Teorema di Plancherel

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In matematica, in particolare in analisi armonica, il teorema di Plancherel permette di definire la trasformata di Fourier a funzioni che appartengono all'intersezione dello spazio delle funzioni integrabili secondo Lebesgue, denotato con , e lo spazio delle funzioni a quadrato sommabile, denotato con . In particolare, l'applicazione che associa ad una funzione la sua trasformata, che appartiene ad , è un'isometria da in che può essere estesa in maniera unica ad un'isometria da in sé.

Il teorema, provato per primo da Michel Plancherel, è valido nella versione astratta e sui gruppi abeliani localmente compatti. In maniera più generale, esiste una versione del teorema che ha senso per i gruppi non commutativi (non abeliani) localmente compatti che soddisfano determinate condizioni iniziali, ed è un problema dell'analisi armonica non commutativa.

Un caso particolare di questo teorema è il teorema di Parseval, nonostante quest'ultimo termine sia spesso utilizzato per descrivere l'unitarietà di ogni trasformata di Fourier, in particolar modo in fisica e in ingegneria.[1]

Il teorema[modifica | modifica wikitesto]

Il teorema di Plancherel afferma che è possibile associare ad ogni funzione di una funzione di tale da soddisfare le seguenti proprietà:[2]

  • Se , allora è la trasformata di Fourier di .
  • Per ogni si ha:
  • L'applicazione è un isomorfismo da in sé.
  • Se:
e se:
allora:

Dal momento che è denso in , le prime due proprietà implicano che l'applicazione è unica, mentre l'ultima è detta anche teorema di inversione di .

Note[modifica | modifica wikitesto]

  1. ^ Plancherel, Michel (1910) "Contribution a l'etude de la representation d'une fonction arbitraire par les integrales définies," Rendiconti del Circolo Matematico di Palermo, vol. 30, pages 298-335.
  2. ^ W. Rudin, Pag. 187

Bibliografia[modifica | modifica wikitesto]

  • (EN) Walter Rudin, Real and Complex Analysis, Mladinska Knjiga, McGraw-Hill, 1970, ISBN 0-07-054234-1.
  • Plancherel, Michel (1910) "Contribution a l'etude de la representation d'une fonction arbitraire par les integrales définies," Rendiconti del Circolo Matematico di Palermo, vol. 30, pages 298-335.

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Collegamenti esterni[modifica | modifica wikitesto]

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