Trasformata zeta

Da Wikipedia, l'enciclopedia libera.

In analisi funzionale la trasformata zeta è una trasformata integrale che permette di trasformare una funzione discreta in una funzione più semplice. Viene impiegata in particolare nella teoria dei segnali.

Storia[modifica | modifica wikitesto]

Il concetto di trasformata zeta era già noto a Laplace, ma fu reintrodotto nel 1947 da W. Hurewicz come mezzo utile a risolvere equazioni alle differenze lineari a coefficienti costanti.[1] Il termine "trasformata zeta" fu coniato successivamente, nel 1952, da Ragazzini e Zadeh, ricercatori della Columbia University.[2][3] Il nome potrebbe esser derivato dall'idea che la lettera "z" sia somigliante a una lettera "s" campionata/digitalizzata, ove "s" è la lettera spesso usata per indicare la variabile indipendente nella trasformata di Laplace. Un'altra possibile origine è la presenza della lettera "Z" in entrambi i nomi Ragazzini e Zadeh. Questa nomenclatura diverge dall'usanza adottata in ambito scientifico, in cui si associa un metodo o un teorema col nome del principale sviluppatore. La terza probabile origine risiede nel dominio dei segnali discreti, che è solito essere o un suo sottoinsieme.

Definizione[modifica | modifica wikitesto]

Trasformata bilatera[modifica | modifica wikitesto]

La trasformata bilatera di una funzione è la serie formale di potenze definita come:

dove è un numero intero e è complesso:

con il modulo di , l'unità immaginaria e la fase in radianti.

Trasformata unilatera[modifica | modifica wikitesto]

Nei casi in cui è definita soltanto per , la trasformata unilatera è espressa come:

In teoria dei segnali questa definizione è utilizzata per valutare la trasformata della risposta all'impulso unitario di un sistema causale tempo-discreto.

Regione di convergenza[modifica | modifica wikitesto]

La regione di convergenza è la parte di piano complesso dove la serie che definisce la trasformata della funzione converge:

La serie converge per valori di in modulo maggiori del raggio di convergenza , definito tramite il criterio della radice come:

Di applicazione meno generale è il criterio del rapporto, poiché esso richiede che i termini siano diversi da zero a partire da un arbitrario in poi. Nondimeno, spesso è più agevole calcolare il limite tramite tale criterio piuttosto che utilizzando quello della radice. Nel caso entrambi i limiti esistano, essi coincidono. Non bisogna tuttavia prendere il reciproco del limite superiore, in quanto la trasformata zeta è una serie di potenze con esponente negativo.

Trasformata inversa[modifica | modifica wikitesto]

L'espressione della trasformata inversa, che può essere ottenuta utilizzando il teorema integrale di Cauchy, è la seguente:

dove è un percorso antiorario chiuso che è situato nella regione di convergenza di e circonda l'origine del piano. Questa relazione vale sia per n positivi, sia per n negativi.

Un caso di particolare importanza si presenta quando è la circonferenza unitaria. In tal caso la trasformata zeta inversa assume la forma della trasformata di Fourier discreta inversa:

Proprietà[modifica | modifica wikitesto]

Dominio del tempo Dominio Z Dimostrazione ROC
Notazione ROC:
Linearità Almeno la regione di intersezione di ROC1 e ROC2
Espansione temporale

intero

Traslazione temporale

Posto si ha:

essendo se . Da cui:

ROC, eccetto se e se
Scalatura nel dominio z
Inversione temporale
Coniugazione complessa ROC
Parte reale ROC
Parte immaginaria ROC
Differenziazione ROC
Convoluzione Almeno la regione di intersezione di ROC1 e ROC2
Cross-correlazione Almeno la regione di intersezione di ROC of e
Prima differenza Almeno la regione di intersezione di ROC of X1(z) e
Accumulazione
Moltiplicazione -
Teorema di Parseval

Teorema del valore iniziale e del valore finale[modifica | modifica wikitesto]

Analogamente alla trasformata di Laplace, anche per la trasformata zeta si possono enunciare due teoremi che permettono di conoscere il valore iniziale e il valore finale del campionamento partendo dalla sua trasformata.

Il teorema del valore iniziale afferma che:

se è causale (ovvero nulla per n negativi).

Se la successione ammette limite finito, allora è una funzione analitica all'esterno del disco di raggio centrato nell'origine e il teorema del valore finale afferma che:

Il risultato è falso senza l'ipotesi che ammetta limite.

Trasformata di alcune funzioni notevoli[modifica | modifica wikitesto]

Siano:

Funzione, Trasformata Z, ROC

Relazione con la trasformata di Laplace[modifica | modifica wikitesto]

Exquisite-kfind.png Lo stesso argomento in dettaglio: trasformata di Laplace.

La trasformata zeta unilatera è la trasformata di Laplace di un segnale campionato in modo ideale con la sostituzione:

dove è il periodo di campionamento, con la frequenza di campionamento (misurata in campioni per secondo o in hertz).

