1 + \frac {3x} {3C-x^3}

Bibliografia[modifica | modifica wikitesto]

  • Einar Hille, Ordinary Differential Equations in the Complex Domain, New York, Dover Publications [1976], 1997, ISBN 0-486-69620-0.
  • E. L. Ince, Ordinary Differential Equations, New York, Dover Publications [1926], 1956.
  • Zeev Nehari, Conformal Mapping, New York, Dover Publications [1952], 1975, ISBN 0-486-61137-X.
  • Andrei D. Polyanin e Valentin F. Zaitsev, Handbook of Exact Solutions for Ordinary Differential Equations, 2nd, Boca Raton, Fla., Chapman & Hall/CRC, 2003, ISBN 1-58488-297-2.
  • Mikhail I. Zelikin, Homogeneous Spaces and the Riccati Equation in the Calculus of Variations, Berlin, Springer-Verlag, 2000.

Voci correlate[modifica | modifica wikitesto]

Collegamenti esterni[modifica | modifica wikitesto]