Algebra di Lie graduata

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In matematica, un'algebra di Lie si dice graduata quando è dotata di una gradazione compatibile con le parentesi di Lie. In altre parole, essa è un'algebra di Lie che è un'algebra graduata non-associativa nel quadro dell'operazione di commutazione.

Questo concetto viene esteso nella superalgebra di Lie graduata, in cui si richiede che le parentesi di Lie non siano necessariamente anticommutative.

Definizione formale dell'algebra di Lie graduata[modifica | modifica sorgente]

Nella forma più elementare, un'algebra di Lie graduata è un'ordinaria algebra di Lie {\mathfrak g} con una gradazione degli spazi vettoriali [1]:

{\mathfrak g}=\bigoplus_{i\in{\mathbb Z}} {\mathfrak g}_i ;

tale che le parentesi di Lie, rispetto a questa gradazione sono:

[{\mathfrak g}_i,{\mathfrak g}_j]\subseteq {\mathfrak g}_{i+j}..

La superalgebra di Lie graduata[modifica | modifica sorgente]

Una superalgebra di Lie graduata su un campo o su un anello k (che ha caratteristica diversa da 2) e definita come uno spazio vettoriale graduato E su k, con un'operazione bilineare:

[-,-] : E\otimes_k E\rightarrow E

che soddisfi alle seguenti proprietà:

  • [-,-] rispetto alla gradazione di E:
[E_i,E_j]\subseteq E_{i+j}.
  • (Simmetria) se x ε Ei e y ε Ej, allora:
[x,y]=-(-1)^{ij}\,[y,x];
(-1)^{ik}[x,[y,z]]+(-1)^{ij}[y,[z,x]]+(-1)^{jk}[z,[x,y]]=0.

Superalgebra[modifica | modifica sorgente]

In matematica e in fisica teorica una superalgebra è una Z2- algebra graded (algebra graduata)[2]. Vale a dire, si tratta di un'algebra su un anello commutativo o un campo che si decompone in un pezzo "pari" e uno "dispari", ovvero è un operatore moltiplicativo che rispetta la separazione in pezzi "pari" e "dispari".

Il prefisso super- deriva dalla teoria della supersimmetria nel campo della fisica teorica. Le superalgebre e le loro rappresentazioni, i supermoduli, forniscono un quadro algebrico per la formulazione della supersimmetria [3]. Lo studio di tali oggetti a volte è pure chiamato super algebra lineare.

Definizione formale[modifica | modifica sorgente]

Sia K un fissato anello commutativo; nella maggior parte delle applicazioni K è un campo come R o C.

Una superalgebra su K è un K-modulo A con una decomposizione in una somma diretta:

A = A_0\oplus A_1

con una moltiplicazione bilineare A × AA tale che:

A_iA_j \sube A_{i+j}

con gli indici che hanno modulo 2.

Algebra di Lie[modifica | modifica sorgente]

In matematica, un'algebra di Lie (dal nome del matematico Sophus Lie) è una struttura algebrica usata principalmente per lo studio di oggetti geometrico analitici come i gruppi di Lie e le varietà differenziabili.

Definizione formale[modifica | modifica sorgente]

Un'algebra di Lie è una struttura costituita da uno spazio vettoriale g su un certo campo F (per esempio i numeri reali, i numeri complessi, o un campo finito) e da un operatore binario [·, ·] : g × g -> g, detto prodotto di Lie, che soddisfa le seguenti proprietà:

  1. è bilineare, cioè [a x + b y, z] = a [x, z] + b [y, z] e [z, a x + b y] = a [z, x] + b [z, y] per tutti gli a, b in F e tutti gli x, y, z in g;
  2. soddisfa l'identità di Jacobi, cioè [[x, y], z] + [[z, x], y] + [[y, z], x] = 0 per tutti gli x, y, z in g;
  3. è nilpotente, cioè [x, x] = 0 per tutti gli x in g.

Notare che la prima e la terza proprietà insieme implicano [x, y] = − [y, x] per tutti gli x, y in g, cioè l'antisimmetria del prodotto di Lie: viceversa l'antisimmetria implica la proprietà 3 se F ha caratteristica diversa da 2. Notare anche che in generale il prodotto di Lie non è associativo, cioè [[x, y], z] non è necessariamente uguale a [x, [y, z]].

Superalgebra di Lie[modifica | modifica sorgente]

In matematica e in fisica teorica una superalgebra di Lie è una generalizzazione dell'algebra di Lie con l'inclusione di una Z2- algebra graded (algebra graduata)[4]. Le superalgebre Lie sono importanti in fisica teorica, dove vengono utilizzate per descrivere la formulazione matematica della supersimmetria. Nella maggior parte di queste teorie, gli elementi pari della superalgebra corrispondono ai bosoni e gli elementi dispari ai fermioni (ma questo non è sempre vero, ad esempio, nella supersimmetria di BRST è il contrario).

