Discussione:Addizione

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Note: en:Addition sembra molto ben fatta

Addizione
Argomento di scuola primaria
Materia	matematica
Dettagli
Dimensione della voce	14 587 byte
Progetto Wikipedia e scuola italiana

Appunti

Quanto segue era presente fino ad oggi nella voce. Sono uguaglianze troppo complesse per un argomento che dovrebbe essere elementare. Ylebru dimmela 09:48, 18 set 2010 (CEST)

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Somme utili

Ecco alcune identità utili:

$\sum _{i=1}^{n}i={\frac {n(n+1)}{2}}$ (vedi serie aritmetica);

$\sum _{k=i}^{n}k={\frac {(n-i+1)(n+i)}{2}}$

$\sum _{i=1}^{n}(2i-1)=n^{2};$

$\sum _{i=0}^{n}i^{2}={\frac {n(n+1)(2n+1)}{6}};$

$\sum _{i=0}^{n}i^{3}=\left({\frac {n(n+1)}{2}}\right)^{2};$

$\sum _{i=N_{1}}^{N_{2}}x^{i}={\frac {x^{N_{2}+1}-x^{N_{1}}}{x-1}}$ (vedi serie geometrica);

$\sum _{i=0}^{n}x^{i}={\frac {x^{n+1}-1}{x-1}}$ (caso speciale della formula sopra quando ${N_{1}}=0$)

$\sum _{i=0}^{\infty }x^{i}={\frac {1}{1-x}};$ (caso speciale della formula sopra, $\lim _{n\to \infty }$ e $|x|<1$);

$\sum _{i=0}^{n}{n \choose i}=2^{n}$ (vedi coefficiente binomiale);

$\sum _{i=0}^{n-1}{i \choose k}={n \choose k+1}.$

$\left(\sum _{i}a_{i}\right)\left(\sum _{j}b_{j}\right)=\sum _{i}\sum _{j}a_{i}b_{j}$

${\left(\sum _{i}a_{i}\right)}^{2}=2\sum _{i}\sum _{j<i}a_{i}a_{j}+\sum _{i}a_{i}^{2}$

In generale, la somma delle prime n potenze m-sime è

$\sum _{i=0}^{n}i^{m}={\frac {(n+1)^{m+1}}{m+1}}+\sum _{k=1}^{m}{\frac {B_{k}}{m-k+1}}{m \choose k}(n+1)^{m-k+1},$

dove $B_{k}$ è il k-simo numero di Bernoulli.

Ecco inoltre alcune approssimazioni utili (scritte usando la notazione O grande):

$\sum _{i=1}^{n}i^{c}=O(n^{c+1})$ per ogni costante reale c maggiore di -1;

$\sum _{i=1}^{n}{\frac {1}{i}}=O(\log {n});$

$\sum _{i=1}^{n}c^{i}=O(c^{n})$ per ogni costante reale c maggiore di 1;

$\sum _{i=1}^{n}\log(i)^{c}=O(n\cdot \log(n)^{c})$ per ogni costante reale non negativa c;

$\sum _{i=1}^{n}\log(i)^{c}\cdot i^{d}=O(n^{d+1}\cdot \log(n)^{c})$ per ogni coppia di costanti reali non negative c e d;

$\sum _{i=1}^{n}\log(i)^{c}\cdot i^{d}\cdot b^{i}=O(n^{d}\cdot \log(n)^{c}\cdot b^{n})$ per ogni terna di costanti reali non negative b > 1, c, d.

Approssimazione per mezzo di integrali

Si possono ottenere molte approssimazioni come quelle della sezione precedente per mezzo della relazione seguente tra somme e integrali, che vale per una qualunque funzione f non decrescente:

$\int _{s=a-1}^{b}f(s)\,ds\leq \sum _{i=a}^{b}f(i)\leq \int _{s=a}^{b+1}f(s)\,ds.$

Per approssimazioni più generali, si veda la formula di Eulero-Maclaurin.

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Somme e insiemi numerici (e a cosa dovrebbe servire questa voce)

L'incipit, così com'è ora,

«L'addizione è un'operazione aritmetica che ha due numeri detti addendi a cui associa un terzo numero detto somma ottenuto aggiungendo al primo numero tante unità quante ne indica il secondo.»

