Lemma di Riemann-Lebesgue

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Il lemma di Riemann-Lebesgue afferma che l'integrale della trasformata di una funzione tende ad annullarsi al crescere del numero di oscillazioni della funzione.

In matematica, in particolare nell'analisi armonica, il lemma di Riemann-Lebesgue, il cui nome è dovuto a Bernhard Riemann e Henri Lebesgue, è un teorema che afferma che la trasformata di Fourier o Laplace di una funzione integrabile si annulla all'infinito.

Il teorema[modifica | modifica wikitesto]

Sia una funzione misurabile. Se è sommabile allora:

La trasformata di Fourier di tende quindi a per valori infiniti di .

Il lemma di Riemann–Lebesgue è valido in diverse situazioni, riportate nel seguito.

  • Se è in e definita in , allora il lemma di Riemann–Lebesgue è valido anche per la trasformata di Laplace :
per all'interno del semipiano .
  • Se è in e definita su un intervallo limitato, allora i coefficienti di Fourier di tendono a per . Questo fatto si ottiene estendendo alla funzione nulla al di fuori dell'intervallo, ed applicando il lemma sull'intero asse reale.
  • Il lemma di Riemann–Lebesgue è valido anche per la trasformata di Fourier in più dimensioni. Se , allora:
dove è la trasformata di Fourier:

Dimostrazione[modifica | modifica wikitesto]

Si consideri il caso monodimensionale, da cui segue senza difficoltà il caso in dimensione arbitraria, e sia una funzione liscia a supporto compatto. Integrando per parti in ogni variabile:

Se è una funzione integrabile qualsiasi, può essere approssimata in da una funzione liscia a supporto compatto tale che . Si ha allora:

e dal momento che questo vale per ogni segue la tesi.

Nel caso in cui , si supponga che sia a supporto compatto su e che sia differenziabile con continuità. Dette e le trasformate (di Fourier o Laplace) rispettivamente di e , per le proprietà della trasformata si ha , da cui per . Poiché la funzione in tale forma è densa in , ciò vale per ogni scelta di .

Bibliografia[modifica | modifica wikitesto]

  • (EN) Bochner S, Chandrasekharan K., Fourier Transforms, Princeton University Press, 1949.
  • (EN) Gradshteyn, I. S. and Ryzhik, I. M. Tables of Integrals, Series, and Products, 6th ed. San Diego, CA: Academic Press, p. 1101, 2000.

Voci correlate[modifica | modifica wikitesto]

Collegamenti esterni[modifica | modifica wikitesto]

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