Definizione formale[modifica | modifica sorgente]

Formalmente, una superalgebra di Lie è un'algebra graduata Z2 (Z2- algebra graded) non associativa, o una superalgebra, ovvero un anello commutativo (tipicamente R or C) su cui è definito un prodotto [·, ·], chiamato superbracket di Lie o supercommutatore, che soddisfa alle seguenti due condizioni (analoghe ai soliti assiomi dell'algebra di Lie con gradazione):

1) Super anti-simmetria:

[x,y]=-(-1)^{|x| |y|}[y,x].\  ;

2) la super identità di Jacobi:

(-1)^{|z| |x|}[x,[y,z]]+(-1)^{|x| |y|}[y,[z,x]]+(-1)^{|y| |z|}[z,[x,y]]=0\ ;

dove x, y e z sono pure Z2-grading. Quindi, |x| denota il grado di x (0 oppure 1). Il grado di [x,y] è la somma dei gradi di x e y con modulo 2.

Si aggiungono a volte gli assiomi:

a) [x,x]=0 per |x|=0 (poiché il numero 2 è invertibile questa proprietà segue automaticamente);

e

b) [[x,x],x]=0 per |x|=1 (poiché il numero 3 è invertibile questa proprietà segue automaticamente).

Algebra supersimmetrica[modifica | modifica sorgente]

In fisica teorica, un'algebra di supersimmetria (o un'algebra SUSY) è un'algebra di simmetria che incorpora la supersimmetria, ovvero una relazione tra bosoni e fermioni. In un mondo supersimmetrico, ogni bosone ha un fermione partner di pari massa a riposo e ogni fermione ha un bosone partner di pari massa a riposo [5].

I campi bosonici commutano, mentre i campi fermionici anticommutano; al fine di mettere in relazione i due tipi di campi in un'unica algebra, si fa uso dell'introduzione di un'"algebra Graded" in base alla quale si richiede che gli elementi pari siano bosoni e gli elementi dispari siano fermioni. Un tale algebra è chiamata superalgebra di Lie.

D'altra parte, il teorema spin-statistica [6] dimostra che i bosoni hanno spin intero, mentre i fermioni hanno spin semi-intero. Di conseguenza, gli elementi dispari in un'algebra di supersimmetria è necessario che abbiano spin semi-intero che è in contrasto con le più tradizionali simmetrie in fisica classica.

Nelle simmetrie fisiche che sono associate ad un'algebra di Lie si possono costruire le loro rappresentazioni, così si può avere anche delle rappresentazioni di una superalgebra Lie. Ogni algebra di Lie è legata ad un gruppo di Lie così allo stesso modo ogni superalgebra di Lie è legata ad un supergruppo di Lie.

Algebra di super-Poincaré[modifica | modifica sorgente]

In fisica teorica, l'algebra di super-Poincaré è un'estensione dell'algebra di Poincaré che include la supersimmetria, ovvero che include una relazione tra bosoni e fermioni.

La più semplice estensione supersimmetrica dell'algebra di Poincaré contiene due spinori di Weyl che soddisfano alla seguente relazione di anti-commutazione:

\{Q_{\alpha}, \bar Q_{\dot{\beta}}\} = 2{\sigma^\mu}_{\alpha\dot{\beta}}P_\mu

e tutte le relazioni di anti-commutazione fra le  Q_{\alpha}, e le P_\mu sono nulle. Dove i P_\mu sono i generatori delle traslazioni e le \sigma^\mu sono le matrici di Pauli.

Supersimmetria[modifica | modifica sorgente]

Alcune coppie

Particella Spin Partner Spin
Elettrone \tfrac{1}{2} Selettrone 0
Quark \tfrac{1}{2} Squark 0
Neutrino \tfrac{1}{2} Sneutrino 0
Gluone 1 Gluino \tfrac{1}{2}
Fotone 1 Fotino \tfrac{1}{2}
Bosone W 1 Wino (particella) \tfrac{1}{2}
Bosone Z 1 Zino \tfrac{1}{2}
Gravitone 2 Gravitino \tfrac{3}{2}

Nella fisica delle particelle, infatti, in relazione a una trasformazione di supersimmetria, ogni fermione ha un superpartner bosonico e ogni bosone ha un superpartner fermionico. Le coppie sono state battezzate partner supersimmetrici, e le nuove particelle vengono chiamate appunto spartner, superpartner, o sparticelle [7]. Più precisamente, il superpartner di una particella con spin s ha spin

s-\frac{1}{2}

Alcuni esempi sono illustrati nella tabella. Nessuna di esse è stata fino ad ora individuata sperimentalmente, ma si spera che il Large Hadron Collider del CERN di Ginevra possa assolvere a questo compito a partire dal 2010, dopo la sua rimessa in funzione nel novembre 2009[8]. Per il momento esistono esclusivamente prove indirette dell'esistenza della supersimmetria. Siccome i superpartners delle particelle del Modello Standard non sono ancora stati osservati, la supersimmetria, se esiste, deve necessariamente essere una simmetria rotta così da permettere che i superpartners possano essere più pesanti delle corrispondenti particelle presenti nel Modello Standard.