Sia:

un treno di impulsi e sia:

la rappresentazione tempo-continua del segnale ottenuto campionando . La trasformata di Laplace di è data da:

Si tratta della definizione della trasformata zeta unilatera della funzione tempo-discreta , ovvero:

con la sostituzione . Confrontando le ultime due relazioni si ottiene quindi la relazione tra la trasformata zeta unilatera e la trasformata di Laplace del segnale campionato:

Relazione tra il piano s e il piano z[modifica | modifica wikitesto]

Per quanto detto la variabile s può essere riscritta utilizzando la rappresentazione rettangolare come:

L'ultima identità deriva dal fatto che l'esponenziale complesso è una funzione periodica di periodo i2π.

Da questa relazione si possono fare alcune considerazioni importanti

  • ogni punto sul piano s la cui parte immaginaria differisce di un multiplo intero della pulsazione di campionamento viene trasformato nello stesso punto sul piano z
  • ogni punto sul piano s appartenente al semipiano negativo viene trasformato in un punto interno alla circonferenza di raggio 1 poiché
  • ogni punto sul piano s appartenente al semipiano positivo viene trasformato in un punto esterno alla circonferenza di raggio unitario
  • ogni punto appartenente all'asse immaginario viene trasformato in un punto sulla circonferenza di raggio unitario

In virtù di queste considerazioni ha senso definire anche una striscia primaria e più strisce complementari nel piano s. La striscia primaria comprende tutti i numeri complessi con parte immaginaria compresa tra , le strisce complementari si ottengono, a partire da quella primaria, per traslazione verticale di un multiplo intero della pulsazione di campionamento. Per quanto detto è possibile far corrispondere ogni punto del piano z con un punto della striscia primaria.

Al pari di quanto avviene nel piano s è possibile, anche nel piano z, tracciare dei luoghi a e costante.

Campionamento[modifica | modifica wikitesto]

Si consideri un segnale tempo-continuo , la cui trasformata è:

Se è campionato uniformemente con un treno di impulsi in modo da ottenere un segnale discreto (supponendo il processo ideale), allora può essere rappresentato come:

dove è l'intervallo di campionamento. In tale contesto la trasformata di Laplace è data da:

Trasformata di Fourier a tempo discreto[modifica | modifica wikitesto]

Exquisite-kfind.png Lo stesso argomento in dettaglio: Trasformata di Fourier a tempo discreto.

La trasformata di Fourier a tempo discreto è un caso particolare della trasformata zeta:

che si ottiene ponendo . Dal momento che , la trasformata di Fourier a tempo discreto è la valutazione della trasformata zeta sul cerchio unitario nel piano complesso.

Modello autoregressivo a media mobile[modifica | modifica wikitesto]

Exquisite-kfind.png Lo stesso argomento in dettaglio: Modello autoregressivo a media mobile.

Un sistema basato sul modello autoregressivo a media mobile è rappresentato dall'equazione:

dove entrambi i membri possono essere divisi per , se è diversa da zero, normalizzando . In questo modo l'equazione assume la forma:

Tale scrittura consente di visualizzare il fatto che l'uscita al tempo attuale è funzione del valore dell'uscita a un tempo precedente, dell'ingresso attuale e dei precedenti valori . Considerando la trasformata zeta della precedente equazione, dalle proprietà di linearità e traslazione temporale si ha:

che può essere scritta in modo da evidenziare la funzione di trasferimento:

Dal teorema fondamentale dell'algebra il numeratore ha M radici, corrispondenti agli zeri di , e il denominatore ha N radici, corrispondenti ai poli di . Riscrivendo la funzione di trasferimento in modo da evidenziare questo fatto si ha:

dove è il k-esimo zero e il k-esimo polo. Se il sistema descritto da è pilotato dal segnale allora l'uscita è data da .

Note[modifica | modifica wikitesto]

  1. ^ E. R. Kanasewich, Time sequence analysis in geophysics, 3rd, University of Alberta, 1981, pp. 185–186, ISBN 978-0-88864-074-1.
  2. ^ J. R. Ragazzini and L. A. Zadeh, The analysis of sampled-data systems, in Trans. Am. Inst. Elec. Eng., vol. 71, II, 1952, pp. 225–234.
  3. ^ Cornelius T. Leondes, Digital control systems implementation and computational techniques, Academic Press, 1996, p. 123, ISBN 978-0-12-012779-5.

Bibliografia[modifica | modifica wikitesto]

  • El Jury Theory and Applications of the z-Transform Method (John Wiley & Sons, NY, 1964)
  • Yutaka Yamamoto Digital Control Wiley Encyclopedia of Electrical and Electronics Engineering, 5, 445–457 (1999). PDF

Voci correlate[modifica | modifica wikitesto]

Collegamenti esterni[modifica | modifica wikitesto]