Congettura di Schanuel

In matematica, la congettura di Schanuel afferma quanto segue:

Dato un insieme di

n

numeri complessi

(z_{1},...,z_{n})

linearmente indipendenti sull'insieme dei razionali

\mathbb {Q}

allora la sua estensione di campi

Q(z_{1},...,z_{n},e^{z_{1}},...,e^{z_{n}})

ha grado di trascendenza almeno

n

su

\mathbb {Q}

.

La congettura è stata formulata da Stephen Schanuel nei primi anni sessanta ma ad oggi non solo non ne esiste una dimostrazione, ma pare che questa sia fuori portata^[1].

La congettura, se dimostrata, implicherebbe il Teorema di Lindemann-Weierstrass e quello di Gel'fond-Schneider, oltre ad altri risultati sulle proprietà trascendenti della funzione esponenziale, tra cui anche la non ancora dimostrata indipendenza algebrica di $\pi$ ed $e$ .

L'enunciato inverso della Congettura di Schanuel è il seguente:

Siano $F$ un campo numerabile a caratteristica nulla ed $e:F\rightarrow F$ un omomorfismo dal gruppo additivo $(F,+)$ al gruppo moltiplicativo $(F,\cdot )$ il cui nucleo è ciclico. Si supponga inoltre che per ogni insieme di $n$ elementi $(x_{1},...,x_{n})$ di $F$ linearmente indipendenti su $\mathbb {Q}$ , l'estensione di campi $Q(x_{1},...,x_{n},e(x_{1}),...,e(x_{n}))$ abbia grado di trascendenza almeno $n$ su $\mathbb {Q}$ . Allora, sotto tali condizioni, esiste un omomorfismo di campo $h:F\rightarrow C$ tale per cui $h(e(x))=e^{h(x)}$ per ogni $x$ di $F$ .