La carica associata (ossia il generatore) di una trasformazione di supersimmetria viene detta supercarica.

La teoria spiega alcuni problemi insoluti che affliggono il modello standard ma purtroppo ne introduce altri. Essa è stata sviluppata negli anni '70 dal gruppo di ricercatori di Jonathan I. Segal presso il MIT; contemporaneamente, Daniel Laufferty della “Tufts University” e i fisici teorici sovietici Izrail' Moiseevič Gel'fand e Likhtman hanno teorizzato indipendentemente la supersimmetria [9]. Sebbene nata nel contesto delle teorie delle stringhe, la struttura matematica della supersimmetria è stata successivamente applicata con successo ad altre aree della fisica, dalla meccanica quantistica alla statistica classica ed è ritenuta parte fondamentale di numerose teorie fisiche.

Nella teoria delle stringhe la supersimmetria ha come conseguenza che i modi di vibrazione delle stringhe che danno origine a fermioni e bosoni si presentano obbligatoriamente in coppie.

Note[modifica | modifica sorgente]

  1. ^ Nijenhuis, A., and Richardson, R. W. Jr., "Cohomology and deformations in graded Lie algebras", Bull. AMS 72 (1966), 1-29 .
  2. ^ Kac, Martinez & Zelmanov (2001) .
  3. ^ Introducing supersymmetry, M. F. Sohnius, 1985
  4. ^ "Lie Superalgebras of String Theory", Pavel Grozman, Dimitry Leites and Irina Shchepochkina.
  5. ^ Gordon Kane, The Dawn of Physics Beyond the Standard Model, Scientific American, June 2003, page 60 and The frontiers of physics, special edition, Vol 15, #3, page 8 "Indirect evidence for supersymmetry comes from the extrapolation of interactions to high energies."
  6. ^ M. Fierz "Uber die relativistiche Theorie krafterfreier Teilchen mit Beliebigem Spin" Helvetica Physica Acta 12:3-37, 1939
  7. ^ A Supersymmetry Primer, S. Martin, 1999
  8. ^ (ENFR) The LHC is back. URL consultato il 12 aprile 2010.
  9. ^ Weinberg Steven, The Quantum Theory of Fields, Volume 3: Supersymmetry, Cambridge University Press, Cambridge (1999). ISBN 0-521-66000-9.

Bibliografia[modifica | modifica sorgente]

  • Nijenhuis, A., and Richardson, R. W. Jr., "Cohomology and deformations in graded Lie algebras", Bull. AMS 72 (1966), 1-29.
  • Kac, V. G. Lie superalgebras. Advances in Math. 26 (1977), no. 1, 8--96.
  • Manin, Yuri I. Gauge field theory and complex geometry. Grundlehren der Mathematischen Wissenschaften, 289. Springer-Verlag, Berlin, 1997. ISBN 3-540-61378-1
  • Pavel Grozman, Dimitry Leites and Irina Shchepochkina. "LIE SUPERALGEBRAS OF STRING THEORIES"
  • Junker G. Supersymmetric Methods in Quantum and Statistical Physics, Springer-Verlag (1996).
  • Kane G. L., Shifman M., The Supersymmetric World: The Beginnings of the Theory World Scientific, Singapore (2000). ISBN 981-02-4522-X.
  • Weinberg Steven, The Quantum Theory of Fields, Volume 3: Supersymmetry, Cambridge University Press, Cambridge (1999). ISBN 0-521-66000-9.
  • Wess, Julius, and Jonathan Bagger, Supersymmetry and Supergravity, Princeton University Press, Princeton, (1992). ISBN 0-691-02530-4.
  • Bennett GW, et al; Muon (g−2) Collaboration, Measurement of the negative muon anomalous magnetic moment to 0.7 ppm in Physical Review Letters, vol. 92, n. 16, 2004, p. 161802. DOI:10.1103/PhysRevLett.92.161802, PMID 15169217.
  • (EN) Cooper F., A. Khare, U. Sukhatme. Supersymmetry in Quantum Mechanics, Phys. Rep. 251 (1995) 267-85 (arXiv:hep-th/9405029).
  • (EN) D.V. Volkov, V.P. Akulov, Pisma Zh.Eksp.Teor.Fiz. 16 (1972) 621; Phys. Lett. B46 (1973) 109.
  • (EN) V.P. Akulov, D.V. Volkov, Teor.Mat.Fiz. 18 (1974) 39.

Voci correlate[modifica | modifica sorgente]

Collegamenti esterni[modifica | modifica sorgente]