Tromba di Torricelli

Da Wikipedia, l'enciclopedia libera.

La Tromba di Torricelli, detta anche di Gabriele, è un solido ottenuto dalla rivoluzione intorno all'asse della curva di equazione nell'intervallo . Questo solido ha la particolarità di avere volume finito, ma area infinita. Il solido viene anche chiamato Tromba di Gabriele in riferimento all'Arcangelo Gabriele, l'angelo che, secondo tradizione, soffierà nel corno per annunciare l'apocalisse, associando il divino (e quindi l'infinito) al finito.

Visualizzazione della superficie della Tromba di Gabriele

Costruzione matematica[modifica | modifica wikitesto]

La Tromba di Gabriele è la forma del grafico della funzione , nel dominio (che esclude l'asintoto per x = 0), che viene ruotata in tre dimensioni rispetto all'asse x.

La sua scoperta avvenne tramite il Principio di Cavalieri, prima dell'invenzione del calcolo matematico, che tuttavia può oggi essere applicato per determinare area e volume della superficie per x = 1 e per x = a, dove a > 1.

può essere grande a piacere, ma l'equazione mostra chiaramente che il volume ricompreso tra e non sarà mai più grande di ; tuttavia esso tenderà ad essere tanto più prossimo al valore di quanto più è grande (tende ad infinito). Usando il calcolo dei limiti possiamo pertanto scrivere:

La relazione precedente fornisce un limite inferiore per la superficie pari a volte il logaritmo naturale di . Invece, non esiste limite superiore per il logaritmo naturale di , per che tende ad infinito. Cosa che, nel caso i nesame, equivale a dire che la tromba possiede una superficie infinita. In simboli:

Spiegazione[modifica | modifica wikitesto]

La spiegazione di questo paradosso è relativa alla dimensione delle grandezze coinvolte nei calcoli. La dimensione della lunghezza è 1, area 2 e volume 3 (m, m2, m3). Quando calcoliamo l'area della superficie di un solido di rotazione, supponiamo che il risultato sia composto di piccole strisce di quantità unidimensionale - "anelli" i cui raggi sono uguali all'altezza del solido in un punto dato. Quando queste vengono integrate (e quindi sommate tra loro) il risultato è una quantità bidimensionale: l'area della superficie. Similarmente, per misurare il volume di questo solido di rotazione si sommano al totale tutti gli anelli (il cui raggio è, di volta in volta, l'altezza del solido); il risultato è una grandezza tridimensionale (volume).

Il paradosso sorge in quanto la lunghezza degli "anelli", che viene sommata per ottenere l'area della superficie, è di una dimensione minore (1 vs 2) dei vari "dischi" che vengono usati per trovare il volume.

Grazie alle formule di integrazione possiamo calcolare l'area e il volume del solido di rotazione:

.

Per il volume usiamo la seguente formula:

.

Essenzialmente, ciò significa che mentre X diventa sempre più grande, la grandezza numerica dei dischi bidimensionali che vengono aggiunti è sempre più piccola degli anelli unidimensionali, che diminuiscono così troppo velocemente per aumentare il volume ad una grandezza che sia superiore a Pi Greco. Quando integrato (come sopra), dovrebbe essere ovvio che il volume converge velocemente su Pi Greco.

Inverso[modifica | modifica wikitesto]

Il fenomeno inverso della Tromba di Gabriele non è possibile. Non può eisstere un solido di rotazione avente superifice finita e volume infinito.

Teorema:

Sia una funzione continua e differenziabile.
Chiamiamo il solido di rotazione per il grafico della funzione rispetto all'asse .
Se la superficie di è finita, allora è finito anche il volume.

Dimostrazione:

Dato che per ipotesi la superficie è finita, si noti che il limite superiore:
Pertanto, esiste a tale che l'estremo superiore è finito.

Perciò,

è finito posto che is a funzione continua, che implica che
è limitato nell'intervallo di valori .
Infine, il volume:
Pertanto:
se l'area è finita, allora anche il volume deve essere finito.

Bibliografia[modifica | modifica wikitesto]

Voci correlate[modifica | modifica wikitesto]

Collegamenti esterni[modifica | modifica wikitesto]

Matematica Portale Matematica: accedi alle voci di Wikipedia che trattano di matematica