è praticamente tautologico. Si potrebbe riformulare meglio introducendo assiomaticamente la funzione "successore" (nel senso dell'aritmetica di Peano), come sembrerebbe voler fare la frase successiva, ma non mi sembra il modo di chiarire meglio le idee. Io credo che si dovrebbe riscrivere il tutto (non mi ci metto io da solo perché non sono esperto di fondamenti della matematica) in quest'ordine:

1. precisare che l'operazione di addizione è introdotta inizialmente nell'insieme dei numeri naturali, e che in tale insieme si può interpretare in senso insiemistico (cardinalità dell'unione di insiemi disgiunti), oppure può essere definita assiomaticamente come nell'aritmetica di Peano;
2. spiegare che il concetto di addizione si estende poi agli altri insiemi numerici (interi relativi, razionali, reali, complessi...), con magari un piccolo accenno al fatto che in matematica vi sono anche strutture più generali in cui è definita l'operazione di addizione (o somma), ad esempio gli spazi lineari (giusto perché poi nella voce si parla di combinazione lineare).

L'obbiettivo, IMHO, non dovrebbe essere quello di spiegare come si sommano due numeri naturali (vivaddio, se uno sta leggendo una pagina di WP si può ben supporre che sappia eseguire la somma 3+2=5 !!!), ma di dare (in modo comprensibile) le informazioni che nei libri di scuola elementare non ci sono. Proporrei un obiettivo molto preciso; esistono molte (troppe) persone convinte che chiedere «chi l'ha detto che 2 + 2 fa 4?» (varianti: «come fate ad essere così sicuri che...», «ma voi credete davvero che...», ecc.) sia un buon modo di mettere in difficoltà un matematico, e di dimostrare la propria superiore intelligenza o furbizia. Ecco, secondo me questa voce di WP avrebbe senso se:

1. dopo averla letta, qualunque di queste persone capisse definitivamente che quella domanda denota solo l'ignoranza da parte di chi la pone;
2. un insegnante di matematica, di qualunque ordine e grado, che non avesse idea di come rispondere efficacemente a quella domanda (temo che ce ne siano, in giro), vi trovasse un utile ausilio per non farsi mettere nel sacco dai propri allievi.

(per rendersi conto del problema può essere istruttivo farsi un giro, ad esempio, qui). --Guido (msg) 09:40, 20 set 2010 (CEST)

Riscritto l'incipit

Si può certamente scrivere ancora meglio (non senza chiedersi a chi dovrebbe essere destinato), ma come era prima era assurdo. Ho anche cancellato due "sezioni" molto discutibili: quella in cui si parla di "combinazione lineare" (che in matematica è un'altra cosa: è definita negli spazi lineari e non negli insiemi numerici) e quella in cui, dopo aver presentato l'addizione come un'operazione binaria, si pretende di definire la somma di un solo numero e quella di zero numeri (e non si capisce assolutamente a che servirebbero queste "somme degeneri", se non a poter usare il simbolo di sommatoria anche quando non c'è nessuna somma - succede, ma non è il caso di mettere qui una definizione simile). Anche quello che segue andrebbe rivisto: ad esempio, per parlare di "somme di più di due termini" si deve avere detto prima che l'addizione è associativa. Anche la sezione sull'addizione in colonna mi sembra un po' ridicola, comunque l'ho lasciata. Segnalo anche al Bar di matematica le modifiche fatte. --Guido (msg) 20:26, 19 dic 2010 (CET)

Incipit

Ok... l'incipit attuale prende come esempio l'addizione tra insiemi, che è un caso specifico (interessante), ma non il principale, o meglio, non quello a cui si fa riferimento comunemente. Propongo di creare somma algebrica e somma (insiemi) e di mettere una disambigua ad addizione. Che ne pensate? 93.47.45.113 (msg) 13:23, 20 dic 2010 (CET)

L'incipit attuale (nonché il resto della voce) presenta l'addizione fra numeri: tre (mele) più due (mele) uguale cinque (mele). Quale sarebbe il "caso a cui si fa riferimento comunemente"? Somma algebrica esiste già e non ha molto senso, dato che parla semplicemente dell'addizione fra interi relativi. La "somma di insiemi" si chiama unione e anche su questo la voce c'è già. Detto questo, ogni proposta di definizione alternativa dell'addizione fra numeri è benvenuta, prova a scriverla qui sotto e ne discutiamo (l'importante è che sia corretta e non tautologica: questa è un'enciclopedia e non un dizionario, quindi non si può scrivere "un'addizione è una somma"; inoltre un esempio non è una definizione, e viceversa) --Guido (msg) 13:30, 20 dic 2010 (CET)

Aggiunta delle fonti e traduzione

Ho aggiunto le fonti dappertutto e tradotto le parti più cruciali dalla versione inglese. Ho anche aggiunto dei cenni storici.--Voidstar (msg) 01:52, 24 mag 2017 (CEST)